Номер 278, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

278. 1) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения реки за 40 с. Определить собственную скорость пловца, считая её постоянной от начала и до конца заплыва, если скорость течения реки равна 0,25 м/с.
2) Расстояние между двумя пунктами катер прошёл по течению реки за 3 ч 30 мин, а против течения реки за 6 ч 18 мин. Определить расстояние между этими пунктами, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч.

1)

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_{с}$ — собственная скорость пловца (м/с), которую необходимо найти.
$v_{т}$ — скорость течения реки, по условию $v_{т} = 0,25$ м/с.
$v_{по}$ — скорость пловца по течению, равная сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{с} + v_{т}$.
$v_{пр}$ — скорость пловца против течения, равная разности собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = v_{с} - v_{т}$.
$t_{по}$ — время движения по течению, по условию $t_{по} = 24$ с.
$t_{пр}$ — время движения против течения, по условию $t_{пр} = 40$ с.
$S$ — расстояние, которое проплыл ученик в одну сторону.

Расстояние $S$ можно выразить двумя способами, используя формулу $S = v \cdot t$:
1. При движении по течению: $S = v_{по} \cdot t_{по} = (v_{с} + v_{т}) \cdot t_{по}$
2. При движении против течения: $S = v_{пр} \cdot t_{пр} = (v_{с} - v_{т}) \cdot t_{пр}$

Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:
$(v_{с} + v_{т}) \cdot t_{по} = (v_{с} - v_{т}) \cdot t_{пр}$

Подставим известные значения в полученное уравнение:
$(v_{с} + 0,25) \cdot 24 = (v_{с} - 0,25) \cdot 40$

Теперь решим это уравнение относительно неизвестной скорости $v_{с}$:
$24v_{с} + 24 \cdot 0,25 = 40v_{с} - 40 \cdot 0,25$
$24v_{с} + 6 = 40v_{с} - 10$
$6 + 10 = 40v_{с} - 24v_{с}$
$16 = 16v_{с}$
$v_{с} = \frac{16}{16} = 1$ м/с.

Ответ: собственная скорость пловца равна 1 м/с.

2)

Введем обозначения:
$S$ — расстояние между пунктами (км), которое необходимо найти.
$v_{к}$ — собственная скорость катера (км/ч).
$v_{т}$ — скорость течения реки, по условию $v_{т} = 2,4$ км/ч.
$t_{по}$ — время движения по течению, по условию $t_{по} = 3$ ч $30$ мин.
$t_{пр}$ — время движения против течения, по условию $t_{пр} = 6$ ч $18$ мин.

Сначала переведем время в часы для удобства расчетов, так как скорость дана в км/ч:
$t_{по} = 3 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 3 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 3,5$ ч.
$t_{пр} = 6 \text{ ч } 18 \text{ мин} = 6 + \frac{18}{60} \text{ ч} = 6 + 0,3 \text{ ч} = 6,3$ ч.

Расстояние $S$ в обоих направлениях одинаково и выражается через скорость и время:
1. По течению: $S = (v_{к} + v_{т}) \cdot t_{по}$
2. Против течения: $S = (v_{к} - v_{т}) \cdot t_{пр}$

Приравняем выражения для расстояния, чтобы найти собственную скорость катера $v_{к}$:
$(v_{к} + v_{т}) \cdot t_{по} = (v_{к} - v_{т}) \cdot t_{пр}$

Подставим известные значения:
$(v_{к} + 2,4) \cdot 3,5 = (v_{к} - 2,4) \cdot 6,3$

Решим уравнение относительно $v_{к}$:
$3,5v_{к} + 3,5 \cdot 2,4 = 6,3v_{к} - 6,3 \cdot 2,4$
$3,5v_{к} + 8,4 = 6,3v_{к} - 15,12$
$8,4 + 15,12 = 6,3v_{к} - 3,5v_{к}$
$23,52 = 2,8v_{к}$
$v_{к} = \frac{23,52}{2,8} = 8,4$ км/ч.

Теперь, зная собственную скорость катера, мы можем найти искомое расстояние $S$, используя любое из двух первоначальных выражений. Возьмем формулу для движения по течению:
$S = (v_{к} + v_{т}) \cdot t_{по} = (8,4 + 2,4) \cdot 3,5$
$S = 10,8 \cdot 3,5 = 37,8$ км.

Ответ: расстояние между этими пунктами равно 37,8 км.