Номер 5, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: оранжевый, синий
ISBN: 978-5-09-105802-4
Популярные ГДЗ в 7 классе
Устные вопросы и задания. Параграф 14. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным. Глава 3. Уравнения с одним неизвестным - номер 5, страница 87.
№5 (с. 87)
Условие. №5 (с. 87)
скриншот условия

5. Какие уравнения называются равносильными?
Решение 1. №5 (с. 87)

Решение 5. №5 (с. 87)
Два уравнения с одной или несколькими переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.
Это означает, что каждый корень (или набор корней, если переменных несколько) первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Уравнения также считаются равносильными, если оба не имеют решений. Знак равносильности — $\Leftrightarrow$.
Пример 1: Уравнения с одинаковыми корнями
Рассмотрим два уравнения: $5x - 15 = 0$ и $x - 3 = 0$.
Решим первое уравнение: $5x = 15$ $x = \frac{15}{5}$ $x = 3$
Решением второго уравнения очевидно является $x = 3$.
Поскольку множества корней этих уравнений совпадают (в обоих случаях это $\{3\}$), уравнения $5x - 15 = 0$ и $x - 3 = 0$ являются равносильными.
Пример 2: Уравнения, не имеющие корней
Уравнения $x^2 = -1$ и $\sqrt{x} = -2$ не имеют действительных корней. Множество решений для каждого из них пустое. Следовательно, эти уравнения также равносильны.
Для получения равносильного уравнения из исходного используют равносильные преобразования. К ним относятся:
- Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
- Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение, которое определено и не обращается в ноль на области допустимых значений переменной.
- Применение тождеств для преобразования выражений в левой или правой части уравнения (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых).
Важно помнить, что некоторые преобразования, например, возведение обеих частей уравнения в квадрат, могут привести к появлению посторонних корней и, как следствие, к неравносильному уравнению. Например, уравнение $x = 2$ имеет один корень $x = 2$. Если возвести обе части в квадрат, получится уравнение $x^2 = 4$, у которого два корня: $x = 2$ и $x = -2$. Множества решений не совпадают, значит, уравнения $x = 2$ и $x^2 = 4$ не являются равносильными.
Ответ: Равносильными называются уравнения, которые имеют одно и то же множество решений. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 87 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 87), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.