Страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

220. Вычислить значение числового выражения:

1) $\frac{(2.4 - \frac{3}{4}) \cdot 0.6}{(\frac{3}{8} + 0.25) \cdot 0.4} + \frac{7}{6 - 5\frac{13}{20}}$

2) $\frac{(3.25 - \frac{3}{4}) \cdot 6.25}{(2 - 0.75) : \frac{4}{5}} + \frac{(5.5 - 3\frac{3}{4}) : 5}{(2 - 0.8) \cdot \frac{3}{4}}$

1)

Для вычисления значения выражения разобьем его на действия. Удобнее всего будет перевести все десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби.

$\frac{(2,4 - \frac{3}{4}) \cdot 0,6}{(\frac{3}{8} + 0,25) \cdot 0,4} + \frac{7}{6 - 5\frac{13}{20}}$

1. Вычислим числитель первой дроби: $(2,4 - \frac{3}{4}) \cdot 0,6$.

$2,4 - \frac{3}{4} = \frac{24}{10} - \frac{3}{4} = \frac{12}{5} - \frac{3}{4} = \frac{12 \cdot 4 - 3 \cdot 5}{20} = \frac{48 - 15}{20} = \frac{33}{20}$.

$\frac{33}{20} \cdot 0,6 = \frac{33}{20} \cdot \frac{6}{10} = \frac{33}{20} \cdot \frac{3}{5} = \frac{99}{100}$.

2. Вычислим знаменатель первой дроби: $(\frac{3}{8} + 0,25) \cdot 0,4$.

$\frac{3}{8} + 0,25 = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}$.

$\frac{5}{8} \cdot 0,4 = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{10} = \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$.

3. Найдем значение первой дроби, разделив результат действия 1 на результат действия 2.

$\frac{\frac{99}{100}}{\frac{1}{4}} = \frac{99}{100} \cdot \frac{4}{1} = \frac{99}{25}$.

4. Вычислим знаменатель второй дроби: $6 - 5\frac{13}{20}$.

$6 - 5\frac{13}{20} = (5 + 1) - (5 + \frac{13}{20}) = 1 - \frac{13}{20} = \frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}$.

5. Найдем значение второй дроби.

$\frac{7}{\frac{7}{20}} = 7 \cdot \frac{20}{7} = 20$.

6. Сложим полученные значения.

$\frac{99}{25} + 20 = 3\frac{24}{25} + 20 = 23\frac{24}{25}$.

Ответ: $23\frac{24}{25}$.

2)

Для вычисления значения выражения также разобьем его на действия. В этом примере удобно комбинировать десятичные и обыкновенные дроби.

$\frac{(3,25 - \frac{3}{4}) \cdot 6,25}{(2 - 0,75) : \frac{4}{5}} + \frac{(5,5 - 3\frac{3}{4}) : 5}{(2 - 0,8) \cdot \frac{3}{4}}$

1. Вычислим числитель первой дроби: $(3,25 - \frac{3}{4}) \cdot 6,25$.

Так как $\frac{3}{4} = 0,75$, то $3,25 - \frac{3}{4} = 3,25 - 0,75 = 2,5$.

$2,5 \cdot 6,25 = \frac{5}{2} \cdot \frac{25}{4} = \frac{125}{8}$.

2. Вычислим знаменатель первой дроби: $(2 - 0,75) : \frac{4}{5}$.

$2 - 0,75 = 1,25 = \frac{5}{4}$.

$\frac{5}{4} : \frac{4}{5} = \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{16}$.

3. Найдем значение первой дроби.

$\frac{\frac{125}{8}}{\frac{25}{16}} = \frac{125}{8} \cdot \frac{16}{25} = \frac{125}{25} \cdot \frac{16}{8} = 5 \cdot 2 = 10$.

4. Вычислим числитель второй дроби: $(5,5 - 3\frac{3}{4}) : 5$.

Так как $3\frac{3}{4} = 3,75$, то $5,5 - 3\frac{3}{4} = 5,5 - 3,75 = 1,75$.

$1,75 : 5 = \frac{7}{4} : 5 = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{20}$.

5. Вычислим знаменатель второй дроби: $(2 - 0,8) \cdot \frac{3}{4}$.

$2 - 0,8 = 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$.

6. Найдем значение второй дроби.

$\frac{\frac{7}{20}}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{20} \cdot \frac{10}{9} = \frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 9} = \frac{7}{18}$.

7. Сложим полученные значения.

$10 + \frac{7}{18} = 10\frac{7}{18}$.

Ответ: $10\frac{7}{18}$.

221. Записать:

1) удвоенную разность чисел $a$ и $b$;

2) удвоенное произведение чисел $m$ и $n$;

3) частное от деления суммы чисел $n$ и $m$ на их разность;

4) произведение суммы чисел $a$ и $b$ и их разности.

1) удвоенную разность чисел a и b;

Чтобы записать это выражение, сначала найдем разность чисел $a$ и $b$. Разность — это результат вычитания, поэтому она записывается как $(a - b)$.

Затем, эту разность нужно удвоить, то есть умножить на 2. В результате получается выражение $2 \cdot (a - b)$. Скобки необходимы, чтобы показать, что на 2 умножается вся разность, а не только число $a$.

Ответ: $2(a - b)$

2) удвоенное произведение чисел m и n;

Сначала найдем произведение чисел $m$ и $n$. Произведение — это результат умножения, который записывается как $m \cdot n$ или просто $mn$.

Далее, это произведение нужно удвоить, то есть умножить на 2. Получаем выражение $2 \cdot mn$.

Ответ: $2mn$

3) частное от деления суммы чисел n и m на их разность;

Найдем сумму чисел $n$ и $m$: $(n + m)$.

Найдем разность этих же чисел: $(n - m)$.

Частное от деления — это результат деления одного выражения на другое. В данном случае нужно разделить сумму на разность. Это можно записать с помощью знака деления $(n + m) \div (n - m)$ или, что более распространено в алгебре, в виде дроби.

Ответ: $\frac{n + m}{n - m}$

4) произведение суммы чисел a и b и их разности.

Сначала запишем сумму чисел $a$ и $b$: $(a + b)$.

Затем запишем их разность: $(a - b)$.

Произведение этих двух выражений означает, что их нужно перемножить. Результатом будет $(a + b)(a - b)$. Это выражение также является формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов", и может быть упрощено до $a^2 - b^2$.

Ответ: $(a + b)(a - b)$

222. Искусственный спутник Земли движется со скоростью 8000 м/с. За какое время он пройдёт путь, равный 48 000 км; 1 440 000 км?

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения времени: $t = S / v$, где $t$ – время, $S$ – путь, $v$ – скорость.

Исходные данные:

Скорость спутника: $v = 8000 \text{ м/с}$.

Поскольку скорость дана в метрах в секунду, а расстояние в километрах, необходимо привести единицы к одной системе. Переведем расстояние в метры, зная, что в 1 километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).

48 000 км

1. Переведем расстояние из километров в метры:

$S_1 = 48\ 000 \text{ км} = 48\ 000 \times 1000 \text{ м} = 48\ 000\ 000 \text{ м}$.

2. Рассчитаем время, поделив расстояние на скорость:

$t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{48\ 000\ 000 \text{ м}}{8000 \text{ м/с}} = 6000 \text{ с}$.

3. Для удобства восприятия переведем секунды в минуты и часы:

$6000 \text{ с} = 6000 / 60 = 100 \text{ минут}$.

$100 \text{ минут} = 1 \text{ час } 40 \text{ минут}$.

Ответ: спутник пройдет путь 48 000 км за 6000 секунд, что составляет 100 минут или 1 час 40 минут.

1 440 000 км

1. Переведем расстояние из километров в метры:

$S_2 = 1\ 440\ 000 \text{ км} = 1\ 440\ 000 \times 1000 \text{ м} = 1\ 440\ 000\ 000 \text{ м}$.

2. Рассчитаем время:

$t_2 = \frac{S_2}{v} = \frac{1\ 440\ 000\ 000 \text{ м}}{8000 \text{ м/с}} = 180\ 000 \text{ с}$.

3. Переведем секунды в более крупные единицы времени:

$180\ 000 \text{ с} = 180\ 000 / 60 = 3000 \text{ минут}$.

$3000 \text{ минут} = 3000 / 60 = 50 \text{ часов}$.

$50 \text{ часов} = 2 \text{ суток } 2 \text{ часа}$ (так как в одних сутках 24 часа, $50 = 2 \times 24 + 2$).

Ответ: спутник пройдет путь 1 440 000 км за 180 000 секунд, что составляет 3000 минут, 50 часов или 2 суток 2 часа.

223. Самолёт расходует $a$ литров горючего на 1000 км пути.

1) Сколько литров горючего расходуется на 3000; 8000; 500; $s$ километров пути?

2) Какой путь пролетел самолёт, если он израсходовал горючего $5a$; $0,1a$ литров?

По условию задачи, самолёт расходует $a$ литров горючего на 1000 км пути. Из этого мы можем найти расход горючего на 1 километр пути.

Расход на 1 км = $\frac{a}{1000}$ литров/км.

Также мы можем определить, какой путь самолёт пролетает на 1 литр горючего.

Путь на 1 литр = $\frac{1000}{a}$ км/литр.

1) Сколько литров горючего расходуется на 3000; 8000; 500; s километров пути?

Чтобы найти общий расход горючего, нужно умножить расход на 1 км на заданное расстояние.

• На 3000 км:
  Расход = $3000 \text{ км} \cdot \frac{a}{1000} \frac{\text{литров}}{\text{км}} = 3a$ литров.
• На 8000 км:
  Расход = $8000 \text{ км} \cdot \frac{a}{1000} \frac{\text{литров}}{\text{км}} = 8a$ литров.
• На 500 км:
  Расход = $500 \text{ км} \cdot \frac{a}{1000} \frac{\text{литров}}{\text{км}} = 0.5a$ литров.
• На $s$ км:
  Расход = $s \text{ км} \cdot \frac{a}{1000} \frac{\text{литров}}{\text{км}} = \frac{as}{1000}$ литров.

Ответ: на 3000 км расходуется $3a$ литров, на 8000 км – $8a$ литров, на 500 км – $0.5a$ литров, на $s$ км – $\frac{as}{1000}$ литров.

2) Какой путь пролетел самолёт, если он израсходовал горючего 5a; 0,1a литров?

Чтобы найти пройденный путь, нужно умножить количество километров, которое самолёт пролетает на 1 литр горючего, на общее количество израсходованного горючего.

• Если израсходовано $5a$ литров:
  Путь = $5a \text{ литров} \cdot \frac{1000}{a} \frac{\text{км}}{\text{литр}} = 5 \cdot 1000 = 5000$ км.
• Если израсходовано $0.1a$ литров:
  Путь = $0.1a \text{ литров} \cdot \frac{1000}{a} \frac{\text{км}}{\text{литр}} = 0.1 \cdot 1000 = 100$ км.

Ответ: если израсходовано $5a$ литров, самолёт пролетел 5000 км; если израсходовано $0.1a$ литров – 100 км.

224. Для охлаждения доменной печи через её стенки ежеминутно пропускается 26 кубометров воды. Сколько кубометров воды проходит через стенки доменной печи за 1 сутки; 5 суток; m суток?

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить, сколько минут в сутках, а затем, зная расход воды в минуту, найти общий объем воды за указанные периоды времени.

1. Сначала определим количество минут в одних сутках. В сутках 24 часа, в каждом часе 60 минут.

Количество минут в сутках = $24 \times 60 = 1440$ минут.

2. Теперь найдем объем воды, который проходит через стенки печи за 1 сутки. Для этого умножим ежеминутный расход на количество минут в сутках.

Объем за сутки = $26 \text{ м}^3/\text{мин} \times 1440 \text{ мин} = 37440 \text{ м}^3$.

Теперь, имея это значение, мы можем ответить на все вопросы задачи.

за 1 сутки

Объем воды, который проходит через стенки доменной печи за 1 сутки, равен произведению ежеминутного расхода на количество минут в сутках.

$26 \times 1440 = 37440 \text{ м}^3$.

Ответ: 37440 кубометров.

за 5 суток

Чтобы найти объем воды за 5 суток, необходимо объем за одни сутки умножить на 5.

$37440 \times 5 = 187200 \text{ м}^3$.

Ответ: 187200 кубометров.

за m суток

Для того чтобы найти, сколько кубометров воды проходит за $m$ суток, нужно суточный объем умножить на $m$. Таким образом, мы получаем общую формулу.

$37440 \times m = 37440m \text{ м}^3$.

Ответ: $37440m$ кубометров.

225. Упростить выражение и найти его числовое значение:

1) $0.5(a - 2b) - (3b + 1.5a)$ при $a=0.48$, $b=0.03$;

2) $(\frac{1}{3}a + b) - \frac{2}{3}(a - 1.5b)$ при $a=3$, $b=-3$.

1) Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
$0,5(a - 2b) - (3b + 1,5a) = 0,5 \cdot a - 0,5 \cdot 2b - 3b - 1,5a = 0,5a - b - 3b - 1,5a$
Сгруппируем подобные члены:
$(0,5a - 1,5a) + (-b - 3b) = -a - 4b$
Теперь подставим числовые значения $a = 0,48$ и $b = 0,03$ в упрощенное выражение:
$-a - 4b = -(0,48) - 4 \cdot 0,03 = -0,48 - 0,12 = -0,6$
Ответ: $-0,6$

2) Упростим выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.
$(\frac{1}{3}a + b) - \frac{2}{3}(a - 1,5b) = \frac{1}{3}a + b - \frac{2}{3}a - \frac{2}{3} \cdot (-1,5b) = \frac{1}{3}a + b - \frac{2}{3}a + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}b$
Сократим дроби в последнем члене: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}b = 1 \cdot b = b$.
Выражение примет вид:
$\frac{1}{3}a + b - \frac{2}{3}a + b$
Сгруппируем подобные члены:
$(\frac{1}{3}a - \frac{2}{3}a) + (b + b) = -\frac{1}{3}a + 2b$
Теперь подставим числовые значения $a = 3$ и $b = -3$ в упрощенное выражение:
$-\frac{1}{3}a + 2b = -\frac{1}{3} \cdot 3 + 2 \cdot (-3) = -1 + (-6) = -1 - 6 = -7$
Ответ: $-7$

226. За сутки холодильник потребляет $1.9 \text{ кВт} \cdot \text{ч}$ (киловатт-час) электроэнергии, а телевизор — $1 \text{ кВт} \cdot \text{ч}$ (при работе в среднем $4 \text{ ч}$ в сутки). Сколько стоит электроэнергия, потреблённая приборами за $30 \text{ суток}$, если $1 \text{ кВт} \cdot \text{ч}$ стоит $5 \text{ р. } 92 \text{ к.}$?

Для решения задачи необходимо сначала рассчитать общее количество электроэнергии, потребляемое обоими приборами за 30 суток, а затем умножить это значение на стоимость одного киловатт-часа.

1. Вычислим суммарное потребление электроэнергии за одни сутки.
Складываем потребление холодильника и телевизора:
$1,9 \text{ кВт·ч} + 1 \text{ кВт·ч} = 2,9 \text{ кВт·ч}$
Столько электроэнергии потребляют оба прибора вместе за одни сутки.

2. Найдем общее потребление электроэнергии за 30 суток.
Умножим суточное потребление на количество дней в периоде:
$2,9 \text{ кВт·ч/сутки} \times 30 \text{ суток} = 87 \text{ кВт·ч}$

3. Рассчитаем общую стоимость потребленной электроэнергии.
Стоимость 1 кВт·ч составляет 5 рублей 92 копейки, что равно 5,92 рубля. Умножим общее количество потребленной энергии на ее стоимость:
$87 \text{ кВт·ч} \times 5,92 \text{ р./кВт·ч} = 515,04 \text{ р.}$
Сумма 515,04 р. равна 515 рублям 4 копейкам.

Ответ: стоимость электроэнергии, потреблённой приборами за 30 суток, составляет 515 рублей 4 копейки.

227. Не вычисляя, объяснить, почему:

1) произведение чисел 2,004 и 1,745 больше 3;

2) произведение чисел 1,2438 и 0,8 меньше 2.

1) произведение чисел 2,004 и 1,745 больше 3;

Чтобы объяснить, почему произведение $2,004 \times 1,745$ больше 3 без точного умножения, воспользуемся методом оценки множителей.

Первый множитель, число $2,004$, немного больше, чем $2$. Запишем это в виде неравенства: $2,004 > 2$.

Второй множитель, число $1,745$, больше, чем $1,5$. Запишем это так: $1,745 > 1,5$. Число $1,5$ удобно для сравнения, потому что $2 \times 1,5 = 3$.

Согласно свойству неравенств, если перемножить соответственно левые и правые части двух верных неравенств с положительными членами ($a > b > 0$ и $c > d > 0$), то получится верное неравенство того же знака ($a \times c > b \times d$).

Применив это свойство к нашим неравенствам, получим: $2,004 \times 1,745 > 2 \times 1,5$

Вычислим произведение в правой части неравенства: $2 \times 1,5 = 3$

Таким образом, мы доказали, что $2,004 \times 1,745 > 3$.

Ответ: Произведение больше 3, так как один множитель ($2,004$) больше $2$, а второй множитель ($1,745$) больше $1,5$, а произведение $2 \times 1,5$ равно $3$.

2) произведение чисел 1,2438 и 0,8 меньше 2.

Чтобы объяснить, почему произведение $1,2438 \times 0,8$ меньше 2 без вычислений, рассмотрим свойства умножения.

Один из множителей, $0,8$, является правильной дробью, то есть числом, которое меньше $1$ ($0,8 < 1$).

При умножении любого положительного числа на число, меньшее $1$, результат всегда будет меньше исходного числа. В данном случае, мы умножаем $1,2438$ на $0,8$.

Следовательно, произведение будет меньше, чем $1,2438$: $1,2438 \times 0,8 < 1,2438$

В свою очередь, число $1,2438$ очевидно меньше, чем $2$: $1,2438 < 2$

Объединяя эти два неравенства, мы можем составить цепочку: $1,2438 \times 0,8 < 1,2438 < 2$

Из этого следует, что произведение $1,2438 \times 0,8$ меньше $2$.

Ответ: Произведение меньше 2, так как при умножении числа $1,2438$ на число $0,8$ (которое меньше 1), получается результат, который меньше, чем $1,2438$, а $1,2438$, в свою очередь, меньше $2$.

228. Найти числовое значение алгебраического выражения:

1) $\frac{2mn(n+k)}{n-k}$ при $m=k=\frac{1}{3}$, $n=\frac{1}{2}$;

2) $\frac{(3p+l) \cdot 2p}{p-l} + \frac{1}{3}$ при $p=\frac{1}{3}$, $l=1$.

1) Найдем числовое значение выражения $ \frac{2mn(n+k)}{n-k} $ при $ m = k = \frac{1}{3} $ и $ n = \frac{1}{2} $.

Для решения подставим заданные значения переменных в алгебраическое выражение:

$ \frac{2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} $

Выполним вычисления по действиям:

1. Сначала вычислим сумму в скобках в числителе. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ n + k = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $

2. Теперь вычислим весь числитель:

$ 2mn(n+k) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 6} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} $

3. Далее вычислим значение знаменателя:

$ n - k = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} $

4. Наконец, разделим полученный числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{5}{18}}{\frac{1}{6}} = \frac{5}{18} \div \frac{1}{6} = \frac{5}{18} \cdot \frac{6}{1} = \frac{5 \cdot 6}{18} = \frac{30}{18} $

5. Сократим полученную дробь на 6:

$ \frac{30 \div 6}{18 \div 6} = \frac{5}{3} $

Ответ: $ \frac{5}{3} $

2) Найдем числовое значение выражения $ \frac{(3p+l) \cdot 2p}{p-l} + \frac{1}{3} $ при $ p = \frac{1}{3} $ и $ l = 1 $.

Подставим значения переменных в выражение:

$ \frac{(3 \cdot \frac{1}{3} + 1) \cdot 2 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} - 1} + \frac{1}{3} $

Выполним вычисления по действиям:

1. Вычислим значение выражения в скобках в числителе дроби:

$ 3p + l = 3 \cdot \frac{1}{3} + 1 = 1 + 1 = 2 $

2. Теперь вычислим весь числитель дроби:

$ (3p+l) \cdot 2p = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} $

3. Вычислим знаменатель дроби:

$ p - l = \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3} $

4. Вычислим значение всей дроби, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{4}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = - \frac{12}{6} = -2 $

5. Выполним последнее действие — сложение:

$ -2 + \frac{1}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{-6+1}{3} = -\frac{5}{3} $

Ответ: $ -\frac{5}{3} $