Номер 164, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

164. С помощью контрпримера опровергнуть высказывание:

1) модуль любого целого числа — число натуральное;

2) если $a < 0$, то $|a| = a$;

3) для любого $x$ имеем $|-x| = x$;

4) для любых $a$ и $b$ имеем $|a + b| = |a| + |b|$;

5) для любого $x$ число $-x$ — отрицательное;

6) если $a < 0$, то $|a| < 1$.

1) модуль любого целого числа — число натуральное;
Данное высказывание является неверным. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти одно целое число (контрпример), модуль которого не является натуральным числом. Множество натуральных чисел — это $\{1, 2, 3, ...\}$. Число 0 является целым, но не натуральным. Рассмотрим целое число 0. Его модуль, по определению, равен $|0| = 0$. Поскольку 0 не входит в множество натуральных чисел, высказывание опровергнуто.
Ответ: контрпримером является число 0, так как $0$ — целое число, а его модуль $|0| = 0$ не является натуральным числом.

2) если $a < 0$, то $|a| = a$;
Данное высказывание неверно. По определению, модуль отрицательного числа ($a < 0$) равен противоположному ему положительному числу, то есть $|a| = -a$. Для опровержения выберем любое отрицательное число в качестве контрпримера, например, $a = -5$. Условие $a < 0$ выполнено. Согласно ложному высказыванию, должно выполняться равенство $|-5| = -5$. Однако, по определению модуля, $|-5| = 5$. Так как $5 \neq -5$, высказывание неверно.
Ответ: контрпримером является любое отрицательное число, например $a = -5$.

3) для любого $x$ имеем $|-x| = x$;
Данное высказывание неверно. Оно справедливо только для неотрицательных чисел ($x \ge 0$), так как $|-x| = |x|$. А $|x| = x$ только при $x \ge 0$. Для опровержения выберем в качестве контрпримера любое отрицательное число, например, $x = -4$. Подставим это значение в левую часть равенства: $|-x| = |-(-4)| = |4| = 4$. Правая часть равенства при $x = -4$ равна $-4$. Мы получили $4 = -4$, что является ложным утверждением. Следовательно, высказывание опровергнуто.
Ответ: контрпримером является любое отрицательное число, например $x = -4$.

4) для любых $a$ и $b$ имеем $|a + b| = |a| + |b|$;
Данное высказывание неверно. Это равенство выполняется только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю. В общем случае верно неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$ (неравенство треугольника). Чтобы найти контрпример, нужно выбрать числа $a$ и $b$ с разными знаками. Пусть $a = 5$ и $b = -2$. Вычислим значение левой части: $|a + b| = |5 + (-2)| = |3| = 3$. Вычислим значение правой части: $|a| + |b| = |5| + |-2| = 5 + 2 = 7$. Поскольку $3 \neq 7$, высказывание неверно.
Ответ: контрпримером является любая пара чисел с разными знаками, например $a = 5$ и $b = -2$.

5) для любого $x$ число $-x$ — отрицательное;
Данное высказывание неверно. Оно было бы верным, если бы $x$ было только положительным числом. Для опровержения можно взять $x=0$ или любое отрицательное число. Контрпример 1: пусть $x=0$. Тогда $-x = -0 = 0$. Число 0 не является отрицательным. Контрпример 2: пусть $x = -10$ (отрицательное число). Тогда $-x = -(-10) = 10$. Число 10 является положительным, а не отрицательным.
Ответ: контрпримером является любое неположительное число ($x \le 0$), например $x = -10$.

6) если $a < 0$, то $|a| < 1$.
Данное высказывание неверно. Оно утверждает, что модуль любого отрицательного числа всегда меньше единицы. Для опровержения достаточно взять любое отрицательное число, модуль которого больше или равен 1. Возьмем в качестве контрпримера $a = -10$. Условие $a < 0$ выполнено. Найдем модуль этого числа: $|a| = |-10| = 10$. Теперь проверим утверждение: $10 < 1$. Это неравенство ложно. Следовательно, высказывание опровергнуто.
Ответ: контрпримером является любое число $a \le -1$, например $a = -10$.