Страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

146. Записать число, обратное и противоположное данному: $\frac{5}{8}$; $-1\frac{2}{7}$; $-2\frac{1}{12}$; $0,3$; $5,1$; $-3,6$.

Для решения этой задачи необходимо для каждого из данных чисел найти противоположное и обратное ему число. Давайте разберем эти понятия.

• Противоположным для числа $a$ называется число $-a$, которое в сумме с $a$ дает ноль: $a + (-a) = 0$. Чтобы найти противоположное число, достаточно изменить его знак.
• Обратным для числа $a$ (при $a \neq 0$) называется число $\frac{1}{a}$, которое при умножении на $a$ дает единицу: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$. Чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель. Если число представлено в виде смешанного или десятичного, его сначала следует преобразовать в обыкновенную или неправильную дробь.

Теперь применим эти правила к каждому из чисел.

Для числа $\frac{5}{8}$

Противоположным числом будет число с обратным знаком: $-\frac{5}{8}$.
Обратным числом будет "перевернутая" дробь: $\frac{8}{5}$. Эту неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа $1\frac{3}{5}$.

Ответ: противоположное число $-\frac{5}{8}$, обратное число $\frac{8}{5}$.

Для числа $-1\frac{2}{7}$

Сначала преобразуем данное смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{2}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{9}{7}$.
Противоположное число для $-\frac{9}{7}$ это $\frac{9}{7}$, или, возвращаясь к смешанному числу, $1\frac{2}{7}$.
Обратное число для $-\frac{9}{7}$ это $-\frac{7}{9}$. Знак числа при нахождении обратного сохраняется.

Ответ: противоположное число $1\frac{2}{7}$, обратное число $-\frac{7}{9}$.

Для числа $-2\frac{1}{12}$

Преобразуем в неправильную дробь: $-2\frac{1}{12} = -\frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = -\frac{25}{12}$.
Противоположное число: $-(-\frac{25}{12}) = \frac{25}{12}$, что равно $2\frac{1}{12}$.
Обратное число: $\frac{1}{-\frac{25}{12}} = -\frac{12}{25}$.

Ответ: противоположное число $2\frac{1}{12}$, обратное число $-\frac{12}{25}$.

Для числа $0,3$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Противоположное число: $-0,3$.
Обратное число для $\frac{3}{10}$ это $\frac{10}{3}$. В виде смешанного числа это $3\frac{1}{3}$.

Ответ: противоположное число $-0,3$, обратное число $\frac{10}{3}$.

Для числа $5,1$

Представим в виде неправильной дроби: $5,1 = 5\frac{1}{10} = \frac{51}{10}$.
Противоположное число: $-5,1$.
Обратное число для $\frac{51}{10}$ это $\frac{10}{51}$.

Ответ: противоположное число $-5,1$, обратное число $\frac{10}{51}$.

Для числа $-3,6$

Представим в виде неправильной дроби: $-3,6 = -3\frac{6}{10} = -3\frac{3}{5} = -\frac{18}{5}$.
Противоположное число: $-(-3,6) = 3,6$.
Обратное число для $-\frac{18}{5}$ это $-\frac{5}{18}$.

Ответ: противоположное число $3,6$, обратное число $-\frac{5}{18}$.

147. Числа 11; -23; $1\frac{2}{3}$; 0,2; 0; -3,5; 1207 поместить в соответствующий столбец таблицы (число может попасть более, чем в один столбец).

Натуральные числа

Положительные числа

Отрицательные числа

Целые числа

Рациональные числа

Для того чтобы распределить числа по столбцам таблицы, разберем каждое число и определим, к каким категориям оно относится, согласно их математическим определениям.

Натуральные числа

Натуральные числа — это целые положительные числа, которые используются при счете предметов (1, 2, 3, ...). Проверим каждое число из списка:
• 11 — является целым и положительным, следовательно, это натуральное число.
• -23 — является отрицательным, поэтому не натуральное.
• $1\frac{2}{3}$ — является дробным числом, не натуральное.
• 0,2 — является дробным числом, не натуральное.
• 0 — не является натуральным числом (по стандартному определению, принятому в школьной программе РФ).
• -3,5 — является отрицательным и дробным, не натуральное.
• 1207 — является целым и положительным, следовательно, это натуральное число.

Ответ: 11; 1207.

Положительные числа

Положительные числа — это все числа, которые строго больше нуля. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
• 11 — положительное, так как $11 > 0$.
• -23 — отрицательное.
• $1\frac{2}{3}$ — положительное, так как $1\frac{2}{3} > 0$.
• 0,2 — положительное, так как $0,2 > 0$.
• 0 — не положительное и не отрицательное.
• -3,5 — отрицательное.
• 1207 — положительное, так как $1207 > 0$.

Ответ: 11; $1\frac{2}{3}$; 0,2; 1207.

Отрицательные числа

Отрицательные числа — это все числа, которые строго меньше нуля.
• 11 — положительное.
• -23 — отрицательное, так как $-23 < 0$.
• $1\frac{2}{3}$ — положительное.
• 0,2 — положительное.
• 0 — не положительное и не отрицательное.
• -3,5 — отрицательное, так как $-3,5 < 0$.
• 1207 — положительное.

Ответ: -23; -3,5.

Целые числа

Целые числа — это множество, включающее натуральные числа, им противоположные числа и ноль. Это числа без дробной части.
• 11 — целое число.
• -23 — целое число.
• $1\frac{2}{3}$ — не является целым числом, так как имеет дробную часть.
• 0,2 — не является целым числом, это конечная десятичная дробь.
• 0 — целое число.
• -3,5 — не является целым числом, это конечная десятичная дробь.
• 1207 — целое число.

Ответ: 11; -23; 0; 1207.

Рациональные числа

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Все целые и дробные числа (обыкновенные и десятичные) являются рациональными.
• 11 — рациональное, так как $11 = \frac{11}{1}$.
• -23 — рациональное, так как $-23 = \frac{-23}{1}$.
• $1\frac{2}{3}$ — рациональное, так как $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
• 0,2 — рациональное, так как $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
• 0 — рациональное, так как $0 = \frac{0}{1}$.
• -3,5 — рациональное, так как $-3,5 = -\frac{35}{10} = -\frac{7}{2}$.
• 1207 — рациональное, так как $1207 = \frac{1207}{1}$.
Таким образом, все числа из данного списка являются рациональными.

Ответ: 11; -23; $1\frac{2}{3}$; 0,2; 0; -3,5; 1207.

148. На координатной прямой отметить точки $A(-2,3)$, $B\left(4\frac{1}{3}\right)$, $C(0,6)$, $D\left(-3\frac{1}{4}\right)$.

Чтобы отметить заданные точки на координатной прямой, необходимо определить их положение относительно начала отсчета (точки 0) и целых чисел. Координатная прямая — это прямая линия с указанным началом отсчета, единичным отрезком и положительным направлением (обычно вправо).

Ниже представлено графическое изображение координатной прямой с отмеченными точками.

Точка A(-2,3)

Координата точки A равна $-2,3$. Так как это число отрицательное, точка A находится левее начала отсчета (точки $0$). Число $-2,3$ расположено между целыми числами $-3$ и $-2$. Чтобы найти ее точное положение, нужно от точки $-2$ отступить влево (в сторону уменьшения) на $0,3$ единичного отрезка.

Ответ: Точка A расположена на координатной прямой между числами $-3$ и $-2$, ближе к $-2$.

Точка B(4 1/3)

Координата точки B равна $4\frac{1}{3}$. Это положительное число, поэтому точка B находится правее нуля. Число $4\frac{1}{3}$ расположено между целыми числами $4$ и $5$. Чтобы найти ее положение, нужно отрезок между точками $4$ и $5$ разделить на три равные части и взять первую часть, считая от точки $4$.

Ответ: Точка B расположена на координатной прямой между числами $4$ и $5$, отступая от $4$ на $\frac{1}{3}$ единичного отрезка вправо.

Точка C(0,6)

Координата точки C равна $0,6$. Это положительное число, значит, точка C находится правее нуля. Число $0,6$ расположено между $0$ и $1$. Она находится на расстоянии $0,6$ единичного отрезка от нуля, что составляет чуть больше половины отрезка $[0, 1]$.

Ответ: Точка C расположена на координатной прямой между числами $0$ и $1$, ближе к $1$.

Точка D(-3 1/4)

Координата точки D равна $-3\frac{1}{4}$. Это отрицательное число, следовательно, точка D находится левее нуля. Число $-3\frac{1}{4}$ находится между целыми числами $-4$ и $-3$. Для удобства можно представить координату в виде десятичной дроби: $-3\frac{1}{4} = -3,25$. Точка D находится левее точки $-3$ на расстоянии $\frac{1}{4}$ (или $0,25$) единичного отрезка.

Ответ: Точка D расположена на координатной прямой между числами $-4$ и $-3$, отступая от $-3$ на $\frac{1}{4}$ единичного отрезка влево.

149. Найти модуль числа 100; -100; -53,6; $7\frac{1}{3}$.

Модуль числа (или его абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Модуль всегда является неотрицательным числом (то есть положительным или нулём).

Правило нахождения модуля числа $a$ записывается так:
$|a| = a$, если $a \ge 0$ (модуль положительного числа или нуля равен самому числу).
$|a| = -a$, если $a < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу).

Найдем модули для каждого из заданных чисел.

Модуль числа 100

Число 100 является положительным, поэтому его модуль равен самому числу.
$|100| = 100$
Ответ: 100

Модуль числа -100

Число -100 является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему положительному числу.
$|-100| = -(-100) = 100$
Ответ: 100

Модуль числа -53,6

Число -53,6 является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему положительному числу.
$|-53,6| = 53,6$
Ответ: 53,6

Модуль числа $7\frac{1}{3}$

Число $7\frac{1}{3}$ является положительным, поэтому его модуль равен самому числу.
$|7\frac{1}{3}| = 7\frac{1}{3}$
Ответ: $7\frac{1}{3}$

150. Расположить в порядке возрастания числа:

1) 5,6; $-\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{4}$; $5\frac{4}{5}$; 0;

2) -2,3; $1\frac{2}{7}$; $-2\frac{1}{5}$; -3; $1\frac{4}{7}$.

1)

Чтобы расположить числа $5,6$; $-\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{4}$; $5\frac{4}{5}$; $0$ в порядке возрастания, необходимо привести их к одному виду. Удобнее всего преобразовать все числа в десятичные дроби.

Выполним преобразование:

$5,6$ — уже представлено в виде десятичной дроби.

$-\frac{2}{3} = -2 \div 3 = -0,666... = -0,(6)$.

$-\frac{1}{4} = -1 \div 4 = -0,25$.

$5\frac{4}{5} = 5 + \frac{4}{5} = 5 + 0,8 = 5,8$.

$0$ — остается нулем.

Получили следующий набор чисел для сравнения: $5,6$; $-0,(6)$; $-0,25$; $5,8$; $0$.

Теперь расположим их в порядке возрастания (от меньшего к большему).

1. Сначала идут отрицательные числа. Сравним $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{1}{4}$. Для этого сравним их десятичные представления: $-0,(6)$ и $-0,25$. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Сравним их модули: $|-0,(6)| = 0,(6)$ и $|-0,25| = 0,25$. Так как $0,(6) > 0,25$, то $-0,(6) < -0,25$. Следовательно, $-\frac{2}{3} < -\frac{1}{4}$.

2. Следующим по величине является $0$.

3. Затем идут положительные числа. Сравним $5,6$ и $5,8$ (которое равно $5\frac{4}{5}$). Так как $6 < 8$, то $5,6 < 5,8$. Значит, $5,6 < 5\frac{4}{5}$.

Собираем все числа в одну последовательность по возрастанию: $-\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{4}$; $0$; $5,6$; $5\frac{4}{5}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{4}$; $0$; $5,6$; $5\frac{4}{5}$.

2)

Рассмотрим числа: $-2,3$; $1\frac{2}{7}$; $-2\frac{1}{5}$; $-3$; $1\frac{4}{7}$. Для их сравнения также приведем их к общему виду. Преобразование в десятичные дроби поможет наглядно увидеть их порядок.

Выполним преобразование:

$-2,3$ — уже представлено в виде десятичной дроби.

$1\frac{2}{7} = 1 + 2 \div 7 \approx 1,286$.

$-2\frac{1}{5} = -(2 + \frac{1}{5}) = -(2 + 0,2) = -2,2$.

$-3$ — целое число.

$1\frac{4}{7} = 1 + 4 \div 7 \approx 1,571$.

Получили следующий набор чисел: $-2,3$; $\approx 1,286$; $-2,2$; $-3$; $\approx 1,571$.

Теперь расположим их в порядке возрастания.

1. Сначала отрицательные числа: $-3$; $-2,3$; $-2,2$. Из отрицательных чисел меньше то, у которого больше модуль. Сравним модули: $|-3| = 3$; $|-2,3| = 2,3$; $|-2,2| = 2,2$. Так как $3 > 2,3 > 2,2$, то $-3 < -2,3 < -2,2$. Таким образом, порядок отрицательных чисел: $-3$; $-2,3$; $-2\frac{1}{5}$.

2. Далее идут положительные числа: $1\frac{2}{7}$ и $1\frac{4}{7}$. У этих смешанных чисел одинаковая целая часть (1). Поэтому для сравнения достаточно сравнить их дробные части: $\frac{2}{7}$ и $\frac{4}{7}$. Так как у дробей одинаковые знаменатели, сравниваем числители: $2 < 4$. Следовательно, $\frac{2}{7} < \frac{4}{7}$, а значит $1\frac{2}{7} < 1\frac{4}{7}$.

Собираем все числа в одну упорядоченную последовательность по возрастанию: $-3$; $-2,3$; $-2\frac{1}{5}$; $1\frac{2}{7}$; $1\frac{4}{7}$.

Ответ: $-3$; $-2,3$; $-2\frac{1}{5}$; $1\frac{2}{7}$; $1\frac{4}{7}$.