Номер 5, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Уравнения с одним неизвестным. Параграф 14. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным. Устные вопросы и задания - номер 5, страница 87.

Условие.

5. Какие уравнения называются равносильными?

Решение 1.

Решение 5.

Два уравнения с одной или несколькими переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Это означает, что каждый корень (или набор корней, если переменных несколько) первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Уравнения также считаются равносильными, если оба не имеют решений. Знак равносильности — $\Leftrightarrow$.

Пример 1: Уравнения с одинаковыми корнями
Рассмотрим два уравнения: $5x - 15 = 0$ и $x - 3 = 0$.
Решим первое уравнение: $5x = 15$ $x = \frac{15}{5}$ $x = 3$
Решением второго уравнения очевидно является $x = 3$.
Поскольку множества корней этих уравнений совпадают (в обоих случаях это $\{3\}$), уравнения $5x - 15 = 0$ и $x - 3 = 0$ являются равносильными.

Пример 2: Уравнения, не имеющие корней
Уравнения $x^2 = -1$ и $\sqrt{x} = -2$ не имеют действительных корней. Множество решений для каждого из них пустое. Следовательно, эти уравнения также равносильны.

Для получения равносильного уравнения из исходного используют равносильные преобразования. К ним относятся:

• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение, которое определено и не обращается в ноль на области допустимых значений переменной.
• Применение тождеств для преобразования выражений в левой или правой части уравнения (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых).

Важно помнить, что некоторые преобразования, например, возведение обеих частей уравнения в квадрат, могут привести к появлению посторонних корней и, как следствие, к неравносильному уравнению. Например, уравнение $x = 2$ имеет один корень $x = 2$. Если возвести обе части в квадрат, получится уравнение $x^2 = 4$, у которого два корня: $x = 2$ и $x = -2$. Множества решений не совпадают, значит, уравнения $x = 2$ и $x^2 = 4$ не являются равносильными.

Ответ: Равносильными называются уравнения, которые имеют одно и то же множество решений. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными.