Страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

164. С помощью контрпримера опровергнуть высказывание:

1) модуль любого целого числа — число натуральное;

2) если $a < 0$, то $|a| = a$;

3) для любого $x$ имеем $|-x| = x$;

4) для любых $a$ и $b$ имеем $|a + b| = |a| + |b|$;

5) для любого $x$ число $-x$ — отрицательное;

6) если $a < 0$, то $|a| < 1$.

1) модуль любого целого числа — число натуральное;
Данное высказывание является неверным. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти одно целое число (контрпример), модуль которого не является натуральным числом. Множество натуральных чисел — это $\{1, 2, 3, ...\}$. Число 0 является целым, но не натуральным. Рассмотрим целое число 0. Его модуль, по определению, равен $|0| = 0$. Поскольку 0 не входит в множество натуральных чисел, высказывание опровергнуто.
Ответ: контрпримером является число 0, так как $0$ — целое число, а его модуль $|0| = 0$ не является натуральным числом.

2) если $a < 0$, то $|a| = a$;
Данное высказывание неверно. По определению, модуль отрицательного числа ($a < 0$) равен противоположному ему положительному числу, то есть $|a| = -a$. Для опровержения выберем любое отрицательное число в качестве контрпримера, например, $a = -5$. Условие $a < 0$ выполнено. Согласно ложному высказыванию, должно выполняться равенство $|-5| = -5$. Однако, по определению модуля, $|-5| = 5$. Так как $5 \neq -5$, высказывание неверно.
Ответ: контрпримером является любое отрицательное число, например $a = -5$.

3) для любого $x$ имеем $|-x| = x$;
Данное высказывание неверно. Оно справедливо только для неотрицательных чисел ($x \ge 0$), так как $|-x| = |x|$. А $|x| = x$ только при $x \ge 0$. Для опровержения выберем в качестве контрпримера любое отрицательное число, например, $x = -4$. Подставим это значение в левую часть равенства: $|-x| = |-(-4)| = |4| = 4$. Правая часть равенства при $x = -4$ равна $-4$. Мы получили $4 = -4$, что является ложным утверждением. Следовательно, высказывание опровергнуто.
Ответ: контрпримером является любое отрицательное число, например $x = -4$.

4) для любых $a$ и $b$ имеем $|a + b| = |a| + |b|$;
Данное высказывание неверно. Это равенство выполняется только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю. В общем случае верно неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$ (неравенство треугольника). Чтобы найти контрпример, нужно выбрать числа $a$ и $b$ с разными знаками. Пусть $a = 5$ и $b = -2$. Вычислим значение левой части: $|a + b| = |5 + (-2)| = |3| = 3$. Вычислим значение правой части: $|a| + |b| = |5| + |-2| = 5 + 2 = 7$. Поскольку $3 \neq 7$, высказывание неверно.
Ответ: контрпримером является любая пара чисел с разными знаками, например $a = 5$ и $b = -2$.

5) для любого $x$ число $-x$ — отрицательное;
Данное высказывание неверно. Оно было бы верным, если бы $x$ было только положительным числом. Для опровержения можно взять $x=0$ или любое отрицательное число. Контрпример 1: пусть $x=0$. Тогда $-x = -0 = 0$. Число 0 не является отрицательным. Контрпример 2: пусть $x = -10$ (отрицательное число). Тогда $-x = -(-10) = 10$. Число 10 является положительным, а не отрицательным.
Ответ: контрпримером является любое неположительное число ($x \le 0$), например $x = -10$.

6) если $a < 0$, то $|a| < 1$.
Данное высказывание неверно. Оно утверждает, что модуль любого отрицательного числа всегда меньше единицы. Для опровержения достаточно взять любое отрицательное число, модуль которого больше или равен 1. Возьмем в качестве контрпримера $a = -10$. Условие $a < 0$ выполнено. Найдем модуль этого числа: $|a| = |-10| = 10$. Теперь проверим утверждение: $10 < 1$. Это неравенство ложно. Следовательно, высказывание опровергнуто.
Ответ: контрпримером является любое число $a \le -1$, например $a = -10$.

165. Расстояние между пристанями на реке 80 км. Катер проходит это расстояние по течению за $6\frac{2}{3}$ ч, а против течения за 10 ч. Найти скорость катера в стоячей воде.

Для решения задачи обозначим искомую скорость катера в стоячей воде как $v_{к}$ (км/ч), а скорость течения реки как $v_{р}$ (км/ч). Расстояние между пристанями составляет $S = 80$ км.

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения и равна $v_{к} + v_{р}$. Время в пути по течению составляет $t_{по} = 6\frac{2}{3}$ часа. Сначала переведем это время в неправильную дробь для удобства расчетов:

$t_{по} = 6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$ часа.

Используя основную формулу скорости $v = S / t$, найдем скорость катера по течению:

$v_{к} + v_{р} = \frac{S}{t_{по}} = \frac{80}{\frac{20}{3}} = 80 \cdot \frac{3}{20} = 12$ км/ч.

Когда катер движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения и равна $v_{к} - v_{р}$. Время в пути против течения составляет $t_{пр} = 10$ часов. Найдем скорость катера против течения:

$v_{к} - v_{р} = \frac{S}{t_{пр}} = \frac{80}{10} = 8$ км/ч.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_{к} + v_{р} = 12 \\ v_{к} - v_{р} = 8 \end{cases}$

Чтобы найти скорость катера в стоячей воде ($v_{к}$), мы можем сложить первое и второе уравнения системы. Это позволит исключить переменную $v_{р}$:

$(v_{к} + v_{р}) + (v_{к} - v_{р}) = 12 + 8$

$2v_{к} = 20$

$v_{к} = \frac{20}{2}$

$v_{к} = 10$ км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

166. Собранные 3,2 ц яблок решили посушить. Оказалось, что половина потерянной массы в $1\frac{1}{2}$ раза больше оставшейся. Какой стала масса яблок после сушки?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ ц — это масса яблок после сушки (оставшаяся масса).

Изначальная масса яблок составляла 3,2 ц. Следовательно, масса, потерянная при сушке (масса испарившейся воды), равна $(3,2 - x)$ ц.

Согласно условию задачи, "половина потерянной массы в $1\frac{1}{2}$ раза больше оставшейся". Запишем это соотношение в виде математического уравнения. Для удобства вычислений представим смешанную дробь в виде десятичной: $1\frac{1}{2} = 1,5$.

Уравнение будет выглядеть так:

$\frac{1}{2} \cdot (3,2 - x) = 1,5 \cdot x$

Теперь решим это уравнение поэтапно:

1. Чтобы избавиться от дроби в левой части, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (3,2 - x) = 2 \cdot 1,5x$

$3,2 - x = 3x$

2. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения. Для этого прибавим $x$ к обеим частям:

$3,2 = 3x + x$

$3,2 = 4x$

3. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{3,2}{4}$

$x = 0,8$

Таким образом, масса яблок после сушки составила 0,8 ц.

Проверка

Оставшаяся масса: 0,8 ц.

Потерянная масса: $3,2 - 0,8 = 2,4$ ц.

Половина потерянной массы: $2,4 \div 2 = 1,2$ ц.

Теперь проверим, во сколько раз половина потерянной массы (1,2 ц) больше оставшейся (0,8 ц):

$1,2 \div 0,8 = 1,5$.

Это соответствует условию задачи ($1\frac{1}{2}$ раза), значит, решение найдено верно.

Ответ: 0,8 ц.

167. В бассейн подведены три трубы. Первая может заполнить бассейн за 6 ч, вторая — за 4 ч, а через третью вода из полного бассейна может вытечь за 12 ч. За какое время заполнится треть бассейна, если включить все три трубы одновременно?

Для решения этой задачи необходимо определить, какая часть бассейна будет заполняться за один час при одновременной работе всех трех труб. Примем весь объем бассейна за 1.

1. Найдем производительность каждой трубы.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

• Первая труба заполняет бассейн за 6 часов, значит, ее производительность составляет $v_1 = \frac{1}{6}$ бассейна в час.
• Вторая труба заполняет бассейн за 4 часа, ее производительность составляет $v_2 = \frac{1}{4}$ бассейна в час.
• Третья труба опустошает бассейн за 12 часов, ее производительность на слив составляет $v_3 = \frac{1}{12}$ бассейна в час.

2. Найдем общую производительность.

Когда все три трубы включены, первые две наполняют бассейн, а третья его опустошает. Поэтому, чтобы найти общую скорость заполнения, нужно сложить производительности первых двух труб и вычесть производительность третьей:

$v_{общая} = v_1 + v_2 - v_3 = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6, 4 и 12 равен 12.

$\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

Теперь подставим значения в формулу:

$v_{общая} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2 + 3 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Таким образом, при одновременной работе трех труб за 1 час заполняется $\frac{1}{3}$ часть бассейна.

3. Найдем время заполнения трети бассейна.

В задаче требуется узнать, за какое время заполнится $\frac{1}{3}$ бассейна. Поскольку общая производительность составляет $\frac{1}{3}$ бассейна в час, то именно этот объем и будет заполнен за 1 час.

Можно также воспользоваться формулой времени $t = \frac{A}{v}$, где $A$ — объем работы (в нашем случае $A=\frac{1}{3}$), а $v$ — производительность ($v=\frac{1}{3}$).

$t = \frac{1/3}{1/3} = 1$ час.

Ответ: 1 час.

1. Вычислить:

1) $13,26 - 2,437$;

2) $6,3 \cdot 0,408$;

3) $60,48 : 1,2$;

4) $\frac{1}{3} + \left(-\frac{1}{2}\right)$;

5) $-\frac{7}{9} - \frac{5}{18}$;

6) $0,4 \cdot \left(-3\frac{1}{8}\right)$;

7) $\left(-1\frac{1}{4}\right)^3$.

1) Чтобы вычесть десятичные дроби $13,26$ и $2,437$, запишем их в столбик, выравнивая по запятой. Добавим ноль к уменьшаемому, чтобы уравнять количество знаков после запятой.

 13,260- 2,437---------- 10,823 

$13,26 - 2,437 = 10,823$.

Ответ: $10,823$.

2) Чтобы перемножить десятичные дроби $6,3$ и $0,408$, сначала перемножим их как целые числа, не обращая внимания на запятые: $63 \cdot 408$.

 408 × 63 ----- 1224 (408 × 3)+ 2448 (408 × 6) ----- 25704 

Теперь посчитаем общее количество знаков после запятой в исходных числах. В числе $6,3$ один знак, в числе $0,408$ три знака. Всего $1 + 3 = 4$ знака. Отделим в произведении $25704$ четыре знака справа запятой.

$6,3 \cdot 0,408 = 2,5704$.

Ответ: $2,5704$.

3) Для деления десятичной дроби $60,48$ на $1,2$, перенесем запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, чтобы делитель стал целым числом. В данном случае на один знак.

$60,48 : 1,2 = 604,8 : 12$.

Выполним деление столбиком:

 604,8 | 12- 60 |---- --- | 50,4 04 - 0 ---- 48 - 48 ---- 0 

$604,8 : 12 = 50,4$.

Ответ: $50,4$.

4) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $3$ и $2$ равен $6$.

$\frac{1}{3} + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

5) Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $9$ и $18$ равен $18$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $2$.

$-\frac{7}{9} - \frac{5}{18} = -\frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{5}{18} = -\frac{14}{18} - \frac{5}{18} = \frac{-14-5}{18} = \frac{-19}{18}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{19}{18} = -1\frac{1}{18}$.

Ответ: $-1\frac{1}{18}$.

6) Для умножения десятичной дроби на смешанное число, представим оба числа в виде обыкновенных дробей.

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

$-3\frac{1}{8} = -(\frac{3 \cdot 8 + 1}{8}) = -\frac{25}{8}$.

Теперь перемножим полученные дроби, предварительно сократив их:

$0,4 \cdot (-3\frac{1}{8}) = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{25}{8}) = -\frac{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{25}^5}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{8}_4} = -\frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 4} = -\frac{5}{4}$.

Преобразуем результат в смешанное число: $-\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4}$.

Ответ: $-1\frac{1}{4}$.

7) Чтобы возвести смешанное число в степень, сначала преобразуем его в неправильную дробь.

$-1\frac{1}{4} = -(\frac{1 \cdot 4 + 1}{4}) = -\frac{5}{4}$.

Теперь возведем дробь в третью степень. Так как степень нечетная (3), результат будет отрицательным.

$(-\frac{5}{4})^3 = -(\frac{5^3}{4^3}) = -(\frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{4 \cdot 4 \cdot 4}) = -(\frac{125}{64})$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $125$ разделить на $64$ равно $1$ с остатком $61$ ($125 = 1 \cdot 64 + 61$).

$-\frac{125}{64} = -1\frac{61}{64}$.

Ответ: $-1\frac{61}{64}$.

2. Найти неизвестный член пропорции:

$0,8 : x = 48 : 15.$

Для того чтобы найти неизвестный член пропорции $0.8 : x = 48 : 15$, используется основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
В данной пропорции крайними членами являются $0.8$ и $15$, а средними членами — $x$ и $48$.
Составим уравнение, приравнивая произведения крайних и средних членов:
$0.8 \cdot 15 = x \cdot 48$
Сначала вычислим произведение в левой части уравнения:
$0.8 \cdot 15 = 12$
Теперь уравнение принимает вид:
$12 = 48x$
Чтобы найти $x$, нужно разделить произведение ($12$) на известный множитель ($48$):
$x = \frac{12}{48}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для $12$ и $48$ — это $12$. Разделим числитель и знаменатель на $12$:
$x = \frac{12 \div 12}{48 \div 12} = \frac{1}{4}$
Для получения окончательного ответа представим обыкновенную дробь в виде десятичной:
$x = 0.25$
Ответ: $0.25$

3. Масштаб карты $1 : 1\,000\,000$. Найти расстояние на карте между пунктами А и В, если на местности ему соответствует расстояние 56 км.

Масштаб карты 1:1 000 000 означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 1 000 000 сантиметров на местности. Чтобы найти расстояние на карте, зная расстояние на местности, необходимо выполнить следующие действия.

1. Перевести расстояние на местности в те же единицы, в которых выражен масштаб (в сантиметры).
Мы знаем, что в 1 километре содержится 1000 метров, а в 1 метре — 100 сантиметров.
Следовательно, в 1 километре:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 100 \text{ см/м} = 100\,000 \text{ см}$

Теперь переведем расстояние 56 км в сантиметры:
$56 \text{ км} = 56 \times 100\,000 \text{ см} = 5\,600\,000 \text{ см}$

2. Разделить полученное расстояние на местности в сантиметрах на знаменатель масштаба (число 1 000 000), чтобы найти соответствующее расстояние на карте.
Расстояние на карте = $\frac{5\,600\,000 \text{ см}}{1\,000\,000} = 5,6 \text{ см}$

Таким образом, расстояние между пунктами А и В на карте составляет 5,6 см.

Ответ: 5,6 см.

4. Найти:

1) $17\%$ от числа 34;

2) число, $26\%$ которого равны $7.8$.

1) 17 % от числа 34;

Чтобы найти процент от числа, необходимо представить проценты в виде десятичной дроби, а затем умножить число на эту дробь.

Сначала переведем 17% в десятичную дробь, разделив на 100: $17\% = \frac{17}{100} = 0,17$.

Теперь умножим число 34 на полученное значение:

$34 \times 0,17 = 5,78$.

Таким образом, 17% от числа 34 равны 5,78.

Ответ: 5,78.

2) число, 26 % которого равны 7,8.

В этой задаче нам дана часть числа (7,8) и указано, какой процент от целого числа она составляет (26%). Чтобы найти исходное число, нужно эту часть разделить на долю, которую она представляет.

Пусть искомое число — это $x$.

Сначала переведем 26% в десятичную дробь: $26\% = \frac{26}{100} = 0,26$.

Мы знаем, что 26% от числа $x$ равны 7,8. Это можно записать в виде уравнения: $x \times 0,26 = 7,8$.

Чтобы найти $x$, разделим 7,8 на 0,26. Для удобства вычислений избавимся от десятичных знаков в делителе, умножив и делимое, и делитель на 100:

$x = \frac{7,8}{0,26} = \frac{7,8 \times 100}{0,26 \times 100} = \frac{780}{26}$.

Выполним деление:

$x = 30$.

Значит, искомое число равно 30.

Ответ: 30.