Страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

174. Выполнить действия:

1) $\frac{0,3 \cdot 5^2 - 15}{3,5 + 2^2};$

2) $\frac{4,2 : 6 - 3\frac{1}{3} \cdot 0,3}{7,5 : 0,5};$

3) $13\frac{1}{3} \cdot (18,1 - (3^2 + 6,1));$

4) $((7,8 : 0,3 - 3^3) + 3,1) : 0,7.$

1) $\frac{0,3 \cdot 5^2 - 15}{3,5 + 2^2}$

Решим пример по действиям. Сначала выполним действия в числителе и знаменателе по отдельности.

Действия в числителе:

1. Возведение в степень: $5^2 = 25$.

2. Умножение: $0,3 \cdot 25 = 7,5$.

3. Вычитание: $7,5 - 15 = -7,5$.

Действия в знаменателе:

4. Возведение в степень: $2^2 = 4$.

5. Сложение: $3,5 + 4 = 7,5$.

Итоговое действие:

6. Деление результата числителя на результат знаменателя: $\frac{-7,5}{7,5} = -1$.

Ответ: -1

2) $\frac{4,2 : 6 - 3\frac{1}{3} \cdot 0,3}{7,5 : 0,5}$

Решим пример по действиям, сначала в числителе, затем в знаменателе.

Действия в числителе:

1. Деление: $4,2 : 6 = 0,7$.

2. Умножение: для удобства преобразуем смешанную и десятичную дроби в обыкновенные. $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ и $0,3 = \frac{3}{10}$.

$3\frac{1}{3} \cdot 0,3 = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{10} = 1$.

3. Вычитание: $0,7 - 1 = -0,3$.

Действия в знаменателе:

4. Деление: $7,5 : 0,5 = 75 : 5 = 15$.

Итоговое действие:

5. Деление результата числителя на результат знаменателя: $\frac{-0,3}{15} = \frac{-3}{150} = -\frac{1}{50} = -0,02$.

Ответ: -0,02

3) $13\frac{1}{3} \cdot (18,1 - (3^2 + 6,1))$

Выполним действия в соответствии с порядком операций (сначала в скобках, затем умножение).

1. Вычисляем выражение во внутренних скобках: $3^2 + 6,1 = 9 + 6,1 = 15,1$.

2. Вычисляем выражение во внешних скобках: $18,1 - 15,1 = 3$.

3. Выполняем умножение. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $13\frac{1}{3} = \frac{13 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{40}{3}$.

$\frac{40}{3} \cdot 3 = 40$.

Ответ: 40

4) $((7,8 : 0,3 - 3^3) + 3,1) : 0,7$

Выполним действия по порядку, начиная с самых внутренних скобок.

1. Вычисляем выражение в первых (внутренних) скобках. Сначала деление и возведение в степень, затем вычитание.

$7,8 : 0,3 = 78 : 3 = 26$.

$3^3 = 27$.

$26 - 27 = -1$.

2. Теперь выражение выглядит так: $(-1 + 3,1) : 0,7$. Выполняем сложение в скобках.

$-1 + 3,1 = 2,1$.

3. Выполняем последнее действие — деление.

$2,1 : 0,7 = 21 : 7 = 3$.

Ответ: 3

175. Записать в виде равенства и проверить, верно ли оно:

1) $20\% \cdot 240 = 62$;

2) $18 = 3\% \cdot 600$;

3) $15\frac{2}{5} \cdot 5 = 11\% \cdot 700$;

4) $\frac{18}{4} = 5\% \cdot 90$;

5) $111 \div 3 = 10\% \cdot 370$;

6) $650\% \cdot 12 = 77$.

1) Запишем данное утверждение в виде равенства. Чтобы найти 20% от числа 240, нужно умножить 240 на 0,20 (десятичное представление 20%).
Равенство: $240 \cdot 0,20 = 62$.
Проверим его верность. Вычислим левую часть: $240 \cdot 0,20 = 48$.
Сравним результат с правой частью: $48 \ne 62$.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) Запишем утверждение "число 18 составляет 3% от числа 600" в виде равенства. Это означает, что 3% от 600 должно быть равно 18.
Равенство: $600 \cdot \frac{3}{100} = 18$.
Проверим его верность. Вычислим левую часть: $600 \cdot 0,03 = 18$.
Сравним результат с правой частью: $18 = 18$.
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

3) Запишем утверждение "произведение чисел $15\frac{2}{5}$ и 5 составляет 11% от числа 700" в виде равенства. Сначала найдём произведение, а затем 11% от 700.
Равенство: $(15\frac{2}{5} \cdot 5) = 700 \cdot \frac{11}{100}$.
Проверим его верность. Вычислим левую часть. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $15\frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{77}{5}$.
Тогда произведение равно $\frac{77}{5} \cdot 5 = 77$.
Вычислим правую часть: $700 \cdot 0,11 = 77$.
Сравним результаты: $77 = 77$.
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

4) Запишем утверждение "четвёртая часть числа 18 равна 5% от числа 90" в виде равенства. Четвёртая часть числа 18 - это $18:4$. 5% от числа 90 - это $90 \cdot 0,05$.
Равенство: $18 : 4 = 90 \cdot \frac{5}{100}$.
Проверим его верность. Вычислим левую часть: $18 : 4 = 4,5$.
Вычислим правую часть: $90 \cdot 0,05 = 4,5$.
Сравним результаты: $4,5 = 4,5$.
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

5) Запишем утверждение "111 : 3 равно 10% от числа 370" в виде равенства.
Равенство: $111 : 3 = 370 \cdot \frac{10}{100}$.
Проверим его верность. Вычислим левую часть: $111 : 3 = 37$.
Вычислим правую часть: $370 \cdot 0,10 = 37$.
Сравним результаты: $37 = 37$.
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

6) Запишем утверждение "650% от числа 12 равны 77" в виде равенства. Чтобы найти 650% от числа 12, нужно умножить 12 на 6,5 (десятичное представление 650%).
Равенство: $12 \cdot \frac{650}{100} = 77$.
Проверим его верность. Вычислим левую часть: $12 \cdot 6,5 = 78$.
Сравним результат с правой частью: $78 \ne 77$.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

176. Не выполняя действий, объяснить, почему является неверным равенство:

1) $18,07 - 23,2 \cdot 5 = 78,93;$

2) $0,48 \cdot 17 = 81,6;$

3) $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} = 1\frac{1}{21};$

4) $\frac{3}{7} \cdot (-0,49) = 2,1;$

5) $\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{7} \cdot (-0,3) = 1\frac{12}{13};$

6) $\frac{4}{3} \cdot \frac{7}{5} \cdot 1,1 = \frac{13}{14}.$

1) В выражении $18,07 - 23,2 \cdot 5$ сначала выполняется умножение. Произведение $23,2 \cdot 5$ является числом, большим, чем $23 \cdot 5 = 115$. Таким образом, из меньшего числа (18,07) вычитается большее число. Результат должен быть отрицательным, а в правой части равенства стоит положительное число 78,93. Ответ: Равенство неверно.

2) В выражении $0,48 \cdot 17$ один из множителей, 0,48, меньше 1. При умножении положительного числа (17) на число, меньшее 1, результат должен быть меньше этого числа (т.е. меньше 17). В правой части равенства стоит число 81,6, которое значительно больше 17. Ответ: Равенство неверно.

3) В левой части равенства $ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} = 1 \frac{1}{21} $ перемножаются три правильные дроби. Каждая из них меньше 1. Произведение чисел, каждое из которых меньше 1, также должно быть меньше 1. В правой части стоит число $1 \frac{1}{21}$, которое больше 1. Ответ: Равенство неверно.

4) В выражении $ \frac{3}{7} \cdot (-0,49) $ умножается положительное число ($ \frac{3}{7} $) на отрицательное ($-0,49$). Произведение положительного и отрицательного чисел всегда является отрицательным числом. В правой части равенства стоит положительное число 2,1. Ответ: Равенство неверно.

5) В левой части равенства $ \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{7} \cdot (-0,3) = \frac{12}{13} $ перемножаются два положительных числа ($ \frac{4}{3} $ и $ \frac{5}{7} $) и одно отрицательное ($-0,3$). Результат такого умножения должен быть отрицательным. В правой части стоит положительная дробь $ \frac{12}{13} $. Ответ: Равенство неверно.

6) В левой части равенства $ \frac{4}{3} \cdot \frac{7}{5} \cdot 1,1 = \frac{13}{14} $ все три множителя больше 1 (так как $ \frac{4}{3} > 1 $, $ \frac{7}{5} > 1 $ и $1,1 > 1$). Произведение чисел, которые больше 1, всегда будет больше 1. В правой части стоит правильная дробь $ \frac{13}{14} $, которая меньше 1. Ответ: Равенство неверно.

177. Чтобы успеть к отходу поезда, группа туристов должна пройти 22 км до станции за 6,5 ч. Туристы решили двигаться в следующем режиме: сначала идти со скоростью 4 км/ч, делая через каждые 1,5 ч пятнадцатиминутный привал, а по прошествии 5,25 ч снизить скорость до 3 км/ч и идти без привалов. Успеют ли они прибыть на станцию до отхода поезда?

Чтобы ответить на вопрос, успеют ли туристы на поезд, нужно рассчитать общее время, которое они затратят на весь путь, и сравнить его с имеющимся у них временем — 6,5 часов.

1. Анализ первого этапа пути.

Первый этап длится 5,25 часа. В течение этого времени туристы идут со скоростью 4 км/ч, но делают привалы по 15 минут ($0,25$ часа) после каждых 1,5 часов ходьбы. Таким образом, один полный цикл «ходьба + привал» занимает:

$1,5 \text{ ч} + 0,25 \text{ ч} = 1,75 \text{ ч}$

Определим, сколько таких полных циклов укладывается в 5,25 часа:

$5,25 \text{ ч} \div 1,75 \text{ ч/цикл} = 3 \text{ цикла}$

Это значит, что за первые 5,25 часа общее время движения составило:

$3 \times 1,5 \text{ ч} = 4,5 \text{ ч}$

За это время они прошли расстояние:

$S_1 = 4 \text{ км/ч} \times 4,5 \text{ ч} = 18 \text{ км}$

2. Анализ второго этапа пути и расчет общего времени.

Весь путь до станции — 22 км. После первого этапа туристам осталось пройти:

$S_2 = 22 \text{ км} - 18 \text{ км} = 4 \text{ км}$

На втором этапе они идут со скоростью 3 км/ч без привалов. Время, которое они потратят на оставшийся путь:

$t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{4 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = \frac{4}{3} \text{ ч}$

Теперь рассчитаем общее время в пути, сложив время первого и второго этапов:

$T_{общ} = 5,25 \text{ ч} + t_2 = 5,25 \text{ ч} + \frac{4}{3} \text{ ч}$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную для удобства вычислений: $5,25 = 5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$.

$T_{общ} = \frac{21}{4} + \frac{4}{3} = \frac{21 \times 3}{12} + \frac{4 \times 4}{12} = \frac{63 + 16}{12} = \frac{79}{12} \text{ ч}$

3. Сравнение и вывод.

Туристам нужно успеть за 6,5 часов. Переведем это время в обыкновенную дробь:

$6,5 \text{ ч} = 6\frac{1}{2} \text{ ч} = \frac{13}{2} \text{ ч} = \frac{78}{12} \text{ ч}$

Теперь сравним расчетное время с доступным:

$\frac{79}{12} \text{ ч} > \frac{78}{12} \text{ ч}$

Расчетное время в пути больше, чем время до отхода поезда. Туристы опоздают на:

$\frac{79}{12} - \frac{78}{12} = \frac{1}{12} \text{ ч} = \frac{1}{12} \times 60 \text{ мин} = 5 \text{ минут}$

Ответ: Нет, туристы не успеют прибыть на станцию до отхода поезда.