Страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называют алгебраической суммой?

1.

Алгебраической суммой называют выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел или алгебраических выражений. Ключевая идея состоит в том, что любая операция вычитания заменяется операцией сложения с противоположным числом.

Например, выражение $a - b$ можно рассматривать как алгебраическую сумму, записав его в виде $a + (-b)$. Здесь слагаемыми являются $a$ и $-b$. Это позволяет применять к выражениям, содержащим и сложение, и вычитание, свойства операции сложения (например, переместительное и сочетательное свойства).

Рассмотрим более сложное выражение: $15 - 20 + 7 - 3$. Это алгебраическая сумма, так как ее можно представить в виде суммы слагаемых: $15 + (-20) + 7 + (-3)$. Слагаемыми в данном случае являются числа $15$, $-20$, $7$ и $-3$.

Таким образом, использование понятия алгебраической суммы упрощает работу с выражениями, так как позволяет рассматривать их как единую операцию — сложение — с членами, которые могут иметь разные знаки.

Ответ: Алгебраическая сумма — это выражение, состоящее из нескольких слагаемых, которые могут быть как положительными, так и отрицательными числами или выражениями, и соединены знаками сложения (при этом вычитание рассматривается как сложение с отрицательным числом).

2. Сформулировать первое и второе правила раскрытия скобок.

Первое правило раскрытия скобок

Это правило применяется, когда перед скобками стоит знак «плюс» или знак отсутствует (что эквивалентно знаку «плюс»).

Формулировка: чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «плюс», необходимо опустить скобки и знак «плюс» перед ними, а все слагаемые, стоявшие в скобках, записать с их прежними знаками.

В общем виде это правило выглядит так:
$a + (b - c + d) = a + b - c + d$

Пример: Раскроем скобки в выражении $15 + (-8 + 3)$.
$15 + (-8 + 3) = 15 - 8 + 3 = 7 + 3 = 10$.

Ответ: Если перед скобками стоит знак «+», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в них.

Второе правило раскрытия скобок

Это правило применяется, когда перед скобками стоит знак «минус».

Формулировка: чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «минус», необходимо опустить скобки и знак «минус» перед ними, а все слагаемые, стоявшие в скобках, записать с противоположными знаками.

В общем виде это правило выглядит так:
$a - (b - c + d) = a - b + c - d$

Пример: Раскроем скобки в выражении $20 - (10 - 5)$.
$20 - (10 - 5) = 20 - 10 + 5 = 10 + 5 = 15$.

Ответ: Если перед скобками стоит знак «-», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в них, на противоположный.

3. Сформулировать правила заключения в скобки алгебраической суммы, если перед скобками ставится знак «$+»$; знак «$-$».

Заключение слагаемых алгебраической суммы в скобки — это операция, обратная раскрытию скобок. Правила этой операции зависят от того, какой знак ставится перед скобками.

знак «+»

Если перед скобками ставится знак «+», то слагаемые, которые заключаются в скобки, записываются в них с теми же самыми знаками. Это равносильно прибавлению алгебраической суммы.

Формула в общем виде: $a + b - c = a + (b - c)$.

Пример:
Дана алгебраическая сумма $10 - 5 + 3 - 2$. Заключим в скобки два средних слагаемых, поставив перед скобкой знак «+». Чтобы равенство осталось верным, знаки слагаемых $-5$ и $+3$ внутри скобок нужно сохранить.
$10 - 5 + 3 - 2 = 10 + (-5 + 3) - 2$
Проверим: $10 + (-2) - 2 = 8 - 2 = 6$. Изначальное выражение: $10 - 5 + 3 - 2 = 5 + 3 - 2 = 8 - 2 = 6$. Равенство верно.

Ответ: Чтобы заключить несколько слагаемых в скобки, перед которыми ставится знак «+», нужно записать эти слагаемые в скобках с их исходными знаками.

знак «−»

Если перед скобками ставится знак «−», то слагаемые, которые заключаются в скобки, должны быть записаны в них с противоположными знаками. Это равносильно вычитанию алгебраической суммы, при котором знаки всех ее членов меняются на противоположные.

Формула в общем виде: $a - b + c = a - (b - c)$.

Пример:
Снова рассмотрим сумму $10 - 5 + 3 - 2$. Заключим в скобки слагаемые $-5$ и $+3$, но на этот раз поставим перед скобкой знак «−». Для этого необходимо поменять знаки у $-5$ и $+3$ на противоположные.
$10 - 5 + 3 - 2 = 10 - (5 - 3) - 2$
Проверим: $10 - (2) - 2 = 8 - 2 = 6$. Результат совпадает с исходным. Обратите внимание, что $-5$ стало $5$, а $+3$ стало $-3$ внутри скобок.

Ответ: Чтобы заключить несколько слагаемых в скобки, перед которыми ставится знак «−», нужно записать эти слагаемые в скобках, изменив знак каждого из них на противоположный.