Номер 185, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

185. Число содержит 4 сотни, $b$ десятков и $c$ единиц. При каких значениях $b$ и $c$ данное число кратно тридцати?

Запишем данное число в виде суммы разрядных слагаемых. Число, которое содержит 4 сотни, b десятков и c единиц, можно представить в виде $\overline{4bc}$. Алгебраически это записывается как: $N = 4 \cdot 100 + b \cdot 10 + c$
Поскольку b — это цифра десятков, а c — цифра единиц, они могут принимать любые целые значения от 0 до 9.

По условию задачи, число N должно быть кратно тридцати, то есть делиться на 30 без остатка. Число делится на 30, если оно одновременно делится на 3 и на 10 (поскольку $30 = 3 \cdot 10$, а числа 3 и 10 являются взаимно простыми). Рассмотрим оба условия по отдельности.

1. Делимость на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0. В нашем числе $\overline{4bc}$ последней цифрой (цифрой в разряде единиц) является c. Следовательно, для делимости на 10 необходимо, чтобы $c = 0$.

2. Делимость на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр нашего числа равна $4 + b + c$.
Мы уже установили из первого условия, что $c=0$. Подставим это значение в сумму: Сумма цифр = $4 + b + 0 = 4 + b$.
Таким образом, для делимости на 3 необходимо, чтобы сумма $4+b$ была кратна 3.

3. Нахождение значений b
Теперь найдем все возможные значения для цифры b (от 0 до 9), при которых выражение $4+b$ делится на 3.
Будем перебирать значения b:
- если $b = 0$, то $4+0=4$ (не делится на 3);
- если $b = 1$, то $4+1=5$ (не делится на 3);
- если $b = 2$, то $4+2=6$ (делится на 3, так как $6:3=2$);
- если $b = 3$, то $4+3=7$ (не делится на 3);
- если $b = 4$, то $4+4=8$ (не делится на 3);
- если $b = 5$, то $4+5=9$ (делится на 3, так как $9:3=3$);
- если $b = 6$, то $4+6=10$ (не делится на 3);
- если $b = 7$, то $4+7=11$ (не делится на 3);
- если $b = 8$, то $4+8=12$ (делится на 3, так как $12:3=4$);
- если $b = 9$, то $4+9=13$ (не делится на 3).
Таким образом, возможные значения для b: 2, 5, 8.

Собирая все условия вместе, мы получаем, что данное число кратно 30, если $c=0$, а b принимает одно из значений {2, 5, 8}.
Это соответствует числам:
- 420 (проверка: $420 \div 30 = 14$)
- 450 (проверка: $450 \div 30 = 15$)
- 480 (проверка: $480 \div 30 = 16$)

Ответ: данное число кратно тридцати при $c=0$ и при значениях $b$, равных 2, 5 или 8.