Номер 282, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

282. 1) Из двух пунктов, расстояние между которыми $340 \text{ км}$, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного на $5 \text{ км/ч}$ больше скорости другого. Найти скорости поездов, если известно, что через $2 \text{ ч}$ после начала движения расстояние между ними было $30 \text{ км}$.

2) Из городов А и В, расстояние между которыми $230 \text{ км}$, одновременно выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Через $3 \text{ ч}$ после начала движения расстояние между ними было $20 \text{ км}$. Найти скорости мотоциклистов, если скорость одного на $10 \text{ км/ч}$ меньше скорости другого.

1)

Пусть скорость одного поезда, которая меньше, равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго поезда, которая на 5 км/ч больше, равна $(x + 5)$ км/ч.

Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = x + (x + 5) = 2x + 5$ км/ч.

Изначальное расстояние между поездами было 340 км. Через 2 часа расстояние между ними стало 30 км. Это означает, что суммарное расстояние, которое они проехали, равно разнице между начальным и конечным расстоянием (так как поезда еще не встретились, что можно проверить после нахождения скоростей).

Расстояние, которое поезда прошли вместе за 2 часа: $S_{пройденное} = 340 - 30 = 310$ км.

Также, пройденное расстояние можно найти, умножив скорость сближения на время: $S_{пройденное} = v_{сближения} \times t = (2x + 5) \times 2$ км.

Теперь мы можем составить и решить уравнение: $(2x + 5) \times 2 = 310$ $4x + 10 = 310$ $4x = 310 - 10$ $4x = 300$ $x = \frac{300}{4}$ $x = 75$

Итак, скорость первого поезда равна 75 км/ч. Скорость второго поезда равна $x + 5 = 75 + 5 = 80$ км/ч.

Проверка: время до встречи поездов равно $340 / (75+80) = 340 / 155 \approx 2.19$ ч. Так как 2 ч < 2.19 ч, поезда действительно еще не встретились.

Ответ: скорость одного поезда 75 км/ч, скорость другого поезда 80 км/ч.

2)

Пусть скорость одного мотоциклиста, которая меньше, равна $x$ км/ч. Тогда скорость другого мотоциклиста, которая на 10 км/ч больше, будет $(x + 10)$ км/ч.

Мотоциклисты едут навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = x + (x + 10) = 2x + 10$ км/ч.

Начальное расстояние между городами А и В равно 230 км. Через 3 часа после начала движения расстояние между мотоциклистами составило 20 км. Предполагая, что они еще не встретились, суммарное расстояние, которое они преодолели, равно:

$S_{пройденное} = 230 - 20 = 210$ км.

Это расстояние также равно произведению скорости сближения на время в пути: $S_{пройденное} = v_{сближения} \times t = (2x + 10) \times 3$ км.

Составим и решим уравнение: $(2x + 10) \times 3 = 210$ $6x + 30 = 210$ $6x = 210 - 30$ $6x = 180$ $x = \frac{180}{6}$ $x = 30$

Следовательно, скорость одного (более медленного) мотоциклиста равна 30 км/ч. Скорость второго мотоциклиста равна $x + 10 = 30 + 10 = 40$ км/ч.

Проверка: время до встречи мотоциклистов равно $230 / (30+40) = 230 / 70 \approx 3.28$ ч. Так как 3 ч < 3.28 ч, мотоциклисты еще не встретились, и наше предположение верно.

Ответ: скорость одного мотоциклиста 30 км/ч, скорость другого мотоциклиста 40 км/ч.