Номер 167, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

167. В бассейн подведены три трубы. Первая может заполнить бассейн за 6 ч, вторая — за 4 ч, а через третью вода из полного бассейна может вытечь за 12 ч. За какое время заполнится треть бассейна, если включить все три трубы одновременно?

Для решения этой задачи необходимо определить, какая часть бассейна будет заполняться за один час при одновременной работе всех трех труб. Примем весь объем бассейна за 1.

1. Найдем производительность каждой трубы.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

• Первая труба заполняет бассейн за 6 часов, значит, ее производительность составляет $v_1 = \frac{1}{6}$ бассейна в час.
• Вторая труба заполняет бассейн за 4 часа, ее производительность составляет $v_2 = \frac{1}{4}$ бассейна в час.
• Третья труба опустошает бассейн за 12 часов, ее производительность на слив составляет $v_3 = \frac{1}{12}$ бассейна в час.

2. Найдем общую производительность.

Когда все три трубы включены, первые две наполняют бассейн, а третья его опустошает. Поэтому, чтобы найти общую скорость заполнения, нужно сложить производительности первых двух труб и вычесть производительность третьей:

$v_{общая} = v_1 + v_2 - v_3 = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6, 4 и 12 равен 12.

$\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

Теперь подставим значения в формулу:

$v_{общая} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2 + 3 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Таким образом, при одновременной работе трех труб за 1 час заполняется $\frac{1}{3}$ часть бассейна.

3. Найдем время заполнения трети бассейна.

В задаче требуется узнать, за какое время заполнится $\frac{1}{3}$ бассейна. Поскольку общая производительность составляет $\frac{1}{3}$ бассейна в час, то именно этот объем и будет заполнен за 1 час.

Можно также воспользоваться формулой времени $t = \frac{A}{v}$, где $A$ — объем работы (в нашем случае $A=\frac{1}{3}$), а $v$ — производительность ($v=\frac{1}{3}$).

$t = \frac{1/3}{1/3} = 1$ час.

Ответ: 1 час.