Страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (283–284).

283. 1) $3y + 5 = 4\left(9 - \frac{y}{2}\right)$;

2) $8\left(11 - \frac{3}{4}z\right) = 16z - 44$;

3) $3\left(5 + \frac{x}{2}\right) = 4 + 2x$;

4) $2\left(3 - \frac{x}{3}\right) = 5 + x$.

1) $3y+5=4(9-\frac{y}{2})$

Первым шагом раскроем скобки в правой части уравнения, умножив 4 на каждый член в скобках:

$3y+5=4 \cdot 9 - 4 \cdot \frac{y}{2}$

$3y+5=36-2y$

Далее, сгруппируем члены, содержащие переменную $y$, в левой части уравнения, а постоянные члены (числа) — в правой. При переносе члена из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$3y+2y=36-5$

Теперь приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$5y=31$

Чтобы найти значение $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 5:

$y = \frac{31}{5}$

$y = 6.2$

Ответ: $6.2$

2) $8(11-\frac{3}{4}z)=16z-44$

Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 8 на каждый член в скобках:

$8 \cdot 11 - 8 \cdot \frac{3}{4}z = 16z - 44$

$88 - \frac{24}{4}z = 16z - 44$

$88 - 6z = 16z - 44$

Перенесем члены с переменной $z$ в правую часть уравнения, а постоянные члены — в левую, меняя их знаки при переносе.

$88 + 44 = 16z + 6z$

Приведем подобные слагаемые:

$132 = 22z$

Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на 22:

$z = \frac{132}{22}$

$z = 6$

Ответ: $6$

3) $3(5+\frac{x}{2})=4+2x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3 \cdot 5 + 3 \cdot \frac{x}{2} = 4 + 2x$

$15 + \frac{3}{2}x = 4 + 2x$

Сгруппируем члены с переменной $x$ в одной части, а постоянные члены — в другой. Перенесем $\frac{3}{2}x$ вправо, а 4 — влево.

$15 - 4 = 2x - \frac{3}{2}x$

Приведем подобные слагаемые. Для вычитания дробей приведем $2x$ к знаменателю 2:

$11 = \frac{4}{2}x - \frac{3}{2}x$

$11 = \frac{1}{2}x$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 11 \cdot 2$

$x = 22$

Ответ: $22$

4) $2(3-\frac{x}{3})=5+x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{x}{3} = 5 + x$

$6 - \frac{2}{3}x = 5 + x$

Перенесем члены с переменной $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую.

$6 - 5 = x + \frac{2}{3}x$

Приведем подобные слагаемые. Представим $x$ как $\frac{3}{3}x$ для сложения с дробью:

$1 = \frac{3}{3}x + \frac{2}{3}x$

$1 = \frac{5}{3}x$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на дробь, обратную коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{3}{5}$:

$x = 1 \cdot \frac{3}{5}$

$x = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

284. 1) $ \frac{x-2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{x+7}{6};$

2) $ \frac{x-7}{6} = \frac{x+1}{2} - 3;

3) $ \frac{2(3x-1)}{5} = 4 - \frac{x+2}{2};$

4) $ \frac{1}{2} - \frac{3x}{4} = \frac{2(3-x)}{5}.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{x-2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{x+7}{6} $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4, 2 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 12.

Умножаем каждый член уравнения на 12:

$ 12 \cdot \frac{x-2}{4} - 12 \cdot \frac{1}{2} = 12 \cdot \frac{x+7}{6} $

Сокращаем дроби:

$ 3(x-2) - 6 = 2(x+7) $

Раскрываем скобки:

$ 3x - 6 - 6 = 2x + 14 $

Приводим подобные слагаемые:

$ 3x - 12 = 2x + 14 $

Переносим слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$ 3x - 2x = 14 + 12 $

Вычисляем:

$ x = 26 $

Ответ: $x=26$

2) Исходное уравнение: $ \frac{x-7}{6} = \frac{x+1}{2} - 3 $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 2. НОК(6, 2) = 6.

Умножаем каждый член уравнения на 6:

$ 6 \cdot \frac{x-7}{6} = 6 \cdot \frac{x+1}{2} - 6 \cdot 3 $

Сокращаем дроби:

$ x - 7 = 3(x+1) - 18 $

Раскрываем скобки:

$ x - 7 = 3x + 3 - 18 $

Приводим подобные слагаемые в правой части:

$ x - 7 = 3x - 15 $

Переносим слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные слагаемые — в левую:

$ 15 - 7 = 3x - x $

Вычисляем:

$ 8 = 2x $

Находим $x$:

$ x = \frac{8}{2} $

$ x = 4 $

Ответ: $x=4$

3) Исходное уравнение: $ \frac{2(3x-1)}{5} = 4 - \frac{x+2}{2} $.

Сначала раскроем скобки в числителе левой части:

$ \frac{6x-2}{5} = 4 - \frac{x+2}{2} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2. НОК(5, 2) = 10.

Умножаем каждый член уравнения на 10:

$ 10 \cdot \frac{6x-2}{5} = 10 \cdot 4 - 10 \cdot \frac{x+2}{2} $

Сокращаем дроби:

$ 2(6x-2) = 40 - 5(x+2) $

Раскрываем скобки:

$ 12x - 4 = 40 - 5x - 10 $

Приводим подобные слагаемые в правой части:

$ 12x - 4 = 30 - 5x $

Переносим слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$ 12x + 5x = 30 + 4 $

Вычисляем:

$ 17x = 34 $

Находим $x$:

$ x = \frac{34}{17} $

$ x = 2 $

Ответ: $x=2$

4) Исходное уравнение: $ \frac{1}{2} - \frac{3x}{4} = \frac{2(3-x)}{5} $.

Сначала раскроем скобки в числителе правой части:

$ \frac{1}{2} - \frac{3x}{4} = \frac{6-2x}{5} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 5. НОК(2, 4, 5) = 20.

Умножаем каждый член уравнения на 20:

$ 20 \cdot \frac{1}{2} - 20 \cdot \frac{3x}{4} = 20 \cdot \frac{6-2x}{5} $

Сокращаем дроби:

$ 10 \cdot 1 - 5 \cdot 3x = 4(6-2x) $

Выполняем умножение и раскрываем скобки:

$ 10 - 15x = 24 - 8x $

Переносим слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные слагаемые — в левую:

$ 10 - 24 = -8x + 15x $

Вычисляем:

$ -14 = 7x $

Находим $x$:

$ x = \frac{-14}{7} $

$ x = -2 $

Ответ: $x=-2$

285. 1) На первой ферме был сделан запас силоса $7 \text{ т } 680 \text{ кг}$, а на второй — $9 \text{ т } 600 \text{ кг}$. На первой ферме ежедневно расходуется $352 \text{ кг}$, а на второй — $480 \text{ кг}$ силоса. Через сколько дней запасы силоса на обеих фермах станут равными?

2) На первую овощную базу было завезено $145 \text{ т } 480 \text{ кг}$ картофеля, а на вторую — $89 \text{ т } 7 \text{ ц}$. С первой базы ежедневно вывозят в магазины по $4 \text{ т } 40 \text{ кг}$ картофеля, а со второй — по $2 \text{ т } 550 \text{ кг}$. Через сколько дней на второй базе останется картофеля в 2 раза меньше, чем на первой?

1)

Для решения задачи сначала переведем все величины в килограммы. В одной тонне 1000 килограммов.

Запас силоса на первой ферме: $7 \text{ т } 680 \text{ кг} = 7 \times 1000 + 680 = 7680 \text{ кг}$.

Запас силоса на второй ферме: $9 \text{ т } 600 \text{ кг} = 9 \times 1000 + 600 = 9600 \text{ кг}$.

Пусть $x$ — это количество дней, через которое запасы силоса на обеих фермах станут равными.

За $x$ дней на первой ферме израсходуют $352x$ кг силоса, и останется: $7680 - 352x$ кг.

За $x$ дней на второй ферме израсходуют $480x$ кг силоса, и останется: $9600 - 480x$ кг.

По условию задачи, через $x$ дней запасы должны стать равными. Составим и решим уравнение:

$7680 - 352x = 9600 - 480x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$480x - 352x = 9600 - 7680$

$128x = 1920$

$x = 1920 / 128$

$x = 15$

Через 15 дней запасы силоса на обеих фермах станут равными.

Ответ: через 15 дней.

2)

Сначала переведем все величины в килограммы. В одной тонне 1000 кг, в одном центнере 100 кг.

Запас картофеля на первой базе: $145 \text{ т } 480 \text{ кг} = 145 \times 1000 + 480 = 145480 \text{ кг}$.

Ежедневный вывоз с первой базы: $4 \text{ т } 40 \text{ кг} = 4 \times 1000 + 40 = 4040 \text{ кг}$.

Запас картофеля на второй базе: $89 \text{ т } 7 \text{ ц} = 89 \times 1000 + 7 \times 100 = 89000 + 700 = 89700 \text{ кг}$.

Ежедневный вывоз со второй базы: $2 \text{ т } 550 \text{ кг} = 2 \times 1000 + 550 = 2550 \text{ кг}$.

Пусть $x$ — это количество дней, через которое на второй базе останется картофеля в 2 раза меньше, чем на первой.

Остаток на первой базе через $x$ дней: $145480 - 4040x$ кг.

Остаток на второй базе через $x$ дней: $89700 - 2550x$ кг.

По условию, остаток на первой базе должен быть в 2 раза больше, чем на второй. Составим и решим уравнение:

$145480 - 4040x = 2 \times (89700 - 2550x)$

Раскроем скобки в правой части:

$145480 - 4040x = 179400 - 5100x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$5100x - 4040x = 179400 - 145480$

$1060x = 33920$

$x = 33920 / 1060$

$x = 32$

Через 32 дня на второй базе останется картофеля в 2 раза меньше, чем на первой.

Ответ: через 32 дня.