Номер 290, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

290. Подобрать число a такое, чтобы уравнение имело корни:

1) $5x - 7 = 5x - a;$

2) $x - (2 - x) = 2x - a;$

3) $\frac{a}{2} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}x - (x - 8);$

4) $\frac{x}{3} + \frac{a}{5} = (x + 15) - \frac{2}{3}x.$

1) Дано уравнение $5x - 7 = 5x - a$.
Чтобы решить это уравнение, необходимо найти значение параметра $a$, при котором оно будет иметь хотя бы одно решение (корень).
Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:
$5x - 5x = 7 - a$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$0 \cdot x = 7 - a$
Мы получили уравнение вида $0 \cdot x = b$. Такое уравнение имеет корни только в одном случае: когда правая часть также равна нулю, то есть $b=0$. В этом случае ($0 \cdot x = 0$) решением является любое действительное число $x$, то есть уравнение имеет бесконечное множество корней. Если же $b \neq 0$, то уравнение не имеет решений, так как нет такого числа $x$, которое при умножении на 0 дало бы ненулевой результат.
Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело корни, должно выполняться условие:
$7 - a = 0$
Отсюда находим значение $a$:
$a = 7$
Ответ: $a=7$.

2) Дано уравнение $x - (2 - x) = 2x - a$.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$x - 2 + x = 2x - a$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2x - 2 = 2x - a$
Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$2x - 2x = 2 - a$
Упрощаем левую часть:
$0 \cdot x = 2 - a$
Как и в предыдущем задании, это уравнение будет иметь корни только в том случае, если его правая часть равна нулю.
$2 - a = 0$
Отсюда находим $a$:
$a = 2$
Ответ: $a=2$.

3) Дано уравнение $\frac{a}{2} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}x - (x - 8)$.
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$\frac{a}{2} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}x - x + 8$
Приведем подобные слагаемые с $x$ в правой части:
$\frac{1}{2}x - x = \frac{1}{2}x - \frac{2}{2}x = -\frac{1}{2}x$
Уравнение принимает вид:
$\frac{a}{2} - \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}x + 8$
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:
$-\frac{x}{2} + \frac{1}{2}x = 8 - \frac{a}{2}$
Упрощаем левую часть:
$0 \cdot x = 8 - \frac{a}{2}$
Уравнение имеет корни только тогда, когда его правая часть обращается в нуль.
$8 - \frac{a}{2} = 0$
$8 = \frac{a}{2}$
Умножим обе части на 2, чтобы найти $a$:
$a = 16$
Ответ: $a=16$.

4) Дано уравнение $\frac{x}{3} + \frac{a}{5} = (x + 15) - \frac{2}{3}x$.
Сначала упростим правую часть уравнения, сгруппировав слагаемые с $x$:
$x + 15 - \frac{2}{3}x = (x - \frac{2}{3}x) + 15 = (\frac{3}{3}x - \frac{2}{3}x) + 15 = \frac{1}{3}x + 15$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{x}{3} + \frac{a}{5} = \frac{1}{3}x + 15$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$\frac{x}{3} - \frac{1}{3}x = 15 - \frac{a}{5}$
Упрощаем левую часть:
$0 \cdot x = 15 - \frac{a}{5}$
Данное уравнение будет иметь корни только в том случае, если его правая часть равна нулю.
$15 - \frac{a}{5} = 0$
$15 = \frac{a}{5}$
Умножим обе части на 5, чтобы найти $a$:
$a = 15 \cdot 5$
$a = 75$
Ответ: $a=75$.