Номер 3, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Сформулировать алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным.

Уравнения, сводящиеся к линейным, решаются с помощью тождественных преобразований, которые приводят исходное, более сложное уравнение к стандартному линейному виду $ax = b$. Алгоритм решения состоит из следующих шагов:

1. Раскрытие скобок и избавление от знаменателей.

   Если уравнение содержит скобки, их необходимо раскрыть, применяя распределительный закон умножения. Если в уравнении есть дроби, следует избавиться от них, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (НОЗ) всех дробей в уравнении. Это преобразование является тождественным и упрощает уравнение.

2. Группировка слагаемых.

   Все слагаемые, содержащие неизвестную переменную (например, $x$), переносятся в одну часть уравнения (традиционно в левую), а все числовые слагаемые (константы) — в другую (традиционно в правую). Важно помнить, что при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

3. Приведение подобных слагаемых.

   После группировки необходимо упростить обе части уравнения, выполнив сложение и вычитание слагаемых с переменной между собой и числовых слагаемых между собой. В результате этих действий уравнение приводится к простейшему линейному виду $ax = b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа.

4. Нахождение корня уравнения.

   На этом шаге анализируется полученное уравнение $ax = b$:

   • Если коэффициент $a \neq 0$, то корень уравнения находится делением обеих частей на $a$: $x = \frac{b}{a}$.
   • Если $a = 0$ и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство неверно при любом значении $x$, следовательно, уравнение не имеет решений (корней нет).
   • Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$, следовательно, решением уравнения является любое число (уравнение имеет бесконечное множество решений).

5. Проверка решения.

   Рекомендуется выполнить проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное (самое первое) уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, значит, корень найден правильно. Этот шаг помогает выявить возможные арифметические ошибки, допущенные в процессе преобразований.

Ответ: Алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным, заключается в последовательном выполнении следующих шагов: 1. Упрощение уравнения путем раскрытия скобок и избавления от знаменателей. 2. Перенос всех слагаемых с переменной в одну сторону, а констант — в другую. 3. Приведение подобных слагаемых для получения уравнения вида $ax = b$. 4. Нахождение $x$ путем деления на коэффициент $a$, если он не равен нулю, и анализ случаев, когда $a=0$. 5. Проверка найденного корня подстановкой в исходное уравнение.