Номер 281, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Решение задач с помощью уравнений. Глава 3. Уравнения с одним неизвестным - номер 281, страница 95.

Условие.

281.1)

1) Туристы за первый час прошли 3 км. Если бы они продолжали двигаться с той же скоростью, то опоздали бы к месту сбора на 40 мин, поэтому они увеличили скорость на $\frac{1}{3}$ и пришли к месту сбора за 45 мин до назначенного срока. Какое расстояние прошли туристы до места сбора и за какое время?

2) Первый час автомобилист ехал со скоростью 50 км/ч и рассчитал, что если он и дальше будет ехать с той же скоростью, то опоздает в город на полчаса. Он увеличил скорость на 20 % и прибыл в город вовремя. Какой путь проехал автомобилист и сколько времени он находился в пути?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Обозначим общее расстояние как $S$ (в км), а запланированное время в пути как $T$ (в часах).

За первый час туристы прошли 3 км. Следовательно, их начальная скорость $v_1$ равна 3 км/ч. Оставшееся расстояние составляет $(S - 3)$ км.

Согласно первому условию, если бы они продолжали двигаться со скоростью $v_1 = 3$ км/ч, то опоздали бы на 40 минут. 40 минут — это $40/60 = 2/3$ часа.
Время, затраченное на оставшийся путь: $t_1 = \frac{S - 3}{3}$ ч.
Общее время в пути в этом случае: $1 + t_1 = 1 + \frac{S - 3}{3}$ ч.
Это время на $2/3$ часа больше запланированного:
$1 + \frac{S - 3}{3} = T + \frac{2}{3}$

Согласно второму условию, туристы увеличили скорость на $\frac{1}{3}$.
Новая скорость $v_2 = v_1 + \frac{1}{3}v_1 = \frac{4}{3}v_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$ км/ч.
С этой скоростью они прошли оставшееся расстояние $(S - 3)$ км и пришли на 45 минут раньше. 45 минут — это $45/60 = 3/4$ часа.
Время, затраченное на оставшийся путь: $t_2 = \frac{S - 3}{4}$ ч.
Общее время в пути: $1 + t_2 = 1 + \frac{S - 3}{4}$ ч.
Это время на $3/4$ часа меньше запланированного:
$1 + \frac{S - 3}{4} = T - \frac{3}{4}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $T = 1 + \frac{S - 3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{S - 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{S-2}{3}$
2) $T = 1 + \frac{S - 3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{S - 3}{4} + \frac{7}{4} = \frac{S+4}{4}$

Приравняем выражения для $T$:
$\frac{S-2}{3} = \frac{S+4}{4}$
$4(S-2) = 3(S+4)$
$4S - 8 = 3S + 12$
$4S - 3S = 12 + 8$
$S = 20$ км.

Общее расстояние, которое прошли туристы, равно 20 км.

Теперь найдем фактическое время, затраченное на весь путь. Это время, когда они шли с увеличенной скоростью:
$t_{факт} = 1 + \frac{S - 3}{4} = 1 + \frac{20 - 3}{4} = 1 + \frac{17}{4} = 1 + 4.25 = 5.25$ часа.
5.25 часа — это 5 часов и $0.25 \cdot 60 = 15$ минут.

Ответ: Туристы прошли 20 км за 5 часов 15 минут.

---

2)

Обозначим весь путь как $S$ (в км), а запланированное время как $T$ (в часах).

За первый час автомобилист ехал со скоростью 50 км/ч, значит, он проехал $S_1 = 50 \cdot 1 = 50$ км.
Оставшийся путь равен $(S - 50)$ км.

Если бы он продолжал ехать с той же скоростью $v_1 = 50$ км/ч, он опоздал бы на полчаса (0.5 часа).
Время на оставшийся путь: $t_1 = \frac{S - 50}{50}$ ч.
Общее время в пути: $1 + t_1 = 1 + \frac{S - 50}{50}$ ч.
Это время на 0.5 часа больше запланированного:
$1 + \frac{S - 50}{50} = T + 0.5$

Автомобилист увеличил скорость на 20% и прибыл вовремя.
Новая скорость $v_2 = v_1 + 0.2 \cdot v_1 = 1.2 \cdot v_1 = 1.2 \cdot 50 = 60$ км/ч.
Время на оставшийся путь: $t_2 = \frac{S - 50}{60}$ ч.
Фактическое общее время в пути: $t_{факт} = 1 + t_2 = 1 + \frac{S - 50}{60}$ ч.
Так как он прибыл вовремя, это время равно запланированному:
$1 + \frac{S - 50}{60} = T$

Подставим выражение для $T$ из второго уравнения в первое:
$1 + \frac{S - 50}{50} = \left(1 + \frac{S - 50}{60}\right) + 0.5$
$1 + \frac{S - 50}{50} = 1.5 + \frac{S - 50}{60}$
$\frac{S - 50}{50} - \frac{S - 50}{60} = 1.5 - 1$
$(S - 50) \left(\frac{1}{50} - \frac{1}{60}\right) = 0.5$
$(S - 50) \left(\frac{6 - 5}{300}\right) = 0.5$
$(S - 50) \frac{1}{300} = 0.5$
$S - 50 = 0.5 \cdot 300$
$S - 50 = 150$
$S = 200$ км.

Весь путь, который проехал автомобилист, равен 200 км.

Теперь найдем, сколько времени он находился в пути. Это фактическое время, равное $T$:
$T = 1 + \frac{S - 50}{60} = 1 + \frac{200 - 50}{60} = 1 + \frac{150}{60} = 1 + 2.5 = 3.5$ часа.
3.5 часа — это 3 часа 30 минут.

Ответ: Автомобилист проехал 200 км и находился в пути 3.5 часа (3 часа 30 минут).