Страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать три основных закона сложения и умножения.

Существуют три основных закона, которые определяют свойства операций сложения и умножения для чисел. Эти законы являются фундаментом арифметики и алгебры.

1. Переместительный (коммутативный) закон

Этот закон утверждает, что результат операции не зависит от порядка операндов.

Для сложения: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство:
$a + b = b + a$.
Например: $5 + 3 = 8$ и $3 + 5 = 8$.

Для умножения: от перестановки мест множителей произведение не меняется. Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство:
$a \cdot b = b \cdot a$.
Например: $4 \cdot 6 = 24$ и $6 \cdot 4 = 24$.

Ответ: для сложения $a + b = b + a$; для умножения $a \cdot b = b \cdot a$.

2. Сочетательный (ассоциативный) закон

Этот закон утверждает, что при последовательном выполнении одной и той же операции с тремя и более числами порядок выполнения действий (расстановка скобок) не влияет на результат.

Для сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:
$(a + b) + c = a + (b + c)$.
Например: $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ и $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$.

Для умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Например: $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$ и $2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24$.

Ответ: для сложения $(a + b) + c = a + (b + c)$; для умножения $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

3. Распределительный (дистрибутивный) закон

Этот закон связывает операции сложения и умножения. Он показывает, как раскрывать скобки, в которых находится сумма или разность.

Распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Например: $5 \cdot (3 + 2) = 5 \cdot 5 = 25$ и $5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 15 + 10 = 25$.
Этот закон также используется для вынесения общего множителя за скобки: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

2. Назвать законы, с помощью которых упростится нахождение значения выражения:

1) $24,3 + 5\frac{5}{9} + 0,7;$

2) $\frac{2}{3} \cdot 1,6 + 1,4 \cdot \frac{2}{3}$

1) $24,3 + 5\frac{5}{9} + 0,7$;

Для упрощения нахождения значения этого выражения используются переместительный и сочетательный законы сложения. Эти законы гласят, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a+b=b+a$), и что можно группировать слагаемые в любом порядке ($(a+b)+c = a+(b+c)$). Это позволяет нам сгруппировать десятичные дроби, чтобы получить целое число, что значительно упрощает дальнейшие вычисления.

Решение:

$24,3 + 5\frac{5}{9} + 0,7 = (24,3 + 0,7) + 5\frac{5}{9} = 25 + 5\frac{5}{9} = 30\frac{5}{9}$

Ответ: Переместительный и сочетательный законы сложения. Значение выражения равно $30\frac{5}{9}$.

2) $\frac{2}{3} \cdot 1,6 + 1,4 \cdot \frac{2}{3}$;

В данном случае для упрощения вычислений применяется распределительный закон умножения относительно сложения. Этот закон позволяет вынести общий множитель за скобки ($a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$). В этом выражении общий множитель — это дробь $\frac{2}{3}$.

Решение:

Вынесем общий множитель $\frac{2}{3}$ за скобки и выполним сложение в скобках:

$\frac{2}{3} \cdot 1,6 + 1,4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot (1,6 + 1,4) = \frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$

Ответ: Распределительный закон умножения относительно сложения. Значение выражения равно $2$.

3. Какие слагаемые называются подобными? Привести пример выражения, содержащего слагаемое, подобное $12a$.

Какие слагаемые называются подобными?

Подобными слагаемыми в алгебраическом выражении называются те слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, или у которых буквенная часть отсутствует (то есть они являются числами). Буквенная часть должна быть полностью идентичной, включая переменные и их степени. Отличаться подобные слагаемые могут только числовыми коэффициентами.
Например, в выражении $7x^2y - 3z + 2x^2y + 5$ слагаемые $7x^2y$ и $2x^2y$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $x^2y$. Слагаемые $-3z$ и $5$ не подобны им.

Ответ: Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

Привести пример выражения, содержащего слагаемое, подобное 12a.

Слагаемое, подобное $12a$, должно иметь ту же буквенную часть, то есть $a$. Коэффициент при этой переменной может быть любым числом, отличным от нуля. Например, слагаемые $-5a$, $3a$, $a$ (коэффициент равен $1$), $0.7a$ являются подобными слагаемому $12a$.
Чтобы привести пример выражения, нужно составить сумму или разность, в которую будет входить такое слагаемое.
Например, рассмотрим выражение: $3b - 5a + c$. В этом выражении слагаемое $-5a$ является подобным слагаемому $12a$.

Ответ: $10b + 4a - 1$.

1. Вычислить:

1) $3\frac{5}{12} - 1\frac{17}{18}$;

2) $5\frac{1}{2} \cdot (-3\frac{1}{22})$;

3) $(-1\frac{2}{3}) \cdot (-0,4)$;

4) $6\frac{2}{7} : \frac{11}{14}$;

5) $7\frac{2}{5} : 0,2$;

6) $1,3 \cdot \frac{5}{6}$.

1) Чтобы выполнить вычитание смешанных дробей $3\frac{5}{12} - 1\frac{17}{18}$, сначала приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 12 и 18 является 36.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$3\frac{5}{12} = 3\frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = 3\frac{15}{36}$
$1\frac{17}{18} = 1\frac{17 \cdot 2}{18 \cdot 2} = 1\frac{34}{36}$
Теперь выражение выглядит так: $3\frac{15}{36} - 1\frac{34}{36}$.
Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{15}{36}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{34}{36}$), нам нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого.
$3\frac{15}{36} = 2 + 1 + \frac{15}{36} = 2 + \frac{36}{36} + \frac{15}{36} = 2\frac{51}{36}$
Теперь выполним вычитание:
$2\frac{51}{36} - 1\frac{34}{36} = (2 - 1) + (\frac{51 - 34}{36}) = 1 + \frac{17}{36} = 1\frac{17}{36}$
Ответ: $1\frac{17}{36}$

2) Для вычисления произведения $5\frac{1}{2} \cdot (-3\frac{1}{22})$ переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$
$-3\frac{1}{22} = -(\frac{3 \cdot 22 + 1}{22}) = -\frac{66 + 1}{22} = -\frac{67}{22}$
Теперь перемножим полученные дроби. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно.
$\frac{11}{2} \cdot (-\frac{67}{22}) = -(\frac{11 \cdot 67}{2 \cdot 22})$
Сократим 11 и 22 (знаменатель) на 11:
$-(\frac{1 \cdot 67}{2 \cdot 2}) = -\frac{67}{4}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$-\frac{67}{4} = -16\frac{3}{4}$
Ответ: $-16\frac{3}{4}$

3) Для вычисления произведения $(-1\frac{2}{3}) \cdot (-0,4)$ представим оба множителя в виде обыкновенных дробей.
$-1\frac{2}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{5}{3}$
$-0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Перемножим дроби:
$(-\frac{5}{3}) \cdot (-\frac{2}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 5}$
Сократим дробь на 5:
$\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

4) Для выполнения деления $6\frac{2}{7} : \frac{11}{14}$ сначала переведем смешанное число в неправильную дробь.
$6\frac{2}{7} = \frac{6 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{44}{7}$
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{44}{7} : \frac{11}{14} = \frac{44}{7} \cdot \frac{14}{11}$
Выполним сокращение перед умножением: 44 и 11 делятся на 11, а 14 и 7 делятся на 7.
$\frac{44 \cdot 14}{7 \cdot 11} = \frac{(4 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 7)}{7 \cdot 11} = 4 \cdot 2 = 8$
Ответ: $8$

5) Чтобы решить пример $7\frac{2}{5} : 0,2$, представим оба числа в виде обыкновенных дробей.
$7\frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{37}{5}$
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{37}{5} : \frac{1}{5} = \frac{37}{5} \cdot \frac{5}{1}$
Сократим на 5:
$\frac{37 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 37$
Ответ: $37$

6) Для вычисления $1,3 \cdot \frac{5}{6}$ переведем десятичную дробь в обыкновенную.
$1,3 = \frac{13}{10}$
Теперь выполним умножение дробей:
$\frac{13}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{13 \cdot 5}{10 \cdot 6}$
Сократим 5 (в числителе) и 10 (в знаменателе) на 5:
$\frac{13 \cdot 1}{2 \cdot 6} = \frac{13}{12}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$
Ответ: $1\frac{1}{12}$

2. Найти:

1) 20 % от числа 250;

2) число, если 15 % его равны 60.

1) Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить данное число на эту дробь. 20% – это дробь $ \frac{20}{100} $, то есть 0,2.

Теперь умножим число 250 на полученную дробь:

$ 250 \cdot 0,2 = 50 $

Таким образом, 20% от числа 250 составляет 50.

Ответ: 50

2) В этой задаче необходимо найти целое число, зная, что его часть (15%) равна 60. Пусть искомое число – это $ x $.

Сначала представим 15% в виде десятичной дроби:

$ 15\% = \frac{15}{100} = 0,15 $

Теперь мы можем составить уравнение, исходя из условия задачи: 15% от числа $ x $ равно 60.

$ 0,15 \cdot x = 60 $

Чтобы найти $ x $, нужно разделить 60 на 0,15:

$ x = \frac{60}{0,15} $

Для удобства вычислений можно избавиться от дроби в делителе, умножив и делимое, и делитель на 100:

$ x = \frac{60 \cdot 100}{0,15 \cdot 100} = \frac{6000}{15} = 400 $

Следовательно, искомое число равно 400.

Ответ: 400

199. Найти значение числового выражения, используя законы и свойства арифметических действий:

1) $29 \cdot 0,45 + 0,45 \cdot 11;$

2) $(51,8 + 44,3 + 48,2 - 24,3) \cdot \frac{1}{3};$

3) $4,07 - 5,49 + 8,93 - 1,51;$

4) $-11,401 - 23,17 + 4,401 - 10,83.$

1) Для нахождения значения выражения $29 \cdot 0,45 + 0,45 \cdot 11$ воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения (вынесение общего множителя за скобки): $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.
В данном случае общий множитель равен $0,45$. Вынесем его за скобки:
$29 \cdot 0,45 + 0,45 \cdot 11 = 0,45 \cdot (29 + 11)$.
Сначала выполним сложение в скобках:
$29 + 11 = 40$.
Теперь умножим результат на $0,45$:
$0,45 \cdot 40 = 18$.
Ответ: 18.

2) Чтобы найти значение выражения $(51,8 + 44,3 + 48,2 - 24,3) \cdot \frac{1}{3}$, применим переместительное и сочетательное свойства сложения для группировки слагаемых в скобках. Это позволит упростить вычисления.
Сгруппируем числа так, чтобы их сложение или вычитание давало целые числа:
$(51,8 + 48,2) + (44,3 - 24,3)$.
Выполним вычисления в каждой группе:
$51,8 + 48,2 = 100$.
$44,3 - 24,3 = 20$.
Теперь выражение в скобках равно $100 + 20 = 120$.
Осталось умножить полученный результат на $\frac{1}{3}$:
$120 \cdot \frac{1}{3} = \frac{120}{3} = 40$.
Ответ: 40.

3) Для решения выражения $4,07 - 5,49 + 8,93 - 1,51$ воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем положительные и отрицательные числа.
$4,07 - 5,49 + 8,93 - 1,51 = (4,07 + 8,93) - (5,49 + 1,51)$.
Вычислим сумму в первой паре скобок:
$4,07 + 8,93 = 13$.
Вычислим сумму во второй паре скобок:
$5,49 + 1,51 = 7$.
Теперь выполним вычитание:
$13 - 7 = 6$.
Ответ: 6.

4) В выражении $-11,401 - 23,17 + 4,401 - 10,83$ применим переместительное и сочетательное свойства сложения, чтобы сгруппировать слагаемые для удобства вычислений.
Сгруппируем числа с одинаковыми дробными частями и оставшиеся отрицательные числа:
$(-11,401 + 4,401) + (-23,17 - 10,83)$.
Вычислим значение в первой паре скобок:
$-11,401 + 4,401 = -7$.
Вычислим значение во второй паре скобок:
$-23,17 - 10,83 = -(23,17 + 10,83) = -34$.
Теперь сложим полученные результаты:
$-7 + (-34) = -7 - 34 = -41$.
Ответ: -41.

Привести подобные слагаемые (200-201):

200.

1) $4a + 2b + a - b;$

2) $x - 2y - 3x + 5y;$

3) $0.1c - 0.3d + d - c - 2.1d;$

4) $8.7 - 2m + n - \frac{1}{3}m + \frac{2}{3}n.$

1) Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $4a+2b+a-b$, необходимо сгруппировать слагаемые с одинаковыми буквенными частями. Подобными слагаемыми являются пары $4a$ и $a$, а также $2b$ и $-b$.
Сгруппируем их: $(4a+a) + (2b-b)$.
Теперь выполним действия с коэффициентами в каждой группе:
$4a+a = (4+1)a = 5a$
$2b-b = (2-1)b = b$
Сложив полученные результаты, получим упрощенное выражение.
Ответ: $5a+b$

2) В выражении $x-2y-3x+5y$ найдем подобные слагаемые. Это слагаемые, содержащие $x$ ($x$ и $-3x$), и слагаемые, содержащие $y$ ($-2y$ и $5y$).
Сгруппируем и упростим их: $(x-3x) + (-2y+5y)$.
Выполним действия с коэффициентами:
$x-3x = (1-3)x = -2x$
$-2y+5y = (-2+5)y = 3y$
Результатом будет сумма этих двух слагаемых.
Ответ: $-2x+3y$

3) В выражении $0,1c-0,3+d-c-2,1d$ есть три группы подобных слагаемых: с переменной $c$, с переменной $d$ и свободные члены (числа).
Группа с $c$: $0,1c$ и $-c$.
Группа с $d$: $d$ и $-2,1d$.
Свободный член: $-0,3$.
Сгруппируем их: $(0,1c-c) + (d-2,1d) - 0,3$.
Упростим каждую группу:
$0,1c-c = (0,1-1)c = -0,9c$
$d-2,1d = (1-2,1)d = -1,1d$
Запишем итоговое выражение.
Ответ: $-0,9c - 1,1d - 0,3$

4) В выражении $8,7-2m+n-\frac{1}{3}m+\frac{2}{3}n$ также приведем подобные слагаемые.
Подобные слагаемые с переменной $m$: $-2m$ и $-\frac{1}{3}m$.
Подобные слагаемые с переменной $n$: $n$ и $\frac{2}{3}n$.
Свободный член: $8,7$.
Сгруппируем: $8,7 + (-2m-\frac{1}{3}m) + (n+\frac{2}{3}n)$.
Теперь выполним действия с коэффициентами, приводя дроби к общему знаменателю:
Для $m$: $-2-\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3}{3}-\frac{1}{3} = -\frac{6}{3}-\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$. Получаем $-\frac{7}{3}m$.
Для $n$: $1+\frac{2}{3} = \frac{3}{3}+\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. Получаем $\frac{5}{3}n$.
Запишем упрощенное выражение.
Ответ: $8,7 - \frac{7}{3}m + \frac{5}{3}n$