Номер 284, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

284. 1) $ \frac{x-2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{x+7}{6};$

2) $ \frac{x-7}{6} = \frac{x+1}{2} - 3;

3) $ \frac{2(3x-1)}{5} = 4 - \frac{x+2}{2};$

4) $ \frac{1}{2} - \frac{3x}{4} = \frac{2(3-x)}{5}.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{x-2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{x+7}{6} $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4, 2 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 12.

Умножаем каждый член уравнения на 12:

$ 12 \cdot \frac{x-2}{4} - 12 \cdot \frac{1}{2} = 12 \cdot \frac{x+7}{6} $

Сокращаем дроби:

$ 3(x-2) - 6 = 2(x+7) $

Раскрываем скобки:

$ 3x - 6 - 6 = 2x + 14 $

Приводим подобные слагаемые:

$ 3x - 12 = 2x + 14 $

Переносим слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$ 3x - 2x = 14 + 12 $

Вычисляем:

$ x = 26 $

Ответ: $x=26$

2) Исходное уравнение: $ \frac{x-7}{6} = \frac{x+1}{2} - 3 $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 2. НОК(6, 2) = 6.

Умножаем каждый член уравнения на 6:

$ 6 \cdot \frac{x-7}{6} = 6 \cdot \frac{x+1}{2} - 6 \cdot 3 $

Сокращаем дроби:

$ x - 7 = 3(x+1) - 18 $

Раскрываем скобки:

$ x - 7 = 3x + 3 - 18 $

Приводим подобные слагаемые в правой части:

$ x - 7 = 3x - 15 $

Переносим слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные слагаемые — в левую:

$ 15 - 7 = 3x - x $

Вычисляем:

$ 8 = 2x $

Находим $x$:

$ x = \frac{8}{2} $

$ x = 4 $

Ответ: $x=4$

3) Исходное уравнение: $ \frac{2(3x-1)}{5} = 4 - \frac{x+2}{2} $.

Сначала раскроем скобки в числителе левой части:

$ \frac{6x-2}{5} = 4 - \frac{x+2}{2} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2. НОК(5, 2) = 10.

Умножаем каждый член уравнения на 10:

$ 10 \cdot \frac{6x-2}{5} = 10 \cdot 4 - 10 \cdot \frac{x+2}{2} $

Сокращаем дроби:

$ 2(6x-2) = 40 - 5(x+2) $

Раскрываем скобки:

$ 12x - 4 = 40 - 5x - 10 $

Приводим подобные слагаемые в правой части:

$ 12x - 4 = 30 - 5x $

Переносим слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$ 12x + 5x = 30 + 4 $

Вычисляем:

$ 17x = 34 $

Находим $x$:

$ x = \frac{34}{17} $

$ x = 2 $

Ответ: $x=2$

4) Исходное уравнение: $ \frac{1}{2} - \frac{3x}{4} = \frac{2(3-x)}{5} $.

Сначала раскроем скобки в числителе правой части:

$ \frac{1}{2} - \frac{3x}{4} = \frac{6-2x}{5} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 5. НОК(2, 4, 5) = 20.

Умножаем каждый член уравнения на 20:

$ 20 \cdot \frac{1}{2} - 20 \cdot \frac{3x}{4} = 20 \cdot \frac{6-2x}{5} $

Сокращаем дроби:

$ 10 \cdot 1 - 5 \cdot 3x = 4(6-2x) $

Выполняем умножение и раскрываем скобки:

$ 10 - 15x = 24 - 8x $

Переносим слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные слагаемые — в левую:

$ 10 - 24 = -8x + 15x $

Вычисляем:

$ -14 = 7x $

Находим $x$:

$ x = \frac{-14}{7} $

$ x = -2 $

Ответ: $x=-2$