Страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

278. 1) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения реки за 40 с. Определить собственную скорость пловца, считая её постоянной от начала и до конца заплыва, если скорость течения реки равна 0,25 м/с.
2) Расстояние между двумя пунктами катер прошёл по течению реки за 3 ч 30 мин, а против течения реки за 6 ч 18 мин. Определить расстояние между этими пунктами, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч.

1)

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_{с}$ — собственная скорость пловца (м/с), которую необходимо найти.
$v_{т}$ — скорость течения реки, по условию $v_{т} = 0,25$ м/с.
$v_{по}$ — скорость пловца по течению, равная сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{с} + v_{т}$.
$v_{пр}$ — скорость пловца против течения, равная разности собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = v_{с} - v_{т}$.
$t_{по}$ — время движения по течению, по условию $t_{по} = 24$ с.
$t_{пр}$ — время движения против течения, по условию $t_{пр} = 40$ с.
$S$ — расстояние, которое проплыл ученик в одну сторону.

Расстояние $S$ можно выразить двумя способами, используя формулу $S = v \cdot t$:
1. При движении по течению: $S = v_{по} \cdot t_{по} = (v_{с} + v_{т}) \cdot t_{по}$
2. При движении против течения: $S = v_{пр} \cdot t_{пр} = (v_{с} - v_{т}) \cdot t_{пр}$

Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:
$(v_{с} + v_{т}) \cdot t_{по} = (v_{с} - v_{т}) \cdot t_{пр}$

Подставим известные значения в полученное уравнение:
$(v_{с} + 0,25) \cdot 24 = (v_{с} - 0,25) \cdot 40$

Теперь решим это уравнение относительно неизвестной скорости $v_{с}$:
$24v_{с} + 24 \cdot 0,25 = 40v_{с} - 40 \cdot 0,25$
$24v_{с} + 6 = 40v_{с} - 10$
$6 + 10 = 40v_{с} - 24v_{с}$
$16 = 16v_{с}$
$v_{с} = \frac{16}{16} = 1$ м/с.

Ответ: собственная скорость пловца равна 1 м/с.

2)

Введем обозначения:
$S$ — расстояние между пунктами (км), которое необходимо найти.
$v_{к}$ — собственная скорость катера (км/ч).
$v_{т}$ — скорость течения реки, по условию $v_{т} = 2,4$ км/ч.
$t_{по}$ — время движения по течению, по условию $t_{по} = 3$ ч $30$ мин.
$t_{пр}$ — время движения против течения, по условию $t_{пр} = 6$ ч $18$ мин.

Сначала переведем время в часы для удобства расчетов, так как скорость дана в км/ч:
$t_{по} = 3 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 3 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 3,5$ ч.
$t_{пр} = 6 \text{ ч } 18 \text{ мин} = 6 + \frac{18}{60} \text{ ч} = 6 + 0,3 \text{ ч} = 6,3$ ч.

Расстояние $S$ в обоих направлениях одинаково и выражается через скорость и время:
1. По течению: $S = (v_{к} + v_{т}) \cdot t_{по}$
2. Против течения: $S = (v_{к} - v_{т}) \cdot t_{пр}$

Приравняем выражения для расстояния, чтобы найти собственную скорость катера $v_{к}$:
$(v_{к} + v_{т}) \cdot t_{по} = (v_{к} - v_{т}) \cdot t_{пр}$

Подставим известные значения:
$(v_{к} + 2,4) \cdot 3,5 = (v_{к} - 2,4) \cdot 6,3$

Решим уравнение относительно $v_{к}$:
$3,5v_{к} + 3,5 \cdot 2,4 = 6,3v_{к} - 6,3 \cdot 2,4$
$3,5v_{к} + 8,4 = 6,3v_{к} - 15,12$
$8,4 + 15,12 = 6,3v_{к} - 3,5v_{к}$
$23,52 = 2,8v_{к}$
$v_{к} = \frac{23,52}{2,8} = 8,4$ км/ч.

Теперь, зная собственную скорость катера, мы можем найти искомое расстояние $S$, используя любое из двух первоначальных выражений. Возьмем формулу для движения по течению:
$S = (v_{к} + v_{т}) \cdot t_{по} = (8,4 + 2,4) \cdot 3,5$
$S = 10,8 \cdot 3,5 = 37,8$ км.

Ответ: расстояние между этими пунктами равно 37,8 км.

279. 1) Из одного пункта вначале вышел пешеход, а через $1.5 \text{ ч}$ после его выхода в том же направлении выехал велосипедист. На каком расстоянии от пункта отправления велосипедист догнал пешехода, если пешеход шёл со скоростью $4.25 \text{ км/ч}$, а велосипедист ехал со скоростью $17 \text{ км/ч}$?

2) Два теплохода вышли одновременно из одного пункта и идут в одном направлении. Первый теплоход за каждые $1.5 \text{ ч}$ проходит $37.5 \text{ км}$, а второй теплоход за каждые $2 \text{ ч}$ проходит $45 \text{ км}$. Через сколько времени первый теплоход будет находиться от второго на расстоянии $10 \text{ км}$?

1) Решим задачу, определив, за какое время велосипедист догонит пешехода.

1. Сначала найдем расстояние, которое прошел пешеход за 1,5 часа до выезда велосипедиста. Скорость пешехода $v_{п} = 4,25$ км/ч.

Расстояние, которое пешеход прошел до старта велосипедиста:$S_{форы} = v_{п} \cdot t_{форы} = 4,25 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 6,375$ км.

2. Когда велосипедист начал движение, расстояние между ним и пешеходом было 6,375 км. Поскольку они движутся в одном направлении, велосипедист догоняет пешехода со скоростью, равной разности их скоростей (скорость сближения). Скорость велосипедиста $v_{в} = 17$ км/ч.

Скорость сближения:$v_{сбл} = v_{в} - v_{п} = 17 \text{ км/ч} - 4,25 \text{ км/ч} = 12,75$ км/ч.

3. Теперь найдем время, через которое велосипедист догонит пешехода. Для этого разделим начальное расстояние между ними на скорость сближения.

$t_{встречи} = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{6,375 \text{ км}}{12,75 \text{ км/ч}} = 0,5$ ч.

Это время, которое велосипедист был в пути до момента встречи.

4. Чтобы найти расстояние от пункта отправления, на котором произошла встреча, умножим скорость велосипедиста на время его движения.

$S = v_{в} \cdot t_{встречи} = 17 \text{ км/ч} \cdot 0,5 \text{ ч} = 8,5$ км.

Проверим, рассчитав путь пешехода. Его общее время в пути составило $1,5 \text{ ч} + 0,5 \text{ ч} = 2$ ч.$S = v_{п} \cdot t_{общее} = 4,25 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 8,5$ км. Расстояния совпали.

Ответ: велосипедист догнал пешехода на расстоянии 8,5 км от пункта отправления.

2) Для решения этой задачи найдем скорости обоих теплоходов и скорость их удаления друг от друга.

1. Найдем скорость первого теплохода ($v_{1}$). Он проходит 37,5 км за 1,5 ч. Скорость равна расстоянию, деленному на время.

$v_{1} = \frac{37,5 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = 25$ км/ч.

2. Найдем скорость второго теплохода ($v_{2}$). Он проходит 45 км за 2 ч.

$v_{2} = \frac{45 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 22,5$ км/ч.

3. Теплоходы вышли одновременно из одного пункта и идут в одном направлении. Поскольку скорость первого теплохода больше, он будет удаляться от второго. Скорость удаления равна разности их скоростей.

$v_{уд} = v_{1} - v_{2} = 25 \text{ км/ч} - 22,5 \text{ км/ч} = 2,5$ км/ч.

4. Чтобы найти время, через которое расстояние между теплоходами станет 10 км, нужно это расстояние разделить на скорость удаления.

$t = \frac{\Delta S}{v_{уд}} = \frac{10 \text{ км}}{2,5 \text{ км/ч}} = 4$ ч.

Ответ: через 4 часа первый теплоход будет находиться от второго на расстоянии 10 км.

280. 1) Магазин продавал пальто и куртки. Куртка стоила на 1500 р. дешевле пальто. На сезонной распродаже цена на куртки была снижена на 20 %, а на пальто — на 10 %, и теперь одну куртку и одно пальто можно было купить за 6450 р. Сколько стоили куртка и пальто до распродажи?

2) Первый рабочий в день выпускал на 50 деталей меньше второго. Когда выработка первого повысилась на 1 % в день, а второго — на 2 %, они стали вместе выпускать 254 детали. Сколько деталей выпускал каждый рабочий первоначально?

1)

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальная цена пальто в рублях, а $y$ — первоначальная цена куртки в рублях.

Из условия известно, что куртка стоила на 1500 рублей дешевле пальто. Это можно записать в виде уравнения:

$y = x - 1500$

Во время сезонной распродажи цену на пальто снизили на 10%, и его новая цена составила $x - 0.10x = 0.9x$. Цену на куртку снизили на 20%, и её новая цена стала $y - 0.20y = 0.8y$.

После снижения цен общая стоимость одной куртки и одного пальто составила 6450 рублей. Составим второе уравнение:

$0.9x + 0.8y = 6450$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} y = x - 1500 \\ 0.9x + 0.8y = 6450 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе, чтобы найти $x$:

$0.9x + 0.8(x - 1500) = 6450$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$0.9x + 0.8x - 1200 = 6450$

$1.7x = 6450 + 1200$

$1.7x = 7650$

$x = \frac{7650}{1.7} = 4500$

Таким образом, первоначальная цена пальто составляла 4500 рублей.

Теперь найдем первоначальную цену куртки, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = 4500 - 1500 = 3000$

Первоначальная цена куртки составляла 3000 рублей.

Ответ: первоначальная стоимость куртки составляла 3000 рублей, а пальто — 4500 рублей.

2)

Обозначим первоначальную выработку первого рабочего как $x$ деталей в день, а второго — как $y$ деталей в день.

По условию, первый рабочий выпускал на 50 деталей меньше второго. Составим первое уравнение:

$x = y - 50$

Затем выработка первого рабочего повысилась на 1%, то есть стала равна $x + 0.01x = 1.01x$. Выработка второго рабочего повысилась на 2% и стала равна $y + 0.02y = 1.02y$.

После увеличения производительности они стали вместе выпускать 254 детали в день. Составим второе уравнение:

$1.01x + 1.02y = 254$

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} x = y - 50 \\ 1.01x + 1.02y = 254 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$1.01(y - 50) + 1.02y = 254$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$1.01y - 50.5 + 1.02y = 254$

$2.03y = 254 + 50.5$

$2.03y = 304.5$

$y = \frac{304.5}{2.03} = 150$

Следовательно, второй рабочий первоначально выпускал 150 деталей в день.

Теперь найдем первоначальную выработку первого рабочего:

$x = y - 50 = 150 - 50 = 100$

Первый рабочий первоначально выпускал 100 деталей в день.

Ответ: первоначально первый рабочий выпускал 100 деталей, а второй — 150 деталей.

281.1)

1) Туристы за первый час прошли 3 км. Если бы они продолжали двигаться с той же скоростью, то опоздали бы к месту сбора на 40 мин, поэтому они увеличили скорость на $\frac{1}{3}$ и пришли к месту сбора за 45 мин до назначенного срока. Какое расстояние прошли туристы до места сбора и за какое время?

2) Первый час автомобилист ехал со скоростью 50 км/ч и рассчитал, что если он и дальше будет ехать с той же скоростью, то опоздает в город на полчаса. Он увеличил скорость на 20 % и прибыл в город вовремя. Какой путь проехал автомобилист и сколько времени он находился в пути?

1)

Обозначим общее расстояние как $S$ (в км), а запланированное время в пути как $T$ (в часах).

За первый час туристы прошли 3 км. Следовательно, их начальная скорость $v_1$ равна 3 км/ч. Оставшееся расстояние составляет $(S - 3)$ км.

Согласно первому условию, если бы они продолжали двигаться со скоростью $v_1 = 3$ км/ч, то опоздали бы на 40 минут. 40 минут — это $40/60 = 2/3$ часа.
Время, затраченное на оставшийся путь: $t_1 = \frac{S - 3}{3}$ ч.
Общее время в пути в этом случае: $1 + t_1 = 1 + \frac{S - 3}{3}$ ч.
Это время на $2/3$ часа больше запланированного:
$1 + \frac{S - 3}{3} = T + \frac{2}{3}$

Согласно второму условию, туристы увеличили скорость на $\frac{1}{3}$.
Новая скорость $v_2 = v_1 + \frac{1}{3}v_1 = \frac{4}{3}v_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$ км/ч.
С этой скоростью они прошли оставшееся расстояние $(S - 3)$ км и пришли на 45 минут раньше. 45 минут — это $45/60 = 3/4$ часа.
Время, затраченное на оставшийся путь: $t_2 = \frac{S - 3}{4}$ ч.
Общее время в пути: $1 + t_2 = 1 + \frac{S - 3}{4}$ ч.
Это время на $3/4$ часа меньше запланированного:
$1 + \frac{S - 3}{4} = T - \frac{3}{4}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $T = 1 + \frac{S - 3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{S - 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{S-2}{3}$
2) $T = 1 + \frac{S - 3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{S - 3}{4} + \frac{7}{4} = \frac{S+4}{4}$

Приравняем выражения для $T$:
$\frac{S-2}{3} = \frac{S+4}{4}$
$4(S-2) = 3(S+4)$
$4S - 8 = 3S + 12$
$4S - 3S = 12 + 8$
$S = 20$ км.

Общее расстояние, которое прошли туристы, равно 20 км.

Теперь найдем фактическое время, затраченное на весь путь. Это время, когда они шли с увеличенной скоростью:
$t_{факт} = 1 + \frac{S - 3}{4} = 1 + \frac{20 - 3}{4} = 1 + \frac{17}{4} = 1 + 4.25 = 5.25$ часа.
5.25 часа — это 5 часов и $0.25 \cdot 60 = 15$ минут.

Ответ: Туристы прошли 20 км за 5 часов 15 минут.

2)

Обозначим весь путь как $S$ (в км), а запланированное время как $T$ (в часах).

За первый час автомобилист ехал со скоростью 50 км/ч, значит, он проехал $S_1 = 50 \cdot 1 = 50$ км.
Оставшийся путь равен $(S - 50)$ км.

Если бы он продолжал ехать с той же скоростью $v_1 = 50$ км/ч, он опоздал бы на полчаса (0.5 часа).
Время на оставшийся путь: $t_1 = \frac{S - 50}{50}$ ч.
Общее время в пути: $1 + t_1 = 1 + \frac{S - 50}{50}$ ч.
Это время на 0.5 часа больше запланированного:
$1 + \frac{S - 50}{50} = T + 0.5$

Автомобилист увеличил скорость на 20% и прибыл вовремя.
Новая скорость $v_2 = v_1 + 0.2 \cdot v_1 = 1.2 \cdot v_1 = 1.2 \cdot 50 = 60$ км/ч.
Время на оставшийся путь: $t_2 = \frac{S - 50}{60}$ ч.
Фактическое общее время в пути: $t_{факт} = 1 + t_2 = 1 + \frac{S - 50}{60}$ ч.
Так как он прибыл вовремя, это время равно запланированному:
$1 + \frac{S - 50}{60} = T$

Подставим выражение для $T$ из второго уравнения в первое:
$1 + \frac{S - 50}{50} = \left(1 + \frac{S - 50}{60}\right) + 0.5$
$1 + \frac{S - 50}{50} = 1.5 + \frac{S - 50}{60}$
$\frac{S - 50}{50} - \frac{S - 50}{60} = 1.5 - 1$
$(S - 50) \left(\frac{1}{50} - \frac{1}{60}\right) = 0.5$
$(S - 50) \left(\frac{6 - 5}{300}\right) = 0.5$
$(S - 50) \frac{1}{300} = 0.5$
$S - 50 = 0.5 \cdot 300$
$S - 50 = 150$
$S = 200$ км.

Весь путь, который проехал автомобилист, равен 200 км.

Теперь найдем, сколько времени он находился в пути. Это фактическое время, равное $T$:
$T = 1 + \frac{S - 50}{60} = 1 + \frac{200 - 50}{60} = 1 + \frac{150}{60} = 1 + 2.5 = 3.5$ часа.
3.5 часа — это 3 часа 30 минут.

Ответ: Автомобилист проехал 200 км и находился в пути 3.5 часа (3 часа 30 минут).

282. 1) Из двух пунктов, расстояние между которыми $340 \text{ км}$, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного на $5 \text{ км/ч}$ больше скорости другого. Найти скорости поездов, если известно, что через $2 \text{ ч}$ после начала движения расстояние между ними было $30 \text{ км}$.

2) Из городов А и В, расстояние между которыми $230 \text{ км}$, одновременно выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Через $3 \text{ ч}$ после начала движения расстояние между ними было $20 \text{ км}$. Найти скорости мотоциклистов, если скорость одного на $10 \text{ км/ч}$ меньше скорости другого.

1)

Пусть скорость одного поезда, которая меньше, равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго поезда, которая на 5 км/ч больше, равна $(x + 5)$ км/ч.

Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = x + (x + 5) = 2x + 5$ км/ч.

Изначальное расстояние между поездами было 340 км. Через 2 часа расстояние между ними стало 30 км. Это означает, что суммарное расстояние, которое они проехали, равно разнице между начальным и конечным расстоянием (так как поезда еще не встретились, что можно проверить после нахождения скоростей).

Расстояние, которое поезда прошли вместе за 2 часа: $S_{пройденное} = 340 - 30 = 310$ км.

Также, пройденное расстояние можно найти, умножив скорость сближения на время: $S_{пройденное} = v_{сближения} \times t = (2x + 5) \times 2$ км.

Теперь мы можем составить и решить уравнение: $(2x + 5) \times 2 = 310$ $4x + 10 = 310$ $4x = 310 - 10$ $4x = 300$ $x = \frac{300}{4}$ $x = 75$

Итак, скорость первого поезда равна 75 км/ч. Скорость второго поезда равна $x + 5 = 75 + 5 = 80$ км/ч.

Проверка: время до встречи поездов равно $340 / (75+80) = 340 / 155 \approx 2.19$ ч. Так как 2 ч < 2.19 ч, поезда действительно еще не встретились.

Ответ: скорость одного поезда 75 км/ч, скорость другого поезда 80 км/ч.

2)

Пусть скорость одного мотоциклиста, которая меньше, равна $x$ км/ч. Тогда скорость другого мотоциклиста, которая на 10 км/ч больше, будет $(x + 10)$ км/ч.

Мотоциклисты едут навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = x + (x + 10) = 2x + 10$ км/ч.

Начальное расстояние между городами А и В равно 230 км. Через 3 часа после начала движения расстояние между мотоциклистами составило 20 км. Предполагая, что они еще не встретились, суммарное расстояние, которое они преодолели, равно:

$S_{пройденное} = 230 - 20 = 210$ км.

Это расстояние также равно произведению скорости сближения на время в пути: $S_{пройденное} = v_{сближения} \times t = (2x + 10) \times 3$ км.

Составим и решим уравнение: $(2x + 10) \times 3 = 210$ $6x + 30 = 210$ $6x = 210 - 30$ $6x = 180$ $x = \frac{180}{6}$ $x = 30$

Следовательно, скорость одного (более медленного) мотоциклиста равна 30 км/ч. Скорость второго мотоциклиста равна $x + 10 = 30 + 10 = 40$ км/ч.

Проверка: время до встречи мотоциклистов равно $230 / (30+40) = 230 / 70 \approx 3.28$ ч. Так как 3 ч < 3.28 ч, мотоциклисты еще не встретились, и наше предположение верно.

Ответ: скорость одного мотоциклиста 30 км/ч, скорость другого мотоциклиста 40 км/ч.