Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

295. Яблоки при сушке теряют 84 % своей массы. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить 16 кг сушёных?

Для решения задачи определим, какая часть массы свежих яблок остаётся после сушки. Изначальная масса свежих яблок составляет 100%.

По условию, при сушке яблоки теряют 84% своей массы. Значит, масса сушёных яблок составляет:

$100\% - 84\% = 16\%$

Таким образом, масса сушёных яблок составляет 16% от массы свежих яблок.

Пусть $x$ — это искомая масса свежих яблок в килограммах. Тогда 16 кг сушёных яблок — это 16% от $x$.

Чтобы найти число по его проценту, нужно это число (16 кг) разделить на величину процента (16) и умножить на 100. Составим уравнение, переведя проценты в десятичную дробь: $16\% = 0.16$.

$0.16 \cdot x = 16$

Теперь найдём $x$:

$x = \frac{16}{0.16}$

$x = 100$

Следовательно, чтобы получить 16 кг сушёных яблок, необходимо взять 100 кг свежих.

Ответ: 100 кг.

296. Кофе при обработке теряет $12 \%$ массы. Сколько килограммов кофе надо взять, чтобы получить $4,4 \text{ кг}$ сухого кофе?

Для решения этой задачи обозначим искомую начальную массу кофе за $x$ кг. Эта масса соответствует $100\%$.

По условию, при обработке кофе теряет 12% своей массы. Это значит, что масса оставшегося (сухого) кофе составляет:

$100\% - 12\% = 88\%$

Таким образом, 4,4 кг сухого кофе — это 88% от начальной массы $x$.

Чтобы найти начальную массу ($100\%$), можно составить пропорцию:

$4,4$ кг — $88\%$

$x$ кг — $100\%$

Из пропорции следует уравнение:

$x = \frac{4,4 \cdot 100}{88}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{440}{88}$

$x = 5$

Следовательно, для получения 4,4 кг сухого кофе необходимо взять 5 кг сырого кофе.

Ответ: 5 кг.

297. Решить с помощью калькулятора уравнение:

1) $173x + 199,6 = 2517,8;$

2) $24,8x + 25,47 = 71,35.$

1) $173x + 199,6 = 2517,8$
Для решения этого линейного уравнения необходимо найти значение переменной $x$. Сначала изолируем слагаемое с $x$, перенеся 199,6 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$173x = 2517,8 - 199,6$
С помощью калькулятора вычислим разность в правой части:
$2517,8 - 199,6 = 2318,2$
Теперь уравнение имеет вид:
$173x = 2318,2$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент 173:
$x = \frac{2318,2}{173}$
Выполним деление на калькуляторе:
$x = 13,4$
Ответ: 13,4

2) $24,8x + 25,47 = 71,35$
Решим второе линейное уравнение аналогичным образом. Перенесем 25,47 в правую часть, изменив знак:
$24,8x = 71,35 - 25,47$
Вычислим правую часть с помощью калькулятора:
$71,35 - 25,47 = 45,88$
Уравнение принимает вид:
$24,8x = 45,88$
Теперь разделим обе части на 24,8, чтобы найти $x$:
$x = \frac{45,88}{24,8}$
Произведем деление на калькуляторе:
$x = 1,85$
Ответ: 1,85

298. Решить уравнение:

1) $|2x - 1| = 3;$

2) $|1 - 5x| = 2.$

1) $|2x-1|=3$

Уравнение с модулем вида $|A|=b$, где $b>0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A=b$ и $A=-b$. В данном случае $A=2x-1$ и $b=3$.

Рассмотрим два возможных случая:

а) $2x-1 = 3$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$2x = 3 + 1$
$2x = 4$
Разделим обе части уравнения на $2$:
$x = \frac{4}{2}$
$x = 2$

б) $2x-1 = -3$
Аналогично перенесем $-1$ в правую часть:
$2x = -3 + 1$
$2x = -2$
Разделим обе части уравнения на $2$:
$x = \frac{-2}{2}$
$x = -1$

Уравнение имеет два корня: $2$ и $-1$.

Ответ: -1; 2.

2) $|1-5x|=2$

Данное уравнение также решается раскрытием модуля на два случая, так как значение выражения под модулем может быть как $2$, так и $-2$.

а) $1-5x = 2$
Перенесем $1$ в правую часть уравнения:
$-5x = 2 - 1$
$-5x = 1$
Разделим обе части на $-5$:
$x = \frac{1}{-5}$
$x = -0.2$

б) $1-5x = -2$
Перенесем $1$ в правую часть уравнения:
$-5x = -2 - 1$
$-5x = -3$
Разделим обе части на $-5$:
$x = \frac{-3}{-5}$
$x = \frac{3}{5}$
$x = 0.6$

Уравнение имеет два корня: $-0.2$ и $0.6$.

Ответ: -0.2; 0.6.

299. Поезд идёт со скоростью 40 км/ч. По наблюдению машиниста, встречный поезд, длина которого 75 м, проходит мимо него за 3 с. Какова скорость движения встречного поезда?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием относительной скорости. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их относительная скорость сближения равна сумме их скоростей.

Пусть $v_1$ — скорость первого поезда, а $v_2$ — искомая скорость встречного поезда.

Дано:
Скорость первого поезда $v_1 = 40$ км/ч.
Длина встречного поезда $L = 75$ м.
Время, за которое встречный поезд проходит мимо машиниста $t = 3$ с.

Относительная скорость поездов $v_{отн}$ определяется как сумма их скоростей, так как они движутся навстречу друг другу:
$v_{отн} = v_1 + v_2$

С точки зрения машиниста, мимо него проходит встречный поезд длиной $L$ за время $t$. Таким образом, относительную скорость можно также вычислить по формуле:
$v_{отн} = \frac{L}{t}$

Для корректных расчетов необходимо привести все величины к единой системе измерений. Переведем скорость первого поезда в метры в секунду (м/с):
$v_1 = 40 \text{ км/ч} = 40 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{400}{36} \text{ м/с} = \frac{100}{9} \text{ м/с}$.

Теперь вычислим относительную скорость, используя данные о длине встречного поезда и времени прохождения:
$v_{отн} = \frac{75 \text{ м}}{3 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$.

Теперь, зная относительную скорость и скорость первого поезда, мы можем найти скорость второго поезда из уравнения $v_{отн} = v_1 + v_2$:
$v_2 = v_{отн} - v_1$
Подставим известные значения:
$v_2 = 25 \text{ м/с} - \frac{100}{9} \text{ м/с}$
Приведем к общему знаменателю:
$v_2 = \frac{25 \times 9}{9} \text{ м/с} - \frac{100}{9} \text{ м/с} = \frac{225}{9} \text{ м/с} - \frac{100}{9} \text{ м/с} = \frac{125}{9} \text{ м/с}$.

Обычно скорость поездов измеряют в км/ч, поэтому переведем полученный результат обратно в км/ч, умножив на коэффициент 3.6:
$v_2 = \frac{125}{9} \times 3.6 \text{ км/ч} = \frac{125 \times 3.6}{9} \text{ км/ч} = 125 \times 0.4 \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость движения встречного поезда составляет 50 км/ч.