Страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Вычислить:

1) $-6,29 + 3,08 - 1,74 - 2,44 + 5,29;$

2) $-1,4 \cdot 7\frac{2}{9} \cdot \left(-\frac{21}{26}\right).$

1) Вычислим значение выражения $-6,29 + 3,08 - 1,74 - 2,44 + 5,29$.

Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые. Заметим, что у чисел $-6,29$ и $5,29$ одинаковая дробная часть. Это упростит первый шаг.

1. Сложим $-6,29$ и $5,29$:
$-6,29 + 5,29 = -(6,29 - 5,29) = -1$.

2. Теперь исходное выражение примет вид:
$-1 + 3,08 - 1,74 - 2,44$.

3. Выполним оставшиеся действия последовательно:
$-1 + 3,08 = 2,08$;
$2,08 - 1,74 = 0,34$;
$0,34 - 2,44 = -(2,44 - 0,34) = -2,1$.

Таким образом, $-6,29 + 3,08 - 1,74 - 2,44 + 5,29 = -2,1$.

Ответ: $-2,1$.

2) Вычислим значение выражения $-1,4 \cdot 7\frac{2}{9} \cdot \left(-\frac{21}{26}\right)$.

1. Сначала преобразуем все числа в вид неправильных дробей.
Десятичную дробь $-1,4$ запишем как обыкновенную и сократим:
$-1,4 = -\frac{14}{10} = -\frac{7}{5}$.
Смешанное число $7\frac{2}{9}$ преобразуем в неправильную дробь:
$7\frac{2}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{63+2}{9} = \frac{65}{9}$.

2. Теперь наше выражение выглядит так:
$\left(-\frac{7}{5}\right) \cdot \frac{65}{9} \cdot \left(-\frac{21}{26}\right)$.

3. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому знак результата будет «плюс»:
$\left(-\frac{7}{5}\right) \cdot \left(-\frac{21}{26}\right) \cdot \frac{65}{9} = \frac{7}{5} \cdot \frac{21}{26} \cdot \frac{65}{9}$.

4. Перемножим дроби, записав произведение числителей и знаменателей под одной чертой, и выполним сокращение:
$\frac{7 \cdot 21 \cdot 65}{5 \cdot 26 \cdot 9} = \frac{7 \cdot (3 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 13)}{5 \cdot (2 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 3)}$.

Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе (3, 5, 13):
$\frac{7 \cdot \cancel{3} \cdot 7 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{13}}{\cancel{5} \cdot 2 \cdot \cancel{13} \cdot \cancel{3} \cdot 3} = \frac{7 \cdot 7}{2 \cdot 3} = \frac{49}{6}$.

5. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{49}{6} = 8\frac{1}{6}$.

Ответ: $8\frac{1}{6}$.

6. Найти НОД и НОК чисел 90 и 63.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) чисел 90 и 63, разложим эти числа на простые множители.

1. Разложение числа 90 на простые множители:
$90 = 2 \cdot 45 = 2 \cdot 5 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$

2. Разложение числа 63 на простые множители:
$63 = 7 \cdot 9 = 3^2 \cdot 7$

НОД
Наибольший общий делитель (НОД) находится как произведение общих простых множителей, взятых с наименьшей из степеней.
Сравниваем разложения: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ и $63 = 3^2 \cdot 7$.
Единственный общий простой множитель — это $3$. Наименьшая степень, в которой он встречается в обоих разложениях, — это $2$.
Следовательно, $НОД(90, 63) = 3^2 = 9$.
Ответ: 9.

НОК
Наименьшее общее кратное (НОК) находится как произведение всех простых множителей из обоих разложений, взятых с наибольшей из степеней.
Выписываем все простые множители, которые встречаются в разложениях: $2, 3, 5, 7$.
Берём каждый из них с наибольшим показателем степени: $2^1, 3^2, 5^1, 7^1$.
$НОК(90, 63) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 630$.
Также можно воспользоваться формулой $НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$:
$НОК(90, 63) = \frac{90 \cdot 63}{9} = 10 \cdot 63 = 630$.
Ответ: 630.

7. Решить уравнение: $4.2 - 0.02 \div x = 6.8$

Для решения уравнения $4,2 - 0,02 : x = 6,8$ необходимо найти значение переменной $x$.

Сначала определим неизвестный компонент. В данном уравнении выражение $0,02 : x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого $(4,2)$ вычесть разность $(6,8)$.

$0,02 : x = 4,2 - 6,8$

Выполним вычитание в правой части:

$0,02 : x = -2,6$

Теперь неизвестная переменная $x$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое $(0,02)$ разделить на частное $(-2,6)$.

$x = 0,02 : (-2,6)$

Для удобства вычислений представим деление в виде дроби. Чтобы избавиться от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножим их на 100:

$x = \frac{0,02}{-2,6} = \frac{0,02 \cdot 100}{-2,6 \cdot 100} = \frac{2}{-260}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = -\frac{2}{260} = -\frac{1}{130}$

Проверка:
Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения.
$4,2 - 0,02 : (-\frac{1}{130}) = 6,8$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$4,2 - 0,02 \cdot (-130) = 6,8$
$4,2 - (-2,6) = 6,8$
$4,2 + 2,6 = 6,8$
$6,8 = 6,8$
Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $x = -\frac{1}{130}$.

8. Телевизор стоил 32 тыс. р. Два года подряд цену на него снижали на 10 % от прошлогодней. Сколько стал стоить телевизор через 2 года?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать цену телевизора после каждого ежегодного снижения на 10%.

Расчет цены после первого года

Первоначальная стоимость телевизора — 32 000 р. После снижения цены на 10% ее новая стоимость составит $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, нужно умножить исходную на 0,9.

Цена после первого года: $32000 \times 0,9 = 28800$ р.

Расчет цены после второго года

Теперь цена телевизора составляет 28 800 р. На второй год ее снова снижают на 10% от этой, уже новой, цены.

Итоговая цена после второго года: $28800 \times 0,9 = 25920$ р.

Эту задачу можно решить и одним действием. Поскольку цена каждый год умножается на 0,9, за два года она будет умножена на этот коэффициент дважды:

Итоговая цена: $32000 \times (0,9)^2 = 32000 \times 0,81 = 25920$ р.

Ответ: через 2 года телевизор стал стоить 25 920 р.

9. 14 рабочих выполнили работу за 8 ч. За сколько часов выполнили бы эту работу 16 рабочих?

Это задача на обратную пропорциональность. Это означает, что чем больше рабочих выполняют одну и ту же работу, тем меньше времени им на это потребуется, при условии, что производительность каждого рабочего одинакова.

Сначала найдем общий объем работы. Он измеряется в "человеко-часах" и равен произведению количества рабочих на затраченное время.

Общий объем работы = $14 \text{ рабочих} \times 8 \text{ часов} = 112 \text{ человеко-часов}$.

Теперь нам нужно выяснить, за сколько часов этот же объем работы (112 человеко-часов) выполнят 16 рабочих. Пусть искомое время равно $x$ часов. Тогда можно составить уравнение:

$16 \text{ рабочих} \times x \text{ часов} = 112 \text{ человеко-часов}$

Чтобы найти $x$, нужно общий объем работы разделить на новое количество рабочих:

$x = \frac{112}{16} = 7$

Следовательно, 16 рабочих выполнят эту работу за 7 часов.

Ответ: 7 часов.

10. Вычислить:

$1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots + 999 - 1000.$

Для вычисления значения данного выражения сгруппируем слагаемые попарно.

Исходное выражение: $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots + 999 - 1000$.

Сгруппируем его следующим образом:
$(1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + \ldots + (999 - 1000)$

Заметим, что результат в каждой паре скобок одинаков:
$1 - 2 = -1$
$3 - 4 = -1$
$5 - 6 = -1$
И так далее до последней пары:
$999 - 1000 = -1$

Теперь необходимо посчитать, сколько всего таких пар. Поскольку в последовательности участвуют все целые числа от 1 до 1000, общее количество чисел равно 1000. Так как мы объединяем их в пары, количество пар будет:
$1000 \div 2 = 500$

Таким образом, вся сумма представляет собой сумму 500 слагаемых, каждое из которых равно $-1$.
Следовательно, итоговый результат равен:
$500 \times (-1) = -500$

Ответ: $-500$

11. Установить, делится ли на 12 число 4 817 532, не производя деление на 12. Ответ обосновать.

Для того чтобы число делилось на 12, оно должно одновременно удовлетворять признакам делимости на 3 и на 4, так как $12 = 3 \times 4$, а числа 3 и 4 являются взаимно простыми. Проверим последовательно каждый признак для числа 4 817 532.

Проверка делимости на 3:
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр заданного числа:
$4 + 8 + 1 + 7 + 5 + 3 + 2 = 30$
Сумма цифр равна 30. Число 30 делится на 3 без остатка ($30 \div 3 = 10$). Следовательно, число 4 817 532 делится на 3.

Проверка делимости на 4:
Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. В числе 4 817 532 последние две цифры образуют число 32.
Число 32 делится на 4 без остатка ($32 \div 4 = 8$). Следовательно, число 4 817 532 делится на 4.

Поскольку число 4 817 532 делится и на 3, и на 4, оно делится на их произведение, то есть на 12.

Ответ: да, число 4 817 532 делится на 12.

12. Кофе при жарке теряет 12,5 % своей массы. Сколько нужно взять свежего кофе, чтобы получить 21 кг жареного.

Пусть $x$ кг — это искомая масса свежего кофе.

При жарке кофе теряет 12,5% своей массы. Это значит, что масса жареного кофе составляет оставшуюся часть от первоначальной массы. Найдем, какой процент массы остается после жарки:
$100\% - 12,5\% = 87,5\%$

По условию, масса жареного кофе, которую нужно получить, равна 21 кг. Таким образом, 21 кг — это 87,5% от исходной массы свежего кофе $x$.

Чтобы найти исходную массу (100%), можно составить пропорцию. Сначала переведем 87,5% в десятичную дробь: $87,5\% = 0,875$.
Получаем уравнение:
$0,875 \cdot x = 21$

Теперь найдем $x$:
$x = \frac{21}{0,875}$

Для упрощения вычислений можно представить проценты в виде обыкновенной дроби.
Поскольку $12,5\% = \frac{12,5}{100} = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$, то потеря массы составляет $\frac{1}{8}$ от начальной.
Следовательно, оставшаяся масса составляет $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ от начальной.
Составим уравнение:
$\frac{7}{8} \cdot x = 21$

Решим это уравнение относительно $x$:
$x = 21 \div \frac{7}{8} = 21 \cdot \frac{8}{7} = \frac{21 \cdot 8}{7} = 3 \cdot 8 = 24$

Таким образом, чтобы получить 21 кг жареного кофе, необходимо взять 24 кг свежего.

Ответ: 24 кг.

13. Бревно длиной 15,5 см распилили на 3 части таким образом, что длина первой относится к длине второй, как 3 : 5, а длина второй к длине третьей относятся как 2 : 3. Найти длину каждой части бревна.

Пусть длины трех частей бревна равны $L_1$, $L_2$ и $L_3$ соответственно. Общая длина бревна составляет 15,5 см, следовательно, их сумма равна: $L_1 + L_2 + L_3 = 15,5$

По условию задачи, у нас есть два соотношения:

1. Отношение длины первой части к длине второй:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{5}$

2. Отношение длины второй части к длине третьей:
$\frac{L_2}{L_3} = \frac{2}{3}$

Чтобы найти соотношение длин всех трех частей ($L_1:L_2:L_3$), необходимо привести обе пропорции к общему члену для $L_2$. Для этого найдем наименьшее общее кратное для чисел, соответствующих $L_2$ в данных пропорциях (это 5 и 2). Наименьшее общее кратное для 5 и 2 равно 10.

Приведем первую пропорцию так, чтобы часть, соответствующая $L_2$, стала равна 10. Для этого умножим обе части отношения на 2:
$L_1 : L_2 = (3 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 6 : 10$

Аналогично поступим со второй пропорцией, умножив обе части на 5:
$L_2 : L_3 = (2 \cdot 5) : (3 \cdot 5) = 10 : 15$

Теперь мы можем записать единое соотношение для всех трех частей:
$L_1 : L_2 : L_3 = 6 : 10 : 15$

Пусть $x$ — это одна часть в данном соотношении (коэффициент пропорциональности). Тогда длины частей можно выразить следующим образом:
$L_1 = 6x$
$L_2 = 10x$
$L_3 = 15x$

Подставим эти выражения в уравнение для общей длины бревна:
$6x + 10x + 15x = 15,5$
$31x = 15,5$

Теперь найдем значение $x$:
$x = \frac{15,5}{31} = 0,5$

Зная коэффициент пропорциональности, можем найти длину каждой части:
Длина первой части: $L_1 = 6 \cdot 0,5 = 3$ см.
Длина второй части: $L_2 = 10 \cdot 0,5 = 5$ см.
Длина третьей части: $L_3 = 15 \cdot 0,5 = 7,5$ см.

Ответ: длина первой части бревна — 3 см, второй — 5 см, третьей — 7,5 см.