Страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что в алгебре подразумевают под буквами?

В алгебре под буквами (например, $a, b, c, x, y, z$) подразумевают числа. Использование букв вместо конкретных чисел — это ключевая идея, которая позволяет обобщать математические законы и решать задачи с неизвестными величинами. Буквы в алгебраических выражениях могут выполнять несколько основных ролей.

1. Переменные
Это наиболее частое использование букв. Переменная — это буква, которая представляет собой неизвестное число или величину, которая может изменять свое значение. Например:
- В уравнениях, таких как $5x - 7 = 13$, буква $x$ является неизвестной переменной, значение которой нужно найти. Решив уравнение, мы находим, что $x=4$.
- В формулах или функциях, например, в выражении $y = 2x + 1$, буквы $x$ и $y$ являются переменными. Значение $y$ (зависимая переменная) зависит от значения $x$ (независимая переменная). Мы можем подставлять различные числа вместо $x$ и вычислять соответствующие значения $y$.

2. Параметры (или коэффициенты)
Иногда буквы используются для обозначения величин, которые остаются постоянными в рамках одной конкретной задачи, но могут меняться от задачи к задаче. Такие буквы называют параметрами. Часто для них используют начальные буквы латинского алфавита ($a, b, c$).
Например, в общем виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, буква $x$ — это переменная, а буквы $a, b, c$ — это параметры. Они задают конкретное уравнение из всего семейства квадратных уравнений. Если $a=1, b=-5, c=6$, мы получаем уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

3. Константы
Некоторые буквы по общему соглашению обозначают конкретные, фиксированные числовые значения — математические константы. Они не меняют своего значения никогда.
- Буква $\pi$ (пи) всегда представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру, $\pi \approx 3.14159...$
- Буква $e$ (число Эйлера) является основанием натурального логарифма, $e \approx 2.71828...$

Таким образом, главное назначение букв в алгебре — это обобщение. Вместо того чтобы работать с отдельными примерами, как в арифметике (например, $2+3=3+2$), алгебра позволяет нам формулировать общие правила, справедливые для любых чисел. Например, переместительный закон сложения записывается как $a+b=b+a$, где $a$ и $b$ — это любые числа. Это делает математику гораздо более мощным инструментом для описания и анализа мира.

Ответ: В алгебре под буквами подразумевают переменные (неизвестные или изменяющиеся числа), параметры (числа, постоянные в рамках конкретной задачи) или общепринятые математические константы (такие как $\pi$ или $e$). Использование букв позволяет обобщать арифметические правила и решать уравнения с неизвестными величинами.

2. Какое выражение называют алгебраическим?

Алгебраическое выражение — это математическая запись, которая состоит из чисел (констант), букв (переменных) и знаков арифметических операций: сложения, вычитания, умножения, деления, а также возведения в степень и извлечения корня. Фактически, это любое осмысленное сочетание этих элементов.

Ключевые составляющие алгебраического выражения:

• Числа (константы) — постоянные величины, например: $5, -10, \frac{1}{2}, \pi$.
• Переменные — буквенные символы, которые могут принимать различные числовые значения, например: $x, a, y, t$.
• Математические операции — действия, которые связывают числа и переменные.

Примеры алгебраических выражений:

• Сумма числа и переменной: $7 + x$
• Произведение двух переменных: $a \cdot b$ (часто записывается как $ab$)
• Многочлен: $3x^2 - 5xy + 2y^2 - 9$
• Дробное выражение: $\frac{a+b}{c-1}$
• Иррациональное выражение: $\sqrt{m^2 + n^2}$

Важно отличать алгебраическое выражение от алгебраического уравнения. Уравнение содержит знак равенства «=» и утверждает, что два выражения равны друг другу (например, $2x + 5 = 11$), в то время как выражение само по себе просто представляет собой некоторую величину, значение которой зависит от значений входящих в него переменных.

Алгебраические выражения классифицируются на:

• Рациональные — не содержат переменных под знаком корня. Делятся на целые (например, $2x^2+3y$) и дробные (например, $\frac{4}{x-1}$).
• Иррациональные — содержат переменную под знаком корня или в основании степени с дробным показателем (например, $\sqrt{a} + 5$).

Ответ: Алгебраическим выражением называют совокупность чисел и букв (переменных), соединенных знаками арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление), а также операциями возведения в степень и извлечения корня.

3. Привести примеры числовых и алгебраических выражений.

В математике выражения делятся на два основных типа: числовые и алгебраические. Основное их различие заключается в наличии или отсутствии переменных.

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, соединенных знаками арифметических действий (+, −, ·, :), а также скобок, которые указывают на порядок выполнения этих действий. В числовые выражения также могут входить степени, корни, логарифмы и другие математические функции, примененные к числам. Важнейшая особенность числового выражения заключается в том, что после выполнения всех указанных в нем действий получается конкретное числовое значение.

Примеры:

• Простое выражение со скобками: $(15 - 7) \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
• Выражение с дробями: $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$.
• Выражение со степенями и корнями: $5^2 - \sqrt{81} = 25 - 9 = 16$.
• Сложное выражение: $\frac{(6.7 + 2.3) \cdot 2}{3^2 - 4} = \frac{9 \cdot 2}{9 - 4} = \frac{18}{5} = 3.6$.

Ответ: Примеры числовых выражений: $(15 - 7) \cdot 3$; $\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$; $5^2 - \sqrt{81}$.

Алгебраическое выражение — это выражение, которое помимо чисел, знаков арифметических действий и скобок содержит переменные (обозначаемые буквами, например, $x, y, a, b$). Значение алгебраического выражения не является фиксированным числом, а зависит от значений, которые принимают входящие в него переменные. При подстановке конкретных чисел вместо переменных алгебраическое выражение превращается в числовое.

Примеры:

• Выражение с одной переменной: $3x + 8$. Если $x=2$, значение выражения равно $3 \cdot 2 + 8 = 14$.
• Выражение с двумя переменными и степенями: $a^2 - b^2$. Это формула разности квадратов, которая равна $(a-b)(a+b)$.
• Дробно-рациональное выражение: $\frac{y+5}{y-1}$. Это выражение имеет смысл при любых значениях $y$, кроме $y=1$ (так как на ноль делить нельзя).
• Выражение с корнем: $2\sqrt{m} - n$. Это выражение определено, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $m \ge 0$.

Ответ: Примеры алгебраических выражений: $3x + 8$; $a^2 - b^2$; $\frac{y+5}{y-1}$; $2\sqrt{m} - n$.

4. Что называют значением алгебраического выражения?

Значением алгебраического выражения называют число, которое получается в результате подстановки в это выражение конкретных числовых значений вместо всех входящих в него переменных и последующего выполнения всех арифметических действий.

Алгебраическое выражение само по себе, как правило, содержит переменные (буквы), и чтобы найти его значение, необходимо знать, какие числа следует подставить вместо этих переменных. После подстановки чисел алгебраическое выражение превращается в числовое выражение, результат вычисления которого и является искомым значением.

Например, рассмотрим алгебраическое выражение $5x - 2y + 7$. Чтобы найти его значение, нам нужно задать числовые значения для переменных $x$ и $y$.

Допустим, нам дано, что $x = 3$ и $y = 4$.

1. Подстановка значений: Заменяем переменные $x$ и $y$ на их числовые значения в выражении:
$5 \cdot (3) - 2 \cdot (4) + 7$

2. Вычисление: Выполняем арифметические операции в полученном числовом выражении, соблюдая порядок действий:
$15 - 8 + 7 = 7 + 7 = 14$

Таким образом, число 14 является значением алгебраического выражения $5x - 2y + 7$ при $x=3$ и $y=4$. Если бы мы взяли другие значения для переменных (например, $x=0$, $y=0$), значение выражения было бы другим ($5 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 7 = 7$).

Важно помнить, что некоторые значения переменных могут быть недопустимыми. Например, в выражении $\frac{a}{b-1}$ значение $b=1$ недопустимо, так как оно приводит к делению на ноль.

Ответ: Значением алгебраического выражения является число, полученное в результате подстановки заданных числовых значений вместо переменных и выполнения всех указанных в выражении математических операций.

1. Найти:

1) половину числа 7; 0,6; $ \frac{1}{2} $;

2) удвоенную разность чисел 40 и 15;

3) число, в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2;

4) число, в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12;

5) квадрат суммы чисел 3 и 4;

6) сумму квадратов чисел 5 и 3.

1) Чтобы найти половину числа, необходимо разделить это число на 2. Выполним это действие для каждого из указанных чисел.
Для числа 7: $7 \div 2 = 3,5$
Для числа 0,6: $0,6 \div 2 = 0,3$
Для числа $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ (или 0,25)
Ответ: 3,5; 0,3; $\frac{1}{4}$.

2) Данная задача требует найти удвоенную разность чисел. Сначала вычислим разность чисел 40 и 15.
$40 - 15 = 25$
Теперь удвоим полученный результат, то есть умножим его на 2.
$25 \times 2 = 50$
Это можно записать одним выражением: $2 \times (40 - 15) = 50$.
Ответ: 50.

3) Требуется найти число, которое в 3 раза больше суммы чисел 1 и 2. Сначала найдем сумму этих чисел.
$1 + 2 = 3$
Теперь умножим полученную сумму на 3, чтобы найти число, которое в 3 раза больше.
$3 \times 3 = 9$
Это можно записать одним выражением: $3 \times (1 + 2) = 9$.
Ответ: 9.

4) Требуется найти число, которое в 5 раз меньше разности чисел 32 и 12. Сначала найдем разность этих чисел.
$32 - 12 = 20$
Теперь разделим полученную разность на 5, чтобы найти число, которое в 5 раз меньше.
$20 \div 5 = 4$
Это можно записать одним выражением: $(32 - 12) \div 5 = 4$.
Ответ: 4.

5) Требуется найти квадрат суммы чисел 3 и 4. Сначала вычислим сумму этих чисел.
$3 + 4 = 7$
Теперь возведем полученную сумму в квадрат (во вторую степень).
$7^2 = 7 \times 7 = 49$
Это можно записать одним выражением: $(3 + 4)^2 = 49$.
Ответ: 49.

6) Требуется найти сумму квадратов чисел 5 и 3. Сначала найдем квадрат каждого числа по отдельности.
Квадрат числа 5: $5^2 = 5 \times 5 = 25$
Квадрат числа 3: $3^2 = 3 \times 3 = 9$
Теперь сложим полученные квадраты.
$25 + 9 = 34$
Это можно записать одним выражением: $5^2 + 3^2 = 34$.
Ответ: 34.

2. Найти число секунд в часе; в сутках.

в часе

Для того чтобы найти количество секунд в одном часе, необходимо знать основные соотношения единиц времени:
1 час = 60 минут.
1 минута = 60 секунд.
Чтобы вычислить количество секунд в часе, нужно умножить количество минут в часе на количество секунд в минуте:
$60 \text{ минут} \times 60 \text{ секунд/минута} = 3600 \text{ секунд}$

Ответ: 3600 секунд.

в сутках

Для того чтобы найти количество секунд в сутках, нужно знать, сколько часов в сутках и сколько секунд в одном часе.
В одних сутках 24 часа.
Как было вычислено ранее, в одном часе 3600 секунд.
Следовательно, чтобы найти количество секунд в сутках, умножим количество часов в сутках на количество секунд в часе:
$24 \text{ часа} \times 3600 \text{ секунд/час} = 86400 \text{ секунд}$

Ответ: 86400 секунд.

3. Найти число граммов в центнере; в тонне.

в центнере

Для того чтобы определить, сколько граммов содержится в одном центнере, необходимо последовательно выполнить перевод единиц массы. Мы знаем следующие соотношения:

• 1 килограмм (кг) равен 1000 граммов (г).
• 1 центнер (ц) равен 100 килограммам (кг).

Сначала выразим один центнер в килограммах:
$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$

Затем, зная, что в каждом килограмме содержится 1000 граммов, мы можем найти общее количество граммов, умножив количество килограммов на 1000:
$100 \text{ кг} = 100 \times 1000 \text{ г} = 100 \, 000 \text{ г}$

Таким образом, один центнер равен 100 000 граммов. Это можно также представить в виде степени числа 10:
$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг} = 10^2 \text{ кг} = 10^2 \times 10^3 \text{ г} = 10^5 \text{ г}$

Ответ: в одном центнере 100 000 граммов.

в тонне

Аналогично поступим для нахождения числа граммов в одной тонне. Используем следующие соотношения:

• 1 килограмм (кг) равен 1000 граммов (г).
• 1 тонна (т) равна 1000 килограммов (кг).

Выразим одну тонну в килограммах:
$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

Теперь переведем килограммы в граммы, умножив их количество на 1000:
$1000 \text{ кг} = 1000 \times 1000 \text{ г} = 1 \, 000 \, 000 \text{ г}$

Следовательно, одна тонна равна 1 000 000 граммов. В виде степени числа 10 это будет:
$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг} = 10^3 \text{ кг} = 10^3 \times 10^3 \text{ г} = 10^6 \text{ г}$

Ответ: в одной тонне 1 000 000 граммов.

4. Найти $48 \%$ от числа 200.

4. Чтобы найти процент от числа, существует несколько способов.

Способ 1: Преобразование процента в десятичную дробь

Сначала необходимо преобразовать 48% в десятичную дробь. Процент — это сотая часть числа, поэтому для преобразования нужно разделить количество процентов на 100.
$48\% = 48 \div 100 = 0.48$

Затем умножим полученную десятичную дробь на число, от которого мы ищем процент, то есть на 200.
$0.48 \times 200 = 96$

Способ 2: Через нахождение одного процента

Сначала найдем, чему равен 1% от числа 200. Для этого разделим число 200 на 100.
$200 \div 100 = 2$

Теперь, зная, что 1% равен 2, мы можем найти 48%. для этого нужно умножить значение одного процента на 48.
$2 \times 48 = 96$

Способ 3: С помощью пропорции

Примем число 200 за 100%, а искомое число обозначим как $x$, которое составляет 48%. Составим пропорцию:
$200 — 100\%$
$x — 48\%$

Решим пропорцию:
$x = \frac{200 \times 48}{100}$
$x = 2 \times 48$
$x = 96$

Все три способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 96

5. Найти число, $35\%$ которого равны $140$.

Для нахождения числа по его проценту можно использовать несколько способов. Пусть искомое число — это $x$. По условию задачи, 35% от этого числа равны 140.

Способ 1: Решение через уравнение

Сначала представим проценты в виде десятичной дроби:

$35\% = \frac{35}{100} = 0.35$

Теперь можно составить уравнение, где $x$ — искомое число:

$0.35 \cdot x = 140$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 140 на 0.35:

$x = \frac{140}{0.35}$

Для удобства вычислений избавимся от дроби в делителе, умножив и делимое, и делитель на 100:

$x = \frac{140 \cdot 100}{0.35 \cdot 100} = \frac{14000}{35}$

Выполним деление:

$x = 400$

Способ 2: Решение через пропорцию

Примем искомое число $x$ за 100%. Тогда, согласно условию, число 140 составляет 35%. Составим пропорцию:

$x$ — 100%

140 — 35%

Из этой пропорции получаем соотношение:

$\frac{x}{140} = \frac{100}{35}$

Теперь выразим $x$:

$x = \frac{140 \cdot 100}{35}$

Сократим дробь. Так как $140 \div 35 = 4$, получаем:

$x = 4 \cdot 100 = 400$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 400

178. Записать:

1) удвоенную сумму чисел 5 и m: $2(5 + m)$;

2) половину разности чисел c и d: $\frac{c - d}{2}$;

3) сумму числа 12 и произведения чисел a и b: $12 + ab$;

4) частное от деления суммы чисел n и m на число 17: $\frac{n + m}{17}$.

1) Чтобы записать удвоенную сумму чисел 5 и m, сначала нужно найти их сумму. Сумма чисел 5 и m записывается как $5 + m$. Затем эту сумму необходимо "удвоить", то есть умножить на 2. Чтобы показать, что умножается вся сумма, а не только одно из чисел, мы используем скобки. Таким образом, получается выражение $2 \cdot (5 + m)$.
Ответ: $2(5 + m)$

2) Сначала определим разность чисел c и d, которая записывается как $c - d$. "Половина" от какого-либо значения означает, что это значение нужно разделить на 2. Следовательно, мы делим полученную разность на 2. Это можно записать в виде дроби $\frac{c-d}{2}$ или с помощью знака деления $(c-d):2$.
Ответ: $\frac{c-d}{2}$

3) Данное выражение представляет собой сумму двух компонентов: числа 12 и произведения чисел a и b. Произведение чисел a и b записывается как $a \cdot b$ или просто $ab$. Затем мы находим сумму этих двух компонентов, складывая их. В результате получаем выражение $12 + ab$.
Ответ: $12 + ab$

4) В этом задании нужно найти частное от деления. Делимым является "сумма чисел n и m", которая записывается как $n + m$. Делителем является "число 17". Частное — это результат деления делимого на делитель. Таким образом, мы делим сумму $(n + m)$ на 17. Для правильного порядка действий сумму необходимо заключить в скобки. Выражение можно записать в виде дроби.
Ответ: $\frac{n+m}{17}$

179. Найти значение алгебраического выражения:

1) $3a - 2b$ при $a = \frac{1}{3}$, $b = 1$; $a = 0,01$, $b = \frac{1}{4}$

2) $2a + 3b$ при $a = 3$, $b = -2$; $a = -1,4$, $b = -3,1$

3) $0,25a - 4c^2$ при $a = 4$, $c = 3$; $a = 0,1$, $c = \frac{1}{2}$

4) $2a^2 - \frac{1}{3}b$ при $a = 2$, $b = 9$; $a = \frac{1}{4}$, $b = 2,4$

1) Найдем значение выражения $3a-2b$.

При $a = \frac{1}{3}, b = 1$:
$3a - 2b = 3 \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

При $a = 0,01, b = \frac{1}{4}$:
$3a - 2b = 3 \cdot 0,01 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 0,03 - \frac{2}{4} = 0,03 - 0,5 = -0,47$.

Ответ: -1; -0,47.

2) Найдем значение выражения $2a+3b$.

При $a = 3, b = -2$:
$2a + 3b = 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0$.

При $a = -1,4, b = -3,1$:
$2a + 3b = 2 \cdot (-1,4) + 3 \cdot (-3,1) = -2,8 + (-9,3) = -2,8 - 9,3 = -12,1$.

Ответ: 0; -12,1.

3) Найдем значение выражения $0,25a - 4c^2$.

При $a = 4, c = 3$:
$0,25a - 4c^2 = 0,25 \cdot 4 - 4 \cdot 3^2 = 1 - 4 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$.

При $a = 0,1, c = \frac{1}{2}$:
$0,25a - 4c^2 = 0,25 \cdot 0,1 - 4 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 0,025 - 4 \cdot \frac{1}{4} = 0,025 - 1 = -0,975$.

Ответ: -35; -0,975.

4) Найдем значение выражения $2a^2 - \frac{1}{3}b$.

При $a = 2, b = 9$:
$2a^2 - \frac{1}{3}b = 2 \cdot 2^2 - \frac{1}{3} \cdot 9 = 2 \cdot 4 - \frac{9}{3} = 8 - 3 = 5$.

При $a = \frac{1}{4}, b = 2,4$:
$2a^2 - \frac{1}{3}b = 2 \cdot (\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{3} \cdot 2,4 = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{2,4}{3} = \frac{1}{8} - 0,8 = 0,125 - 0,8 = -0,675$.

Ответ: 5; -0,675.