Страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

186. Куплено 6 папок по цене $x$ рублей и 3 пачки бумаги по цене $y$ рублей. Написать формулу стоимости $p$ всей покупки.

Чтобы найти общую стоимость покупки $p$, нужно сложить стоимость всех купленных товаров. Стоимость товара равна произведению его количества на цену за единицу.

1. Сначала найдем стоимость 6 папок. Цена одной папки - $x$ рублей. Следовательно, стоимость 6 папок составляет:

$6 \cdot x = 6x$ рублей.

2. Затем найдем стоимость 3 пачек бумаги. Цена одной пачки - $y$ рублей. Следовательно, стоимость 3 пачек бумаги составляет:

$3 \cdot y = 3y$ рублей.

3. Теперь сложим стоимость папок и стоимость бумаги, чтобы получить общую стоимость покупки $p$:

$p = 6x + 3y$

Таким образом, формула для вычисления стоимости всей покупки выглядит следующим образом.

Ответ: $p = 6x + 3y$

187. В магазин привезли 15 ящиков слив по $a$ килограммов в каждом и 20 ящиков яблок по $b$ килограммов в каждом. Написать формулу массы $m$ привезённого товара.

$m = 15a + 20b$

Чтобы составить формулу для общей массы $m$ привезённого товара, необходимо сложить общую массу слив и общую массу яблок.

1. Вычислим общую массу слив. В магазин привезли 15 ящиков, и в каждом ящике находится $a$ килограммов слив. Чтобы найти общую массу слив, нужно умножить количество ящиков на массу одного ящика:
Масса слив = $15 \cdot a$ (кг).

2. Вычислим общую массу яблок. В магазин привезли 20 ящиков, и в каждом ящике находится $b$ килограммов яблок. Чтобы найти общую массу яблок, нужно умножить количество ящиков на массу одного ящика:
Масса яблок = $20 \cdot b$ (кг).

3. Найдём общую массу $m$ всего привезённого товара. Для этого сложим массу слив и массу яблок:
$m = (\text{масса слив}) + (\text{масса яблок})$
Подставив полученные выражения, получим итоговую формулу:

$m = 15a + 20b$

Ответ: $m = 15a + 20b$

188. На машину погрузили $a$ мешков пшеницы по $l$ килограммов в каждом и $c$ мешков овса по $n$ килограммов в каждом. Написать формулу массы $m$ зерна на машине.

Чтобы составить формулу для общей массы зерна $m$ на машине, нужно выполнить следующие шаги:

1. Вычислить общую массу пшеницы. По условию, на машину погрузили $a$ мешков пшеницы, масса каждого из которых составляет $l$ килограммов. Чтобы найти общую массу всей пшеницы, нужно количество мешков умножить на массу одного мешка. Масса пшеницы равна $a \cdot l$.

2. Вычислить общую массу овса. Аналогично, на машину погрузили $c$ мешков овса по $n$ килограммов в каждом. Общая масса всего овса равна произведению количества мешков на массу одного мешка: $c \cdot n$.

3. Сложить массу пшеницы и массу овса. Общая масса $m$ всего зерна на машине — это сумма массы пшеницы и массы овса.

Таким образом, формула для вычисления общей массы $m$ зерна на машине имеет вид:

$m = a \cdot l + c \cdot n$

Ответ: $m = a \cdot l + c \cdot n$

189. В кинотеатре $m$ рядов по $n$ мест в каждом и ещё $k$ откидных мест. Сколько мест в кинотеатре? Составить выражение для решения задачи и провести вычисления при $m = 30$, $n = 25$, $k = 60$.

Для того чтобы найти общее количество мест в кинотеатре, нужно сложить количество мест, находящихся в рядах, с количеством откидных мест.

Сначала найдем общее количество мест в рядах. Поскольку в кинотеатре m рядов и в каждом из них по n мест, то общее количество мест в рядах равно произведению $m$ на $n$. Это можно записать в виде выражения: $m \times n$.

Затем к этому числу нужно прибавить количество откидных мест, равное k.

Таким образом, итоговое выражение для нахождения общего числа мест в кинотеатре имеет вид: $m \times n + k$.

Теперь проведем вычисления для заданных значений: $m=30$, $n=25$, $k=60$. Подставим эти значения в составленное выражение:

$30 \times 25 + 60$

Согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, сначала выполняется умножение, а затем — сложение:

1. Выполняем умножение: $30 \times 25 = 750$.

2. Выполняем сложение: $750 + 60 = 810$.

В результате получаем, что всего в кинотеатре 810 мест.

Ответ: выражение для решения задачи — $m \times n + k$; при заданных значениях в кинотеатре 810 мест.

190. Сколько времени проводит ученик в школе в тот день, когда у него $a$ уроков по 45 мин, $b$ перемен по 15 мин и $c$ перемен по 10 мин? Составить выражение для решения этой задачи.

Чтобы найти общее время, которое ученик проводит в школе, необходимо сложить общее время, затраченное на все уроки, и общее время, затраченное на все перемены.

Найдем время, затраченное на уроки. По условию, у ученика a уроков, каждый из которых длится 45 минут. Следовательно, общее время на уроки составляет произведение количества уроков на их длительность:
$a \cdot 45$ минут.

Далее найдем время, затраченное на перемены. В расписании есть два вида перемен. Время, затраченное на b перемен по 15 минут, составляет:
$b \cdot 15$ минут.

Время, затраченное на c перемен по 10 минут, составляет:
$c \cdot 10$ минут.

Теперь, чтобы составить выражение для нахождения общего времени, проведенного в школе, сложим время всех уроков и всех перемен:
$45 \cdot a + 15 \cdot b + 10 \cdot c$.

В алгебраических выражениях принято записывать числовой коэффициент перед буквенным множителем, поэтому выражение примет вид: $45a + 15b + 10c$.

Ответ: Выражение для решения задачи: $45a + 15b + 10c$ (минут).

191. Указать, какие числовые значения могут принимать буквы $a$ и $b$ в алгебраических выражениях:

1) $\frac{a-b}{2}$;

2) $\frac{a-2}{b}$;

3) $\frac{b}{a-2}$;

4) $\frac{2}{a-b}$.

1) В алгебраическом выражении $\frac{a-b}{2}$ в знаменателе находится число 2. Основное ограничение для дробей — знаменатель не должен быть равен нулю. Поскольку $2 \neq 0$, это условие всегда выполняется. Следовательно, на переменные $a$ и $b$ не накладывается никаких ограничений. Они могут принимать любые действительные числовые значения.
Ответ: $a$ и $b$ – любые числа.

2) В выражении $\frac{a-2}{b}$ в знаменателе находится переменная $b$. Чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель не был равен нулю, так как деление на ноль не определено. Таким образом, должно выполняться условие $b \neq 0$. Переменная $a$, находящаяся в числителе, может принимать любое значение.
Ответ: $a$ – любое число, $b$ – любое число, кроме 0 ($b \neq 0$).

3) В выражении $\frac{b}{a-2}$ знаменателем является разность $a-2$. Для того чтобы это выражение было определено, его знаменатель не должен быть равен нулю. Запишем это в виде неравенства: $a - 2 \neq 0$. Решив его относительно $a$, получаем $a \neq 2$. Переменная $b$ в числителе может быть любым числом.
Ответ: $a$ – любое число, кроме 2 ($a \neq 2$), $b$ – любое число.

4) В выражении $\frac{2}{a-b}$ знаменатель представляет собой разность $a-b$. Условие существования этого выражения заключается в том, что знаменатель не должен равняться нулю: $a - b \neq 0$. Это неравенство равносильно условию $a \neq b$. Значит, переменные $a$ и $b$ могут принимать любые числовые значения, за исключением тех случаев, когда их значения равны.
Ответ: $a$ и $b$ – любые числа при условии, что $a \neq b$.

192. Найти в ряду натуральных чисел:

1) 10-е; 99-е чётное число;

2) 12-е; 77-е нечётное число.

1) Ряд чётных натуральных чисел (2, 4, 6, ...) можно описать формулой $a_n = 2n$, где $n$ — порядковый номер числа в этом ряду. Чтобы найти 10-е чётное число, нужно подставить $n=10$: $2 \times 10 = 20$. Чтобы найти 99-е чётное число, нужно подставить $n=99$: $2 \times 99 = 198$. Ответ: 20; 198.

2) Ряд нечётных натуральных чисел (1, 3, 5, ...) можно описать формулой $a_n = 2n - 1$, где $n$ — порядковый номер числа в этом ряду. Чтобы найти 12-е нечётное число, нужно подставить $n=12$: $2 \times 12 - 1 = 24 - 1 = 23$. Чтобы найти 77-е нечётное число, нужно подставить $n=77$: $2 \times 77 - 1 = 154 - 1 = 153$. Ответ: 23; 153.

193. Геологи ехали верхом на лошадях 3 ч 10 мин со скоростью $c$ километров в час, затем плыли на плоту 1 ч 40 мин по реке, скорость течения которой $a$ километров в час, и, наконец, шли пешком 2 ч 30 мин со скоростью $b$ километров в час. Написать формулу пути, обозначив длину маршрута (в км) буквой $s$. Вычислить длину маршрута при $a=3,3$ км/ч, $b=5,7$ км/ч, $c=10,5$ км/ч.

Написать формулу пути, обозначив длину маршрута (в км) буквой s

Общая длина маршрута $s$ равна сумме длин трех его участков: путь верхом на лошадях ($s_1$), путь на плоту ($s_2$) и путь пешком ($s_3$). Расстояние каждого участка вычисляется по формуле $ \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} $.

Для корректных расчетов необходимо перевести время движения на каждом участке в часы, так как скорость дана в км/ч.

1. Путь на лошадях:
Время движения: $t_1 = 3 \text{ ч } 10 \text{ мин} = 3 + \frac{10}{60} \text{ ч} = 3\frac{1}{6} \text{ ч} = \frac{19}{6}$ ч.
Скорость: $c$ км/ч.
Расстояние: $s_1 = c \cdot t_1 = \frac{19}{6}c$.

2. Путь на плоту:
Время движения: $t_2 = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 1 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 1\frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{5}{3}$ ч.
Скорость плота равна скорости течения реки: $a$ км/ч.
Расстояние: $s_2 = a \cdot t_2 = \frac{5}{3}a$.

3. Путь пешком:
Время движения: $t_3 = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 2\frac{1}{2} \text{ ч} = \frac{5}{2}$ ч.
Скорость: $b$ км/ч.
Расстояние: $s_3 = b \cdot t_3 = \frac{5}{2}b$.

Общая формула для длины всего маршрута $s$ является суммой длин всех участков: $s = s_1 + s_2 + s_3$.
$s = \frac{19}{6}c + \frac{5}{3}a + \frac{5}{2}b$.

Ответ: $s = \frac{5}{3}a + \frac{5}{2}b + \frac{19}{6}c$.

Вычислить длину маршрута при $a=3,3$ км/ч, $b=5,7$ км/ч, $c=10,5$ км/ч

Подставим заданные значения скоростей в выведенную формулу:

$s = \frac{5}{3} \cdot 3,3 + \frac{5}{2} \cdot 5,7 + \frac{19}{6} \cdot 10,5$

Рассчитаем расстояние для каждого участка отдельно:

1. Расстояние, пройденное на плоту:
$s_2 = \frac{5}{3} \cdot 3,3 = \frac{5 \cdot 3,3}{3} = 5 \cdot 1,1 = 5,5$ км.

2. Расстояние, пройденное пешком:
$s_3 = \frac{5}{2} \cdot 5,7 = 2,5 \cdot 5,7 = 14,25$ км.

3. Расстояние, пройденное на лошадях:
$s_1 = \frac{19}{6} \cdot 10,5 = \frac{19}{6} \cdot \frac{21}{2} = \frac{19 \cdot 7}{2 \cdot 2} = \frac{133}{4} = 33,25$ км.

Теперь найдем общую длину маршрута, сложив все три расстояния:

$s = s_2 + s_3 + s_1 = 5,5 + 14,25 + 33,25 = 53$ км.

Ответ: 53 км.

194. Автобус преодолевает путь $s$ километров за $t$ часов. С какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы тот же путь преодолеть на 1 ч быстрее автобуса?

Для решения этой задачи необходимо определить параметры движения для автомобиля, основываясь на данных автобуса.

1. Определение времени движения автомобиля.
По условию, автобус проезжает путь $s$ за время $t$. Автомобиль должен проехать тот же путь на 1 час быстрее. Следовательно, время, которое потребуется автомобилю, будет на 1 час меньше времени автобуса.
Время движения автобуса: $t_{авт} = t$ часов.
Время движения автомобиля: $t_{авто} = t_{авт} - 1 = t - 1$ часов.
Важно отметить, что для физического смысла задачи необходимо, чтобы $t > 1$.

2. Определение скорости автомобиля.
Скорость ($v$) вычисляется по формуле: $v = \frac{\text{расстояние}}{\text{время}}$.
Расстояние, которое должен проехать автомобиль, такое же, как и у автобуса, и равно $s$ километров. Время движения автомобиля мы определили как $t - 1$ часов. Подставим эти значения в формулу скорости, чтобы найти скорость автомобиля ($v_{авто}$): $v_{авто} = \frac{s}{t - 1}$

Таким образом, чтобы преодолеть путь $s$ на 1 час быстрее автобуса, автомобиль должен ехать со скоростью, равной $\frac{s}{t - 1}$ километров в час.

Ответ: $\frac{s}{t - 1}$ км/ч.

195. Верно ли утверждение:

1) произведение двух любых чётных чисел делится на 4;

2) одно из двух последовательных чётных чисел делится на 6?

1) произведение двух любых чётных чисел делится на 4;

Чтобы проверить это утверждение, представим два произвольных чётных числа в общем виде. Любое чётное число можно записать как $2k$, где $k$ — целое число. Возьмём два чётных числа: $a$ и $b$. Пусть $a = 2k_1$, а $b = 2k_2$, где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа. Найдём их произведение: $a \cdot b = (2k_1) \cdot (2k_2) = 4 \cdot k_1 \cdot k_2$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их произведение $k_1 \cdot k_2$ также является целым числом. Обозначим его как $m = k_1 \cdot k_2$. Тогда произведение двух чётных чисел равно $4m$. Любое число вида $4m$, где $m$ — целое, по определению делится на 4 нацело. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

2) одно из двух последовательных чётных чисел делится на 6?

Чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно привести хотя бы один контрпример. Рассмотрим пару последовательных чётных чисел: 2 и 4. Число 2 не делится на 6 ($2 \div 6 = 1/3$). Число 4 не делится на 6 ($4 \div 6 = 2/3$). В этой паре ни одно из чисел не делится на 6.

Рассмотрим другой пример: пара последовательных чётных чисел 8 и 10. Число 8 не делится на 6 ($8 \div 6 = 1$ и остаток 2). Число 10 не делится на 6 ($10 \div 6 = 1$ и остаток 4). И в этой паре ни одно из чисел не делится на 6.

Таким образом, утверждение, что одно из двух любых последовательных чётных чисел всегда делится на 6, является ложным.

Ответ: нет, неверно.

196. 1) Из формулы $C = 2\pi R$ выразить $R$ через $C$ и $\pi$.

2) Из формулы $s = vt + l$ выразить:

а) $l$ через $s, v$ и $t$;

б) $v$ через $s, t$ и $l$;

в) $t$ через $s, v$ и $l$.

3) Из формулы $V = \frac{m}{\rho}$ выразить:

а) $\rho$ через $V$ и $m$;

б) $m$ через $V$ и $\rho$.

1) Дана формула длины окружности $C = 2\pi R$. Чтобы выразить радиус $R$ через длину окружности $C$ и число $\pi$, необходимо разделить обе части уравнения на $2\pi$.

Исходное уравнение:

$C = 2\pi R$

Делим обе части на $2\pi$:

$\frac{C}{2\pi} = \frac{2\pi R}{2\pi}$

После сокращения получаем выражение для $R$:

$R = \frac{C}{2\pi}$

Ответ: $R = \frac{C}{2\pi}$

2) Дана формула $s = vt + l$.

а) Чтобы выразить $l$ через $s$, $v$ и $t$, необходимо изолировать $l$. Для этого перенесем слагаемое $vt$ в левую часть уравнения, поменяв его знак на противоположный.

Исходное уравнение:

$s = vt + l$

Вычитаем $vt$ из обеих частей:

$s - vt = l$

Таким образом, получаем выражение для $l$:

$l = s - vt$

Ответ: $l = s - vt$

б) Чтобы выразить $v$ через $s$, $t$ и $l$, сначала изолируем слагаемое, содержащее $v$, то есть $vt$. Переносим $l$ в левую часть.

$s - l = vt$

Теперь, чтобы найти $v$, разделим обе части полученного уравнения на $t$.

$\frac{s - l}{t} = \frac{vt}{t}$

После сокращения $t$ в правой части получаем:

$v = \frac{s - l}{t}$

Ответ: $v = \frac{s - l}{t}$

в) Чтобы выразить $t$ через $s$, $v$ и $l$, мы действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала изолируем слагаемое $vt$.

$s - l = vt$

Теперь, чтобы найти $t$, разделим обе части уравнения на $v$.

$\frac{s - l}{v} = \frac{vt}{v}$

После сокращения $v$ в правой части получаем:

$t = \frac{s - l}{v}$

Ответ: $t = \frac{s - l}{v}$

3) Дана формула $V = \frac{m}{\rho}$.

а) Чтобы выразить плотность $\rho$ через объем $V$ и массу $m$, сначала умножим обе части уравнения на $\rho$, чтобы переместить $\rho$ из знаменателя.

$V \cdot \rho = \frac{m}{\rho} \cdot \rho$

$V\rho = m$

Теперь, чтобы изолировать $\rho$, разделим обе части уравнения на $V$.

$\frac{V\rho}{V} = \frac{m}{V}$

После сокращения $V$ в левой части получаем:

$\rho = \frac{m}{V}$

Ответ: $\rho = \frac{m}{V}$

б) Чтобы выразить массу $m$ через объем $V$ и плотность $\rho$, нужно изолировать $m$. Для этого умножим обе части исходного уравнения на $\rho$.

$V \cdot \rho = \frac{m}{\rho} \cdot \rho$

После сокращения $\rho$ в правой части получаем выражение для $m$:

$m = V\rho$

Ответ: $m = V\rho$