Страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

201. 1) $2,3a - 0,7a + 3,6a - 1;$

2) $0,48b + 3 + 0,52b - 3,7b;$

3) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{6}a - \frac{5}{6}a + 2;$

4) $\frac{5}{6}y - \frac{1}{3}b - \frac{1}{6}y + \frac{2}{3}b - 3;$

5) $2,1m + n - 3,2m + 2n + 1,1m - n;$

6) $5,7p - 2,7q + 0,3p + 0,8q + 1,9q - p.$

1) $2,3a - 0,7a + 3,6a - 1$

Для упрощения выражения сгруппируем подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. В данном выражении это $2,3a$, $-0,7a$ и $3,6a$. Свободный член (число без переменной) — это $-1$.

$(2,3a - 0,7a + 3,6a) - 1$

Вынесем общую переменную $a$ за скобки и выполним действия с коэффициентами:

$(2,3 - 0,7 + 3,6)a - 1 = (1,6 + 3,6)a - 1 = 5,2a - 1$

Ответ: $5,2a - 1$

2) $0,48b + 3 + 0,52b - 3,7b$

Сгруппируем подобные слагаемые с переменной $b$: $(0,48b + 0,52b - 3,7b) + 3$.

Вынесем переменную $b$ за скобки и выполним действия с коэффициентами:

$(0,48 + 0,52 - 3,7)b + 3 = (1 - 3,7)b + 3 = -2,7b + 3$

Ответ: $-2,7b + 3$

3) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{6}a - \frac{5}{6}a + 2$

Сгруппируем подобные слагаемые отдельно для переменной $x$ и для переменной $a$:

$(\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}x) + (-\frac{1}{6}a - \frac{5}{6}a) + 2$

Для сложения дробей с разными знаменателями приведем их к общему знаменателю. Для $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$ общий знаменатель равен 6:

$(\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}x) + (-\frac{1}{6} - \frac{5}{6})a + 2 = (\frac{2}{6}x + \frac{3}{6}x) - (\frac{1+5}{6})a + 2$

$(\frac{2+3}{6})x - \frac{6}{6}a + 2 = \frac{5}{6}x - 1a + 2 = \frac{5}{6}x - a + 2$

Ответ: $\frac{5}{6}x - a + 2$

4) $\frac{5}{6}y - \frac{1}{3}b - \frac{1}{6}y + \frac{2}{3}b - 3$

Сгруппируем подобные слагаемые для $y$ и для $b$:

$(\frac{5}{6}y - \frac{1}{6}y) + (-\frac{1}{3}b + \frac{2}{3}b) - 3$

Выполним действия с коэффициентами:

$(\frac{5-1}{6})y + (\frac{-1+2}{3})b - 3 = \frac{4}{6}y + \frac{1}{3}b - 3$

Сократим дробь $\frac{4}{6}$ на 2:

$\frac{2}{3}y + \frac{1}{3}b - 3$

Ответ: $\frac{2}{3}y + \frac{1}{3}b - 3$

5) $2,1m + n - 3,2m + 2n + 1,1m - n$

Сгруппируем подобные слагаемые для $m$ и для $n$. Учтем, что $n$ это $1n$.

$(2,1m - 3,2m + 1,1m) + (n + 2n - n)$

Выполним действия с коэффициентами для каждой группы:

$(2,1 + 1,1 - 3,2)m + (1 + 2 - 1)n = (3,2 - 3,2)m + (2)n = 0 \cdot m + 2n = 2n$

Ответ: $2n$

6) $5,7p - 2,7q + 0,3p + 0,8q + 1,9q - p$

Сгруппируем подобные слагаемые для $p$ и для $q$. Учтем, что $-p$ это $-1p$.

$(5,7p + 0,3p - p) + (-2,7q + 0,8q + 1,9q)$

Выполним действия с коэффициентами для каждой группы:

$(5,7 + 0,3 - 1)p + (-2,7 + 0,8 + 1,9)q = (6 - 1)p + (-1,9 + 1,9)q = 5p + 0 \cdot q = 5p$

Ответ: $5p$

202. Упростить выражение:

1) $3(2x + 1) + 5(1 + 3x)$; 2) $4(2 + x) - 3(1 + x)$;

3) $10(n + m) - 4(2m + 7n)$; 4) $11(5c + d) + 3(d + c)$.

1) Чтобы упростить выражение $3(2x+1)+5(1+3x)$, сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения $a(b+c) = ab+ac$.
Раскрываем первую скобку: $3(2x+1) = 3 \cdot 2x + 3 \cdot 1 = 6x+3$.
Раскрываем вторую скобку: $5(1+3x) = 5 \cdot 1 + 5 \cdot 3x = 5+15x$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное и объединим их:
$6x+3+5+15x$.
Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с переменной $x$ и свободные члены):
$(6x+15x) + (3+5) = 21x+8$.
Ответ: $21x+8$

2) Упростим выражение $4(2+x)-3(1+x)$. Для этого раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой.
$4(2+x) = 4 \cdot 2 + 4 \cdot x = 8+4x$.
$-3(1+x) = -3 \cdot 1 - 3 \cdot x = -3-3x$.
Теперь подставим и объединим результаты:
$8+4x-3-3x$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4x-3x) + (8-3) = x+5$.
Ответ: $x+5$

3) Упростим выражение $10(n+m)-4(2m+7n)$. Раскроем скобки.
$10(n+m) = 10 \cdot n + 10 \cdot m = 10n+10m$.
$-4(2m+7n) = -4 \cdot 2m - 4 \cdot 7n = -8m-28n$.
Теперь сложим полученные выражения:
$10n+10m-8m-28n$.
Сгруппируем подобные слагаемые по переменным $n$ и $m$:
$(10n-28n) + (10m-8m) = -18n+2m$.
Для удобства записи можно поменять слагаемые местами: $2m-18n$.
Ответ: $2m-18n$

4) Упростим выражение $11(5c+d)+3(d+c)$. Раскроем скобки.
$11(5c+d) = 11 \cdot 5c + 11 \cdot d = 55c+11d$.
$3(d+c) = 3 \cdot d + 3 \cdot c = 3d+3c$.
Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
$55c+11d+3d+3c$.
Сгруппируем подобные слагаемые по переменным $c$ и $d$:
$(55c+3c) + (11d+3d) = 58c+14d$.
Ответ: $58c+14d$

203. Упростить выражение и найти его числовое значение:

1) $5(3x - 7) + 2(1 - x)$ при $x = \frac{1}{26}$;

2) $7(10 - x) + 3(2x - 1)$ при $x = -0,048$;

3) $\frac{1}{3}(6x - 3) + \frac{2}{5}(5x - 15)$ при $x = 3,01$;

4) $0,01(2,2x - 0,1) + 0,1(x - 100)$ при $x = -10$.

204. Используя свойства арифметических действий, вычислить:

1) $ \frac{1}{7}(0,14+2,1-3,5); $

2) $ \frac{1}{12}(4,8-0,24-1,2); $

3) $ (18\frac{6}{7}+21\frac{3}{4}):3; $

4) $ (15\frac{5}{7}+20\frac{15}{16}) \cdot \frac{1}{5}. $

1) Для решения используем распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, которое позволяет умножить множитель на каждое число в скобках по отдельности: $a(b+c-d) = ab+ac-ad$. В данном случае $a = \frac{1}{7}$.
$\frac{1}{7}(0,14+2,1-3,5) = \frac{1}{7} \cdot 0,14 + \frac{1}{7} \cdot 2,1 - \frac{1}{7} \cdot 3,5$
Вычислим каждое произведение:
$\frac{1}{7} \cdot 0,14 = \frac{0,14}{7} = 0,02$
$\frac{1}{7} \cdot 2,1 = \frac{2,1}{7} = 0,3$
$\frac{1}{7} \cdot 3,5 = \frac{3,5}{7} = 0,5$
Теперь подставим полученные значения в выражение и выполним действия:
$0,02 + 0,3 - 0,5 = 0,32 - 0,5 = -0,18$
Ответ: $-0,18$

2) Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a(b-c-d) = ab-ac-ad$. Здесь $a = \frac{1}{12}$.
$\frac{1}{12}(4,8-0,24-1,2) = \frac{1}{12} \cdot 4,8 - \frac{1}{12} \cdot 0,24 - \frac{1}{12} \cdot 1,2$
Вычислим каждое произведение:
$\frac{1}{12} \cdot 4,8 = \frac{4,8}{12} = 0,4$
$\frac{1}{12} \cdot 0,24 = \frac{0,24}{12} = 0,02$
$\frac{1}{12} \cdot 1,2 = \frac{1,2}{12} = 0,1$
Подставим значения и найдем результат:
$0,4 - 0,02 - 0,1 = 0,38 - 0,1 = 0,28$
Ответ: $0,28$

3) Деление на число равносильно умножению на обратное ему число. Используем распределительное свойство: $(a+b):c = a:c + b:c$.
$(18\frac{6}{7} + 21\frac{3}{4}) : 3 = 18\frac{6}{7} : 3 + 21\frac{3}{4} : 3$
Разделим каждое слагаемое на 3. Для этого удобно представить смешанное число как сумму целой и дробной части: $18\frac{6}{7} = 18 + \frac{6}{7}$.
$(18 + \frac{6}{7}) : 3 = 18:3 + \frac{6}{7}:3 = 6 + \frac{6}{7 \cdot 3} = 6 + \frac{2}{7} = 6\frac{2}{7}$
Аналогично для второго слагаемого: $21\frac{3}{4} = 21 + \frac{3}{4}$.
$(21 + \frac{3}{4}) : 3 = 21:3 + \frac{3}{4}:3 = 7 + \frac{3}{4 \cdot 3} = 7 + \frac{1}{4} = 7\frac{1}{4}$
Теперь сложим полученные результаты:
$6\frac{2}{7} + 7\frac{1}{4} = (6+7) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{4}) = 13 + (\frac{2 \cdot 4}{28} + \frac{1 \cdot 7}{28}) = 13 + (\frac{8+7}{28}) = 13 + \frac{15}{28} = 13\frac{15}{28}$
Ответ: $13\frac{15}{28}$

4) Используем распределительное свойство умножения относительно сложения: $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
$(15\frac{5}{7} + 20\frac{15}{16}) \cdot \frac{1}{5} = 15\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{5} + 20\frac{15}{16} \cdot \frac{1}{5}$
Умножим каждое слагаемое на $\frac{1}{5}$. Представим смешанное число как сумму целой и дробной части: $15\frac{5}{7} = 15 + \frac{5}{7}$.
$(15 + \frac{5}{7}) \cdot \frac{1}{5} = 15 \cdot \frac{1}{5} + \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{5} = 3 + \frac{1}{7} = 3\frac{1}{7}$
Аналогично для второго слагаемого: $20\frac{15}{16} = 20 + \frac{15}{16}$.
$(20 + \frac{15}{16}) \cdot \frac{1}{5} = 20 \cdot \frac{1}{5} + \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{5} = 4 + \frac{3}{16} = 4\frac{3}{16}$
Теперь сложим полученные результаты:
$3\frac{1}{7} + 4\frac{3}{16} = (3+4) + (\frac{1}{7} + \frac{3}{16}) = 7 + (\frac{1 \cdot 16}{112} + \frac{3 \cdot 7}{112}) = 7 + (\frac{16+21}{112}) = 7 + \frac{37}{112} = 7\frac{37}{112}$
Ответ: $7\frac{37}{112}$

205. Упростить выражение:

1) $1,2a - (0,2a + b);$

2) $0,7x - (2y - 0,7x);$

3) $0,1(x - 2y) + 0,2(x + y);$

4) $\frac{2}{3}(m - 3n) + \frac{1}{3}(n - 2m);$

5) $8(a + 3b) - 9(a + b);$

6) $3(c + d) - 7(d + 2c).$

1) $1,2a - (0,2a + b)$

Для упрощения выражения раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$1,2a - (0,2a + b) = 1,2a - 0,2a - b$

Теперь приведем подобные слагаемые, то есть выполним действия с коэффициентами при одинаковых переменных:

$(1,2 - 0,2)a - b = 1a - b = a - b$

Ответ: $a - b$

2) $0,7x - (2y - 0,7x)$

Раскроем скобки. Знак минус перед скобками меняет знаки слагаемых внутри на противоположные:

$0,7x - 2y - (-0,7x) = 0,7x - 2y + 0,7x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(0,7x + 0,7x) - 2y = 1,4x - 2y$

Ответ: $1,4x - 2y$

3) $0,1(x - 2y) + 0,2(x + y)$

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения (умножим множитель перед скобками на каждое слагаемое внутри скобок):

$0,1 \cdot x - 0,1 \cdot 2y + 0,2 \cdot x + 0,2 \cdot y = 0,1x - 0,2y + 0,2x + 0,2y$

Сгруппируем подобные слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$:

$(0,1x + 0,2x) + (-0,2y + 0,2y) = 0,3x + 0y = 0,3x$

Ответ: $0,3x$

4) $\frac{2}{3}(m - 3n) + \frac{1}{3}(n - 2m)$

Раскроем скобки, умножая дроби на выражения в скобках:

$\frac{2}{3}m - \frac{2}{3} \cdot 3n + \frac{1}{3}n - \frac{1}{3} \cdot 2m = \frac{2}{3}m - 2n + \frac{1}{3}n - \frac{2}{3}m$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(\frac{2}{3}m - \frac{2}{3}m) + (-2n + \frac{1}{3}n)$

Приведем подобные слагаемые. Для слагаемых с $n$ приведем $-2$ к дроби со знаменателем 3:

$0 + (-\frac{6}{3}n + \frac{1}{3}n) = -\frac{5}{3}n$

Ответ: $-\frac{5}{3}n$

5) $8(a + 3b) - 9(a + b)$

Раскроем обе скобки:

$8 \cdot a + 8 \cdot 3b - 9 \cdot a - 9 \cdot b = 8a + 24b - 9a - 9b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(8a - 9a) + (24b - 9b) = -a + 15b$

Ответ: $15b - a$

6) $3(c + d) - 7(d + 2c)$

Раскроем скобки, применяя распределительное свойство:

$3c + 3d - 7d - 7 \cdot 2c = 3c + 3d - 7d - 14c$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(3c - 14c) + (3d - 7d) = -11c - 4d$

Ответ: $-11c - 4d$

206. Доказать, что:

1) удвоенная сумма чисел $3a$ и $7b$ равна одной трети суммы чисел $18a$ и $42b$;

2) число, противоположное разности чисел $0,2y$ и $0,3x$, равно одной десятой разности чисел $3x$ и $2y$.

1)

Для доказательства данного утверждения необходимо перевести словесную формулировку в математическое равенство и убедиться в его истинности путем тождественных преобразований.

Левая часть утверждения: "удвоенная сумма чисел $3a$ и $7b$". Запишем это математически: $2 \cdot (3a + 7b)$

Правая часть утверждения: "одна треть суммы чисел $18a$ и $42b$". Запишем это математически: $\frac{1}{3} \cdot (18a + 42b)$

Теперь нам нужно доказать, что $2 \cdot (3a + 7b) = \frac{1}{3} \cdot (18a + 42b)$.

Преобразуем левую часть равенства, применив распределительный закон умножения (раскрыв скобки): $2 \cdot (3a + 7b) = 2 \cdot 3a + 2 \cdot 7b = 6a + 14b$

Преобразуем правую часть равенства, также применив распределительный закон: $\frac{1}{3} \cdot (18a + 42b) = \frac{1}{3} \cdot 18a + \frac{1}{3} \cdot 42b = \frac{18a}{3} + \frac{42b}{3} = 6a + 14b$

В результате преобразований мы получили, что обе части исходного утверждения равны одному и тому же выражению $6a + 14b$.

$6a + 14b = 6a + 14b$

Это означает, что исходное равенство является тождеством, и утверждение доказано.

Ответ: Левая часть $2(3a+7b)$ равна $6a+14b$. Правая часть $\frac{1}{3}(18a+42b)$ также равна $6a+14b$. Так как $6a+14b = 6a+14b$, утверждение доказано.

2)

Аналогично первому пункту, запишем утверждение в виде математического равенства и докажем его.

Левая часть утверждения: "число, противоположное разности чисел $0,2y$ и $0,3x$". Разность чисел равна $(0,2y - 0,3x)$. Противоположное ей число: $-(0,2y - 0,3x)$

Правая часть утверждения: "одна десятая разности чисел $3x$ и $2y$". Запишем это математически: $\frac{1}{10} \cdot (3x - 2y)$

Нам нужно доказать, что $-(0,2y - 0,3x) = \frac{1}{10} \cdot (3x - 2y)$.

Преобразуем левую часть, раскрыв скобки. При этом знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные: $-(0,2y - 0,3x) = -0,2y + 0,3x = 0,3x - 0,2y$

Преобразуем правую часть, представив $\frac{1}{10}$ как $0,1$ и раскрыв скобки: $\frac{1}{10} \cdot (3x - 2y) = 0,1 \cdot (3x - 2y) = 0,1 \cdot 3x - 0,1 \cdot 2y = 0,3x - 0,2y$

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части исходного утверждения равны одному и тому же выражению $0,3x - 0,2y$.

$0,3x - 0,2y = 0,3x - 0,2y$

Следовательно, равенство является тождеством, и утверждение доказано.

Ответ: Левая часть $-(0,2y - 0,3x)$ равна $0,3x - 0,2y$. Правая часть $\frac{1}{10}(3x - 2y)$ также равна $0,3x - 0,2y$. Так как $0,3x - 0,2y = 0,3x - 0,2y$, утверждение доказано.

207. Сколько десятичных знаков после запятой содержит:

1) сумма чисел 0,048 и 3,17;

2) разность чисел 2,0017 и 5,01;

3) $ \frac{1}{10} $ суммы чисел 44,95 и 0,045;

4) $ \frac{1}{100} $ разности чисел 1048 и 945?

1) сумма чисел 0,048 и 3,17;
Чтобы определить количество десятичных знаков в сумме, сначала необходимо выполнить сложение данных чисел. При сложении десятичных дробей важно правильно расположить числа так, чтобы запятая находилась под запятой. Для удобства вычислений уравняем количество знаков после запятой у обоих чисел, добавив ноль к числу $3,17$, получив $3,170$.
Теперь выполним сложение:
$0,048 + 3,170 = 3,218$.
В полученном результате $3,218$ после запятой находятся три цифры: 2, 1 и 8. Следовательно, сумма содержит три десятичных знака.
Ответ: 3

2) разность чисел 2,0017 и 5,01;
Чтобы найти количество десятичных знаков в разности, сначала найдем саму разность. Для этого вычтем меньшее число из большего: $5,01 - 2,0017$. Уравняем количество знаков после запятой, добавив два нуля к числу $5,01$, получив $5,0100$.
Теперь выполним вычитание:
$5,0100 - 2,0017 = 3,0083$.
В полученном результате $3,0083$ четыре цифры после запятой: 0, 0, 8 и 3. Следовательно, разность содержит четыре десятичных знака.
Ответ: 4

3) $\frac{1}{10}$ суммы чисел 44,95 и 0,045;
Данная задача решается в два действия. Сначала найдем сумму чисел $44,95$ и $0,045$. Уравняем количество знаков после запятой: $44,95 = 44,950$.
1) Складываем: $44,950 + 0,045 = 44,995$.
Теперь нужно найти $\frac{1}{10}$ от полученной суммы, что эквивалентно делению суммы на 10. Деление десятичной дроби на 10 сдвигает запятую на один знак влево.
2) $44,995 \div 10 = 4,4995$.
В итоговом результате $4,4995$ четыре цифры после запятой: 4, 9, 9 и 5. Следовательно, выражение содержит четыре десятичных знака.
Ответ: 4

4) $\frac{1}{100}$ разности чисел 1048 и 945?
Эта задача также решается в два действия. Сначала найдем разность целых чисел $1048$ и $945$.
1) $1048 - 945 = 103$.
Теперь нужно найти $\frac{1}{100}$ от полученной разности, что эквивалентно делению разности на 100. Деление целого числа на 100 сдвигает запятую на два знака влево (у целого числа $103$ запятая находится в конце: $103 = 103,0$).
2) $103 \div 100 = 1,03$.
В итоговом результате $1,03$ две цифры после запятой: 0 и 3. Следовательно, выражение содержит два десятичных знака.
Ответ: 2