Страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

136. После повышения зарплаты на 17 % служащий стал получать 23 751 р. Какова была его зарплата до повышения?

Пусть $x$ — это первоначальная зарплата служащего в рублях. Эту величину мы принимаем за 100%.

После повышения на 17%, новая зарплата стала составлять $100\% + 17\% = 117\%$ от первоначальной.

Чтобы найти новую зарплату в рублях, нужно первоначальную зарплату $x$ умножить на коэффициент, соответствующий 117%. Для этого переведем проценты в десятичную дробь: $117\% = \frac{117}{100} = 1,17$.

По условию задачи, новая зарплата составляет 23 751 рубль. Мы можем составить уравнение, связав первоначальную зарплату с новой: $x \cdot 1,17 = 23751$

Чтобы найти первоначальную зарплату $x$, необходимо решить это уравнение, разделив новую зарплату на коэффициент 1,17: $x = \frac{23751}{1,17}$

Выполним вычисление: $x = 20300$

Таким образом, зарплата служащего до повышения составляла 20 300 рублей.

Проверим решение. Найдем 17% от 20 300: $20300 \cdot 0,17 = 3451$ рубля. Новая зарплата: $20300 + 3451 = 23751$ рубль, что соответствует условию задачи.

Ответ: 20 300 рублей.

137. Груши при сушке теряют 85 % своей массы. Сколько нужно взять свежих груш, чтобы получить 30 кг сушёных?

Для решения этой задачи необходимо определить, какая часть массы свежих груш остается после сушки.

1. Примем массу свежих груш за 100%. По условию, при сушке груши теряют 85% своей массы. Следовательно, оставшаяся масса (масса сушёных груш) составляет:
$100\% - 85\% = 15\%$

Это означает, что масса сушёных груш составляет 15% от массы свежих.

2. Нам известно, что 30 кг сушёных груш — это 15% от первоначальной массы. Обозначим искомую массу свежих груш как $x$ (кг). Мы можем составить пропорцию:
$30 \text{ кг} \rightarrow 15\%$
$x \text{ кг} \rightarrow 100\%$

3. Из пропорции выразим $x$:
$x = \frac{30 \times 100}{15}$

Выполним вычисления:
$x = \frac{3000}{15} = 200$ кг.

Таким образом, чтобы получить 30 кг сушёных груш, нужно взять 200 кг свежих.

Ответ: 200 кг.

138. Свежие грибы содержат 90 % воды, а сушёные — 12 %.

Сколько получится сушёных грибов из 22 кг свежих?

Для решения этой задачи необходимо исходить из того, что при сушке грибов испаряется только вода, а масса сухого вещества остается неизменной.

1. Найдем массу сухого вещества в свежих грибах.
Свежие грибы содержат 90% воды. Это означает, что доля сухого вещества в них составляет:
$100\% - 90\% = 10\%$
Теперь вычислим массу этого сухого вещества в 22 кг свежих грибов:
$22 \text{ кг} \times 0.10 = 2.2 \text{ кг}$
Таким образом, в 22 кг свежих грибов содержится 2,2 кг сухого вещества.

2. Найдем общую массу сушёных грибов.
Масса сухого вещества в 2,2 кг остается той же и в сушёных грибах. В сушёных грибах вода составляет 12%, следовательно, доля сухого вещества в них равна:
$100\% - 12\% = 88\%$
Эти 88% от общей массы сушёных грибов и составляют наши 2,2 кг сухого вещества. Обозначим искомую массу сушёных грибов за $x$. Тогда можно составить уравнение:
$x \times 0.88 = 2.2$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{2.2}{0.88} = \frac{220}{88} = 2.5 \text{ кг}$

Следовательно, из 22 кг свежих грибов получится 2,5 кг сушёных.

Ответ: 2,5 кг.

139. Который сейчас час, если прошедшая часть суток составляет 60 % оставшейся части?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество часов, которое прошло с начала суток, а $y$ — количество часов, которое осталось до конца суток.

В сутках 24 часа. Это значит, что сумма прошедшего и оставшегося времени всегда составляет 24 часа. Мы можем записать это в виде первого уравнения:
$x + y = 24$

Согласно условию, прошедшая часть суток ($x$) составляет 60% от оставшейся части ($y$). Чтобы использовать это соотношение в расчетах, переведем проценты в десятичную дробь: $60\% = 0.6$. Таким образом, мы получаем второе уравнение:
$x = 0.6y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$x + y = 24$
$x = 0.6y$

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$0.6y + y = 24$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $y$:
$1.6y = 24$
$y = \frac{24}{1.6}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$y = \frac{240}{16}$
Сократим дробь (например, разделив числитель и знаменатель на 8):
$y = \frac{30}{2} = 15$
Итак, до конца суток осталось 15 часов.

Чтобы определить, который сейчас час, нам нужно найти $x$ — количество часов, прошедших с начала суток. Подставим найденное значение $y = 15$ во второе уравнение:
$x = 0.6 \cdot 15$
$x = 9$
Следовательно, с начала суток прошло 9 часов.

Если с начала суток (с 00:00) прошло 9 часов, то текущее время — 9 часов 00 минут утра.
Ответ: 9:00.

140. Сколько процентов от 20 ц составляют 160 кг; 50 кг?

Для решения задачи необходимо сначала привести все величины к единой единице измерения. Переведем центнеры в килограммы, зная, что в одном центнере 100 килограммов.

Величина, от которой мы ищем процент (целое), равна 20 ц:

$20 \text{ ц} = 20 \times 100 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100. Формула выглядит так:

$ \text{Процент} = \frac{\text{Часть}}{\text{Целое}} \times 100\% $

160 кг

Найдем, сколько процентов составляет 160 кг от 2000 кг. Подставим значения в формулу:

$ \frac{160 \text{ кг}}{2000 \text{ кг}} \times 100\% = \frac{160}{2000} \times 100\% = 0.08 \times 100\% = 8\% $

Ответ: 8%.

50 кг

Теперь найдем, сколько процентов составляет 50 кг от 2000 кг. Подставим значения в формулу:

$ \frac{50 \text{ кг}}{2000 \text{ кг}} \times 100\% = \frac{50}{2000} \times 100\% = \frac{5}{200} \times 100\% = 0.025 \times 100\% = 2.5\% $

Ответ: 2.5%.

141. Сколько процентов от 71,5 $м^3$ составляют 14,3 $м^3$; 101,1 $дм^3$?

Чтобы найти, сколько процентов одно число (часть) составляет от другого (целого), нужно часть разделить на целое и результат умножить на 100%.

14,3 м³

В этом случае нам нужно найти, какой процент составляет $14,3 \text{ м}^3$ от $71,5 \text{ м}^3$.
Целое: $71,5 \text{ м}^3$.
Часть: $14,3 \text{ м}^3$.
Единицы измерения совпадают, поэтому можно сразу переходить к вычислениям по формуле:
$P = \frac{\text{часть}}{\text{целое}} \times 100\%$
Подставим наши значения:
$P = \frac{14,3}{71,5} \times 100\%$
Сначала вычислим частное:
$\frac{14,3}{71,5} = \frac{143}{715}$
Заметим, что $715 = 5 \times 143$. Сократим дробь:
$\frac{143}{715} = \frac{143}{5 \times 143} = \frac{1}{5} = 0,2$
Теперь умножим на 100, чтобы получить проценты:
$P = 0,2 \times 100\% = 20\%$
Ответ: $20\%$.

101,1 дм³

Здесь нам нужно найти, какой процент составляет $101,1 \text{ дм}^3$ от $71,5 \text{ м}^3$.
Целое: $71,5 \text{ м}^3$.
Часть: $101,1 \text{ дм}^3$.
Единицы измерения разные, поэтому сначала необходимо привести их к одной. Переведем кубические дециметры в кубические метры.
Мы знаем, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, следовательно, $1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
Отсюда $1 \text{ дм}^3 = 0,001 \text{ м}^3$.
Теперь переведем объем части в кубические метры:
$101,1 \text{ дм}^3 = 101,1 \times 0,001 \text{ м}^3 = 0,1011 \text{ м}^3$.
Теперь, когда оба значения выражены в м³, мы можем вычислить процент:
$P = \frac{0,1011}{71,5} \times 100\%$
Вычислим частное:
$\frac{0,1011}{71,5} = \frac{1011}{71500} \approx 0,001414$
Умножим на 100, чтобы получить проценты:
$P \approx 0,001414 \times 100\% = 0,1414\%$
Округлим результат до двух знаков после запятой.
$P \approx 0,14\%$
Ответ: примерно $0,14\%$.

142. Из 170 уроков математики ученик 6 класса пропустил 14. Найти процент пропущенных уроков.

Чтобы найти процент пропущенных уроков от общего числа уроков, нужно составить пропорцию, где общее количество уроков (170) составляет 100%, а количество пропущенных уроков (14) — искомый процент ($x$).

Либо можно воспользоваться формулой для нахождения процента от числа:

$\text{Процент} = \frac{\text{часть}}{\text{целое}} \times 100\%$

В данной задаче:

• Часть — это количество пропущенных уроков, то есть 14.
• Целое — это общее количество уроков, то есть 170.

Подставим эти значения в формулу:

$\text{Процент пропущенных уроков} = \frac{14}{170} \times 100\%$

Выполним вычисления. Сначала умножим 14 на 100:

$\frac{1400}{170}\%$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{140}{17}\%$

Данная дробь является неправильной. Чтобы представить ответ в более удобном виде, преобразуем ее в смешанное число. Для этого разделим 140 на 17 с остатком:

$140 \div 17 = 8$ (целая часть)

Найдем остаток: $17 \times 8 = 136$.

$140 - 136 = 4$ (остаток).

Таким образом, мы получаем смешанное число $8\frac{4}{17}$.

Ответ: $8\frac{4}{17}\%$.

143. Для приготовления бетона взяли 1 ц цемента, 2 ц песка и 6 ц щебня. Каково процентное содержание составных частей этого бетона?

Чтобы найти процентное содержание каждого компонента в бетоне, сначала определим общую массу смеси. Она складывается из масс всех ее составных частей.

Общая масса бетона = масса цемента + масса песка + масса щебня.

$1 \text{ ц} + 2 \text{ ц} + 6 \text{ ц} = 9 \text{ ц}$

Общая масса бетонной смеси составляет 9 центнеров. Эту величину мы примем за 100%.

Теперь рассчитаем, какую долю от общей массы составляет каждый компонент, и выразим эту долю в процентах. Формула для расчета процентного содержания:

$(\frac{\text{масса части}}{\text{общая масса}}) \times 100\%$

Процентное содержание цемента

Масса цемента — 1 ц. Рассчитаем его процентное содержание в смеси:

$\frac{1}{9} \times 100\% = \frac{100}{9}\% = 11 \frac{1}{9}\%$

Ответ: процентное содержание цемента в бетоне составляет $11 \frac{1}{9}\%$.

Процентное содержание песка

Масса песка — 2 ц. Рассчитаем его процентное содержание в смеси:

$\frac{2}{9} \times 100\% = \frac{200}{9}\% = 22 \frac{2}{9}\%$

Ответ: процентное содержание песка в бетоне составляет $22 \frac{2}{9}\%$.

Процентное содержание щебня

Масса щебня — 6 ц. Рассчитаем его процентное содержание в смеси:

$\frac{6}{9} \times 100\% = \frac{2}{3} \times 100\% = \frac{200}{3}\% = 66 \frac{2}{3}\%$

Ответ: процентное содержание щебня в бетоне составляет $66 \frac{2}{3}\%$.

144. Девушка купила куртку за 902,5 р. Сколько процентов скидки сделал магазин, если реальная цена куртки была 950 р.?

Чтобы найти процент скидки, необходимо выполнить два шага: сначала найти абсолютную величину скидки (в рублях), а затем вычислить, какой процент эта величина составляет от первоначальной цены.

1. Вычисление абсолютной величины скидки:
Абсолютная скидка — это разница между реальной (первоначальной) ценой и ценой, по которой товар был куплен.
Реальная цена: $950$ р.
Цена покупки: $902,5$ р.
Скидка в рублях = $950 \text{ р.} - 902,5 \text{ р.} = 47,5 \text{ р.}$

2. Вычисление процента скидки:
Процент скидки показывает, какую часть скидка в рублях составляет от реальной цены. Он рассчитывается по формуле:
$\text{Процент скидки} = \frac{\text{Скидка в рублях}}{\text{Реальная цена}} \times 100\%$
Подставляем наши значения в формулу:
$\text{Процент скидки} = \frac{47,5}{950} \times 100\% = 0,05 \times 100\% = 5\%$

Ответ: 5%.

145. (Из задачника Е. С. Березанской, 1935 г.) Расходы на народное образование по некоторым союзным республикам и всему СССР в тысячах рублей:

Найти недостающие в таблице данные. (Можно использовать калькулятор.)

Для нахождения недостающих данных в таблице необходимо использовать формулу расчета процента роста или обратные ей формулы.

Процент роста вычисляется по формуле:

$ \text{Процент роста} = \frac{\text{Значение в 1932 г.}}{\text{Значение в 1927–1928 гг.}} \times 100 $

Исходя из этой формулы, можно найти недостающие значения расходов:

$ \text{Значение в 1932 г.} = \text{Значение в 1927–1928 гг.} \times \frac{\text{Процент роста}}{100} $

$ \text{Значение в 1927–1928 гг.} = \frac{\text{Значение в 1932 г.} \times 100}{\text{Процент роста}} $

Ниже представлены расчеты для каждой строки с пропущенными данными.

РСФСР

Чтобы найти процент роста расходов для РСФСР, необходимо разделить расходы за 1932 г. (1 755 943 тыс. руб.) на расходы за 1927–1928 гг. (517 201 тыс. руб.) и умножить результат на 100.

Расчет: $ \frac{1 755 943}{517 201} \times 100 \approx 339,516 $

Округляя результат до одного знака после запятой, получаем 339,5%.

Ответ: Процент роста для РСФСР составляет 339,5%.

УССР

Чтобы найти расходы для УССР в 1932 г., нужно умножить расходы за 1927–1928 гг. (137 739 тыс. руб.) на процент роста (283,7), разделенный на 100.

Расчет: $ 137 739 \times \frac{283,7}{100} = 390 655,543 $ тыс. руб.

Округляя результат до целого числа, получаем 390 656 тыс. руб.

Ответ: Расходы в 1932 г. для УССР составили 390 656 тыс. руб.

БССР

Чтобы найти расходы для БССР в 1927–1928 гг., необходимо разделить расходы за 1932 г. (128 600 тыс. руб.) на процент роста (399,5) и умножить результат на 100.

Расчет: $ \frac{128 600}{399,5} \times 100 \approx 32 190,237 $ тыс. руб.

Округляя результат до целого числа, получаем 32 190 тыс. руб.

Ответ: Расходы в 1927–1928 гг. для БССР составили 32 190 тыс. руб.

ЗСФСР

Чтобы найти процент роста расходов для ЗСФСР, разделим расходы за 1932 г. (189 300 тыс. руб.) на расходы за 1927–1928 гг. (38 193 тыс. руб.) и умножим на 100.

Расчет: $ \frac{189 300}{38 193} \times 100 \approx 495,639 $

Округляя результат до одного знака после запятой, получаем 495,6%.

Ответ: Процент роста для ЗСФСР составляет 495,6%.

ТуркССР

Чтобы найти расходы для Туркменской ССР в 1927–1928 гг., разделим расходы за 1932 г. (56 600 тыс. руб.) на процент роста (851,4) и умножим на 100.

Расчет: $ \frac{56 600}{851,4} \times 100 \approx 6 648,931 $ тыс. руб.

Округляя результат до целого числа, получаем 6 649 тыс. руб.

Ответ: Расходы в 1927–1928 гг. для ТуркССР составили 6 649 тыс. руб.

УзбССР

Чтобы найти процент роста расходов для Узбекской ССР, разделим расходы за 1932 г. (146 800 тыс. руб.) на расходы за 1927–1928 гг. (17 537 тыс. руб.) и умножим на 100.

Расчет: $ \frac{146 800}{17 537} \times 100 \approx 837,098 $

Округляя результат до одного знака после запятой, получаем 837,1%.

Ответ: Процент роста для УзбССР составляет 837,1%.

По всему Союзу ССР

Чтобы найти общий процент роста расходов по всему СССР, разделим общие расходы за 1932 г. (2 920 143 тыс. руб.) на общие расходы за 1927–1928 гг. (741 135 тыс. руб.) и умножим на 100.

Расчет: $ \frac{2 920 143}{741 135} \times 100 \approx 394,004 $

Округляя результат до одного знака после запятой, получаем 394,0%.

Ответ: Процент роста по всему Союзу ССР составляет 394,0%.