Страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

180. Сколько минут:

1) в 7 ч 30 с;

2) в $m$ часах;

3) в $p$ секундах;

4) в $m$ часах, $l$ минутах и $p$ секундах?

1) Для того чтобы перевести 7 часов 30 секунд в минуты, необходимо сначала перевести часы в минуты, а затем секунды в минуты, и сложить полученные значения.

В одном часе 60 минут. Чтобы перевести 7 часов в минуты, нужно умножить количество часов на 60:

$7 \text{ ч} = 7 \times 60 \text{ мин} = 420 \text{ мин}$

В одной минуте 60 секунд. Чтобы перевести 30 секунд в минуты, нужно разделить количество секунд на 60:

$30 \text{ с} = \frac{30}{60} \text{ мин} = 0.5 \text{ мин}$

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти общее количество минут:

$420 \text{ мин} + 0.5 \text{ мин} = 420.5 \text{ мин}$

Ответ: $420.5$ минут.

2) Чтобы выразить $m$ часов в минутах, нужно использовать соотношение, что в одном часе содержится 60 минут. Для этого умножим количество часов $m$ на 60.

Формула для перевода часов в минуты:

$m \text{ ч} = m \times 60 \text{ мин} = 60m \text{ мин}$

Ответ: $60m$ минут.

3) Чтобы выразить $p$ секунд в минутах, нужно использовать соотношение, что в одной минуте 60 секунд. Следовательно, чтобы перевести секунды в минуты, нужно разделить количество секунд $p$ на 60.

Формула для перевода секунд в минуты:

$p \text{ с} = \frac{p}{60} \text{ мин}$

Ответ: $\frac{p}{60}$ минут.

4) Чтобы найти общее количество минут в $m$ часах, $l$ минутах и $p$ секундах, необходимо привести все единицы измерения к минутам и сложить их.

1. Переводим часы в минуты (как в пункте 2):

$m \text{ ч} = 60m \text{ мин}$

2. Количество минут $l$ уже дано в нужных единицах:

$l \text{ мин}$

3. Переводим секунды в минуты (как в пункте 3):

$p \text{ с} = \frac{p}{60} \text{ мин}$

4. Складываем все полученные значения:

$60m \text{ мин} + l \text{ мин} + \frac{p}{60} \text{ мин} = (60m + l + \frac{p}{60}) \text{ мин}$

Ответ: $60m + l + \frac{p}{60}$ минут.

181. Найти значение выражения:

1) $\frac{5(bc + m)}{2q + 4\frac{1}{4}}$ при $b=\frac{2}{3}$, $c=6$, $q=\frac{1}{2}$, $m=\frac{1}{5}$;

2) $\frac{3(x - y)}{2p + q} - 1$ при $x=8,31$, $y=2,29$, $p=2,01$, $q=2$.

1)

Подставим значения $b=\frac{2}{3}$, $c=6$, $q=\frac{1}{2}$, $m=\frac{1}{5}$ в выражение $\frac{5(bc+m)}{2q+4\frac{1}{4}}$ и вычислим по действиям.

Сначала вычислим значение числителя $5(bc+m)$:

1. $bc = \frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$

2. $bc + m = 4 + \frac{1}{5} = 4\frac{1}{5}$

3. $5(bc+m) = 5 \cdot 4\frac{1}{5} = 5 \cdot \frac{21}{5} = \frac{5 \cdot 21}{5} = 21$

Теперь вычислим значение знаменателя $2q+4\frac{1}{4}$:

4. $2q = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

5. $2q+4\frac{1}{4} = 1 + 4\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$

Наконец, найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

6. $\frac{21}{5\frac{1}{4}} = 21 : \frac{21}{4} = 21 \cdot \frac{4}{21} = \frac{21 \cdot 4}{21} = 4$

Ответ: 4

2)

Подставим значения $x=8,31$, $y=2,29$, $p=2,01$, $q=2$ в выражение $\frac{3(x-y)}{2p+q} - 1$ и вычислим по действиям.

Сначала вычислим значение дроби $\frac{3(x-y)}{2p+q}$.

1. Найдем значение в скобках в числителе: $x - y = 8,31 - 2,29 = 6,02$

2. Вычислим числитель: $3(x-y) = 3 \cdot 6,02 = 18,06$

3. Вычислим знаменатель: $2p + q = 2 \cdot 2,01 + 2 = 4,02 + 2 = 6,02$

4. Найдем значение дроби: $\frac{18,06}{6,02} = 3$

Теперь выполним последнее действие:

5. $\frac{3(x-y)}{2p+q} - 1 = 3 - 1 = 2$

Ответ: 2

182. Записать:

1) $66\%$ от суммы чисел $a$ и $4,02$;

2) $33\%$ от частного чисел $x$ и $0,27$.

1) Чтобы записать 66% от суммы чисел $a$ и $4,02$, необходимо составить математическое выражение.

Сначала найдем сумму чисел $a$ и $4,02$. Эта сумма записывается как $(a + 4,02)$. Мы используем скобки, чтобы показать, что процент берется от всего выражения, а не только от одного из его членов.

Далее, чтобы найти процент от числа или выражения, нужно перевести проценты в десятичную дробь. Для этого число процентов делят на 100.

$66\% = \frac{66}{100} = 0,66$

Теперь умножим полученную десятичную дробь на сумму чисел:

$0,66 \cdot (a + 4,02)$

Ответ: $0,66 \cdot (a + 4,02)$

2) Чтобы записать 33% от частного чисел $x$ и $0,27$, выполним аналогичные действия.

Частное чисел $x$ и $0,27$ — это результат деления $x$ на $0,27$. Его можно записать как $x : 0,27$ или, что более удобно в алгебраических выражениях, в виде дроби: $\frac{x}{0,27}$.

Переведем 33% в десятичную дробь:

$33\% = \frac{33}{100} = 0,33$

Теперь умножим полученную дробь на частное:

$0,33 \cdot \frac{x}{0,27}$

Ответ: $0,33 \cdot \frac{x}{0,27}$

183. Найти значение алгебраического выражения:

1) $\frac{\frac{1}{2}a + 0.4 : b - 4.4}{3.5a - 4b + 8.2}$ при $a = 1, b = 2$; $a = 0, b = 1;$

2) $\frac{ab + \frac{1}{4}(a + b)}{6a - b + 3}$ при $a = 1, b = -1$; $a = -2, b = 1$.

1) Требуется найти значение выражения $ \frac{\frac{1}{2}a + 0,4 : b - 4,4}{3,5a - 4b + 8,2} $ для двух пар значений переменных.

Случай 1: при $ a = 1, b = 2 $

Подставим значения $ a $ и $ b $ в выражение. Сначала вычислим числитель, затем знаменатель.

Числитель: $ \frac{1}{2}a + 0,4 : b - 4,4 = \frac{1}{2} \cdot 1 + 0,4 : 2 - 4,4 = 0,5 + 0,2 - 4,4 = 0,7 - 4,4 = -3,7 $.

Знаменатель: $ 3,5a - 4b + 8,2 = 3,5 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 8,2 = 3,5 - 8 + 8,2 = -4,5 + 8,2 = 3,7 $.

Значение дроби: $ \frac{-3,7}{3,7} = -1 $.

Случай 2: при $ a = 0, b = 1 $

Подставим новые значения $ a $ и $ b $ в выражение.

Числитель: $ \frac{1}{2}a + 0,4 : b - 4,4 = \frac{1}{2} \cdot 0 + 0,4 : 1 - 4,4 = 0 + 0,4 - 4,4 = -4 $.

Знаменатель: $ 3,5a - 4b + 8,2 = 3,5 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 8,2 = 0 - 4 + 8,2 = 4,2 $.

Значение дроби: $ \frac{-4}{4,2} = -\frac{40}{42} = -\frac{20}{21} $.

Ответ: при $ a=1, b=2 $ значение выражения равно -1; при $ a=0, b=1 $ значение выражения равно $ -\frac{20}{21} $.

2) Требуется найти значение выражения $ \frac{ab + \frac{1}{4}(a+b)}{6a - b + 3} $ для двух пар значений переменных.

Случай 1: при $ a = 1, b = -1 $

Подставим значения $ a $ и $ b $ в выражение.

Числитель: $ ab + \frac{1}{4}(a+b) = 1 \cdot (-1) + \frac{1}{4}(1 + (-1)) = -1 + \frac{1}{4} \cdot 0 = -1 $.

Знаменатель: $ 6a - b + 3 = 6 \cdot 1 - (-1) + 3 = 6 + 1 + 3 = 10 $.

Значение дроби: $ \frac{-1}{10} = -0,1 $.

Случай 2: при $ a = -2, b = 1 $

Подставим новые значения $ a $ и $ b $ в выражение.

Числитель: $ ab + \frac{1}{4}(a+b) = (-2) \cdot 1 + \frac{1}{4}(-2 + 1) = -2 + \frac{1}{4}(-1) = -2 - \frac{1}{4} = -2,25 $.

Знаменатель: $ 6a - b + 3 = 6 \cdot (-2) - 1 + 3 = -12 - 1 + 3 = -10 $.

Значение дроби: $ \frac{-2,25}{-10} = 0,225 $. Это же значение в виде обыкновенной дроби: $ \frac{9}{40} $.

Ответ: при $ a=1, b=-1 $ значение выражения равно -0,1; при $ a=-2, b=1 $ значение выражения равно 0,225.

184. Может ли при каком-либо значении $a$ быть равным нулю значение алгебраического выражения:

1) $a + 999999$;

2) $\frac{3}{a-5}$;

3) $\frac{a-1}{47+a}$;

4) $a^2+1?$

1) $a + 999 999$

Чтобы определить, может ли значение выражения быть равным нулю, приравняем его к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:
$a + 999 999 = 0$
Для решения этого линейного уравнения перенесем 999 999 в правую часть, изменив знак на противоположный:
$a = -999 999$
Мы нашли конкретное значение $a$, при котором выражение становится равным нулю.
Ответ: да, может при $a = -999 999$.

2) $\frac{3}{a - 5}$

Чтобы значение дроби было равно нулю, необходимо, чтобы ее числитель был равен нулю, а знаменатель при этом не был равен нулю.
Приравняем выражение к нулю:
$\frac{3}{a - 5} = 0$
Числитель этой дроби равен 3. Так как $3 \neq 0$, числитель никогда не может быть равен нулю.
Следовательно, данное алгебраическое выражение не может быть равно нулю ни при каком значении $a$.
Ответ: нет, не может.

3) $\frac{a - 1}{47 + a}$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю, чтобы найти возможное значение $a$:
$a - 1 = 0$
$a = 1$
Теперь необходимо проверить, не обращается ли знаменатель в ноль при этом значении $a$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $47 + a \neq 0$, что означает $a \neq -47$.
Подставим найденное значение $a = 1$ в знаменатель:
$47 + 1 = 48$
Поскольку $48 \neq 0$, условие выполняется. Значит, при $a = 1$ выражение равно нулю.
Ответ: да, может при $a = 1$.

4) $a^2 + 1$

Приравняем выражение к нулю и попробуем решить уравнение:
$a^2 + 1 = 0$
$a^2 = -1$
Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$.
Следовательно, сумма $a^2 + 1$ всегда будет строго положительной, а именно $a^2 + 1 \ge 1$.
Таким образом, не существует такого действительного числа $a$, для которого это выражение могло бы равняться нулю.
Ответ: нет, не может.

185. Число содержит 4 сотни, $b$ десятков и $c$ единиц. При каких значениях $b$ и $c$ данное число кратно тридцати?

Запишем данное число в виде суммы разрядных слагаемых. Число, которое содержит 4 сотни, b десятков и c единиц, можно представить в виде $\overline{4bc}$. Алгебраически это записывается как: $N = 4 \cdot 100 + b \cdot 10 + c$
Поскольку b — это цифра десятков, а c — цифра единиц, они могут принимать любые целые значения от 0 до 9.

По условию задачи, число N должно быть кратно тридцати, то есть делиться на 30 без остатка. Число делится на 30, если оно одновременно делится на 3 и на 10 (поскольку $30 = 3 \cdot 10$, а числа 3 и 10 являются взаимно простыми). Рассмотрим оба условия по отдельности.

1. Делимость на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0. В нашем числе $\overline{4bc}$ последней цифрой (цифрой в разряде единиц) является c. Следовательно, для делимости на 10 необходимо, чтобы $c = 0$.

2. Делимость на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр нашего числа равна $4 + b + c$.
Мы уже установили из первого условия, что $c=0$. Подставим это значение в сумму: Сумма цифр = $4 + b + 0 = 4 + b$.
Таким образом, для делимости на 3 необходимо, чтобы сумма $4+b$ была кратна 3.

3. Нахождение значений b
Теперь найдем все возможные значения для цифры b (от 0 до 9), при которых выражение $4+b$ делится на 3.
Будем перебирать значения b:
- если $b = 0$, то $4+0=4$ (не делится на 3);
- если $b = 1$, то $4+1=5$ (не делится на 3);
- если $b = 2$, то $4+2=6$ (делится на 3, так как $6:3=2$);
- если $b = 3$, то $4+3=7$ (не делится на 3);
- если $b = 4$, то $4+4=8$ (не делится на 3);
- если $b = 5$, то $4+5=9$ (делится на 3, так как $9:3=3$);
- если $b = 6$, то $4+6=10$ (не делится на 3);
- если $b = 7$, то $4+7=11$ (не делится на 3);
- если $b = 8$, то $4+8=12$ (делится на 3, так как $12:3=4$);
- если $b = 9$, то $4+9=13$ (не делится на 3).
Таким образом, возможные значения для b: 2, 5, 8.

Собирая все условия вместе, мы получаем, что данное число кратно 30, если $c=0$, а b принимает одно из значений {2, 5, 8}.
Это соответствует числам:
- 420 (проверка: $420 \div 30 = 14$)
- 450 (проверка: $450 \div 30 = 15$)
- 480 (проверка: $480 \div 30 = 16$)

Ответ: данное число кратно тридцати при $c=0$ и при значениях $b$, равных 2, 5 или 8.