Страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

151. Выполнить сложение:

1) $7,3 + 3\frac{4}{5}$;

2) $-\frac{3}{20} + (-0,15)$;

3) $-4,8 + \left(-1\frac{4}{5}\right)$;

4) $-6 + 2,7$;

5) $3,8 + (-5)$;

6) $2,6 + (-1,9)$;

7) $-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$;

8) $-0,35 + 0,001$.

1) Чтобы сложить десятичную дробь и смешанное число, приведем оба числа к одному виду, например, к десятичным дробям.
Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{4}{5}$ в десятичную дробь. Дробная часть $\frac{4}{5}$ равна $\frac{8}{10}$ или $0,8$.
Таким образом, $3\frac{4}{5} = 3 + 0,8 = 3,8$.
Теперь выполним сложение десятичных дробей: $7,3 + 3,8 = 11,1$.
Ответ: $11,1$

2) Для выполнения сложения приведем оба числа к виду десятичных дробей.
Переведем обыкновенную дробь $-\frac{3}{20}$ в десятичную. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5: $-\frac{3}{20} = -\frac{3 \times 5}{20 \times 5} = -\frac{15}{100} = -0,15$.
Теперь сложим два отрицательных числа: $-0,15 + (-0,15) = -0,15 - 0,15 = -0,3$.
Ответ: $-0,3$

3) Приведем смешанное число к виду десятичной дроби.
Дробная часть $\frac{4}{5}$ равна $0,8$. Следовательно, $-1\frac{4}{5} = -(1 + 0,8) = -1,8$.
Сложим два отрицательных числа. Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых: $-4,8 + (-1,8) = -(4,8 + 1,8) = -6,6$.
Ответ: $-6,6$

4) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем.
Модули чисел: $|-6| = 6$ и $|2,7| = 2,7$.
Так как $6 > 2,7$, результат будет отрицательным.
Вычисляем: $-6 + 2,7 = -(6 - 2,7) = -3,3$.
Ответ: $-3,3$

5) Складываем числа с разными знаками.
Модуль отрицательного числа $|-5|=5$ больше модуля положительного числа $|3,8|=3,8$, поэтому результат будет отрицательным.
Вычитаем из большего модуля меньший: $3,8 + (-5) = -(5 - 3,8) = -1,2$.
Ответ: $-1,2$

6) Складываем числа с разными знаками.
Модуль положительного числа $|2,6|=2,6$ больше модуля отрицательного числа $|-1,9|=1,9$, поэтому результат будет положительным.
Вычитаем из большего модуля меньший: $2,6 + (-1,9) = 2,6 - 1,9 = 0,7$.
Ответ: $0,7$

7) Для сложения дробей с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю.
Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 это 6.
Приводим дроби к знаменателю 6: $-\frac{1}{2} = -\frac{1 \times 3}{2 \times 3} = -\frac{3}{6}$; $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$.
Теперь выполним сложение: $-\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{-3+2}{6} = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$

8) Складываем числа с разными знаками.
Модуль отрицательного числа $|-0,35|=0,35$ больше модуля положительного числа $|0,001|=0,001$, поэтому результат будет отрицательным.
Вычитаем из большего модуля меньший: $-0,35 + 0,001 = -(0,35 - 0,001) = -(0,350 - 0,001) = -0,349$.
Ответ: $-0,349$

152. Найти разность:

1) $3 - 9;$

2) $3,8 - 10;$

3) $-15 - (-27);$

4) $-2\frac{3}{4} - (-1\frac{1}{4});$

5) $-18,3 - 5,9;$

6) $-1\frac{1}{2} - 3\frac{1}{4};$

7) $4,06 - 5,9;$

8) $-6 - (2\frac{5}{7}).$

1) Чтобы найти разность $3 - 9$, мы из меньшего числа вычитаем большее. Результат будет отрицательным. Его модуль равен разности $9 - 3$.

$3 - 9 = -(9 - 3) = -6$

Ответ: $-6$

2) Чтобы найти разность $3,8 - 10$, мы вычитаем из меньшего числа большее. Результат будет отрицательным. Модуль разности равен $10 - 3,8$.

$10 - 3,8 = 6,2$

Следовательно, $3,8 - 10 = -6,2$.

Ответ: $-6,2$

3) Выражение $-15 - (-27)$ означает вычитание отрицательного числа, что эквивалентно сложению соответствующего положительного числа.

$-15 - (-27) = -15 + 27$

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем. Это то же самое, что и $27 - 15$.

$27 - 15 = 12$

Ответ: $12$

4) Чтобы найти разность $-2\frac{3}{4} - (-1\frac{1}{4})$, мы сначала преобразуем вычитание отрицательного числа в сложение положительного.

$-2\frac{3}{4} - (-1\frac{1}{4}) = -2\frac{3}{4} + 1\frac{1}{4}$

Теперь нужно сложить два смешанных числа с разными знаками. Так как модуль отрицательного числа $|-2\frac{3}{4}|$ больше модуля положительного $|1\frac{1}{4}|$, результат будет отрицательным. Вычислим разность их модулей:

$2\frac{3}{4} - 1\frac{1}{4} = (2 - 1) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{4}) = 1 + \frac{2}{4} = 1\frac{1}{2}$

Так как результат отрицательный, получаем $-1\frac{1}{2}$.

Ответ: $-1\frac{1}{2}$

5) Выражение $-18,3 - 5,9$ представляет собой вычитание положительного числа из отрицательного. Это эквивалентно сложению двух отрицательных чисел: $-18,3 + (-5,9)$.

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.

$18,3 + 5,9 = 24,2$

Следовательно, $-18,3 - 5,9 = -24,2$.

Ответ: $-24,2$

6) Чтобы найти разность $-1\frac{1}{2} - 3\frac{1}{4}$, мы вычитаем положительное число из отрицательного, что равносильно сложению двух отрицательных чисел.

$-1\frac{1}{2} - 3\frac{1}{4} = -(1\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4})$

Для сложения смешанных дробей приведем их к общему знаменателю, который равен $4$.

$1\frac{1}{2} = 1\frac{1 \times 2}{2 \times 2} = 1\frac{2}{4}$

Теперь сложим дроби:

$1\frac{2}{4} + 3\frac{1}{4} = (1 + 3) + (\frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = 4 + \frac{3}{4} = 4\frac{3}{4}$

Учитывая знак минус, получаем итоговый результат.

Ответ: $-4\frac{3}{4}$

7) В выражении $4,06 - 5,9$ уменьшаемое ($4,06$) меньше вычитаемого ($5,9$). Поэтому результат будет отрицательным. Его значение равно $-(5,9 - 4,06)$.

Выполним вычитание, предварительно уравняв количество знаков после запятой:

$5,90 - 4,06 = 1,84$

Следовательно, $4,06 - 5,9 = -1,84$.

Ответ: $-1,84$

8) В выражении $-6 - (2\frac{5}{7})$ из отрицательного числа $-6$ вычитается положительное число $2\frac{5}{7}$. Это действие эквивалентно сложению двух отрицательных чисел.

$-6 - 2\frac{5}{7} = -(6 + 2\frac{5}{7})$

Сложим целое число и смешанную дробь:

$6 + 2\frac{5}{7} = 8\frac{5}{7}$

Так как итоговый результат отрицательный, получаем $-8\frac{5}{7}$.

Ответ: $-8\frac{5}{7}$

153. Найти длину отрезка MN, если:

1) $M(97)$, $N(59)$;

2) $M(-20)$, $N(40)$;

3) $M(17)$, $N(-25)$;

4) $M(-63)$, $N(-25)$.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, нужно найти модуль разности координат его концов. Если точки имеют координаты $M(x_1)$ и $N(x_2)$, то длина отрезка $MN$ вычисляется по формуле:
$MN = |x_2 - x_1|$

1) Даны точки $M(97)$ и $N(59)$.
Координата точки M: $x_1 = 97$.
Координата точки N: $x_2 = 59$.
Вычисляем длину отрезка $MN$:
$MN = |59 - 97| = |-38| = 38$.
Ответ: 38.

2) Даны точки $M(-20)$ и $N(40)$.
Координата точки M: $x_1 = -20$.
Координата точки N: $x_2 = 40$.
Вычисляем длину отрезка $MN$:
$MN = |40 - (-20)| = |40 + 20| = |60| = 60$.
Ответ: 60.

3) Даны точки $M(17)$ и $N(-25)$.
Координата точки M: $x_1 = 17$.
Координата точки N: $x_2 = -25$.
Вычисляем длину отрезка $MN$:
$MN = |-25 - 17| = |-42| = 42$.
Ответ: 42.

4) Даны точки $M(-63)$ и $N(-25)$.
Координата точки M: $x_1 = -63$.
Координата точки N: $x_2 = -25$.
Вычисляем длину отрезка $MN$:
$MN = |-25 - (-63)| = |-25 + 63| = |38| = 38$.
Ответ: 38.

154. Найти значение выражения:

1) $-5 + 21 - 39 + 12;$

2) $44 - 57 - 28 + 35;$

3) $-21 + 53 - 69 - 14 + 80;$

4) $49 - 106 + 35 - 69 - 24;$

5) $72,5 - 34,6 - 61,7 + 3,9 - 4,4.$

1) Для вычисления значения выражения $-5 + 21 - 39 + 12$ удобнее сгруппировать положительные и отрицательные слагаемые.
Сначала сложим положительные числа: $21 + 12 = 33$.
Затем сложим отрицательные числа: $-5 - 39 = -44$.
Теперь найдем сумму полученных результатов: $33 - 44 = -11$.
Ответ: $-11$

2) В выражении $44 - 57 - 28 + 35$ сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаками.
Сумма положительных чисел: $44 + 35 = 79$.
Сумма отрицательных чисел: $-57 - 28 = -85$.
Найдем итоговое значение: $79 - 85 = -6$.
Ответ: $-6$

3) Для выражения $-21 + 53 - 69 - 14 + 80$ также применим метод группировки.
Сумма положительных слагаемых: $53 + 80 = 133$.
Сумма отрицательных слагаемых: $-21 - 69 - 14 = -(21 + 69 + 14) = -104$.
Вычислим конечный результат: $133 - 104 = 29$.
Ответ: $29$

4) В выражении $49 - 106 + 35 - 69 - 24$ сгруппируем слагаемые.
Сумма положительных чисел: $49 + 35 = 84$.
Сумма отрицательных чисел: $-106 - 69 - 24 = -(106 + 69 + 24) = -199$.
Найдем значение выражения: $84 - 199 = -115$.
Ответ: $-115$

5) Для вычисления значения выражения с десятичными дробями $72,5 - 34,6 - 61,7 + 3,9 - 4,4$ сгруппируем числа по знакам.
Сумма положительных чисел: $72,5 + 3,9 = 76,4$.
Сумма отрицательных чисел: $-34,6 - 61,7 - 4,4 = -(34,6 + 61,7 + 4,4) = -(96,3 + 4,4) = -100,7$.
Найдем разность: $76,4 - 100,7 = -24,3$.
Ответ: $-24,3$

155. Решить уравнение:

1) $x + 3,6 = 1,5;$

2) $-4\frac{1}{2} + x = 3\frac{1}{2};$

3) $x - 5,1 = -7,3;$

4) $x - 9,4 = -2,8;$

5) $-7\frac{1}{2} - x = 4;$

6) $-0,3 - x = -6,1.$

1) Дано уравнение $x + 3,6 = 1,5$.
Чтобы найти $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Для этого перенесем $3,6$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$x = 1,5 - 3,6$
$x = -2,1$
Ответ: $-2,1$

2) Дано уравнение $-4\frac{1}{2} + x = 3\frac{1}{2}$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, перенесем известное слагаемое $-4\frac{1}{2}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x = 3\frac{1}{2} + 4\frac{1}{2}$
Сложим целые и дробные части по отдельности:
$x = (3+4) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$
$x = 7 + 1$
$x = 8$
Ответ: $8$

3) Дано уравнение $x - 5,1 = -7,3$.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, нужно к разности прибавить вычитаемое. Перенесем $-5,1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x = -7,3 + 5,1$
$x = -2,2$
Ответ: $-2,2$

4) Дано уравнение $x - 9,4 = -2,8$.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, перенесем вычитаемое $-9,4$ в правую часть со знаком плюс:
$x = -2,8 + 9,4$
$x = 6,6$
Ответ: $6,6$

5) Дано уравнение $-7\frac{1}{2} - x = 4$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность. В данном случае $-x$ является вычитаемым. Удобнее сначала выразить $-x$, перенеся $-7\frac{1}{2}$ вправо:
$-x = 4 + 7\frac{1}{2}$
$-x = 11\frac{1}{2}$
Теперь умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $x$:
$x = -11\frac{1}{2}$
Ответ: $-11\frac{1}{2}$

6) Дано уравнение $-0,3 - x = -6,1$.
Аналогично предыдущему примеру, сначала найдем $-x$, перенеся $-0,3$ в правую часть с противоположным знаком:
$-x = -6,1 + 0,3$
$-x = -5,8$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$x = 5,8$
Ответ: $5,8$

156. Выполнить умножение:

1) $2\frac{3}{7} \cdot 1\frac{1}{34}$;

2) $12,5 \cdot (-8)$;

3) $-0,4 \cdot 50$;

4) $-1\frac{7}{8} \cdot (-0,2)$.

1) Для того чтобы умножить смешанные дроби $2 \frac{3}{7}$ и $1 \frac{1}{34}$, сначала преобразуем их в неправильные дроби.

Преобразуем $2 \frac{3}{7}$: $2 \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{14+3}{7} = \frac{17}{7}$.

Преобразуем $1 \frac{1}{34}$: $1 \frac{1}{34} = \frac{1 \cdot 34 + 1}{34} = \frac{34+1}{34} = \frac{35}{34}$.

Теперь умножим полученные неправильные дроби:

$2 \frac{3}{7} \cdot 1 \frac{1}{34} = \frac{17}{7} \cdot \frac{35}{34} = \frac{17 \cdot 35}{7 \cdot 34}$.

Разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители для удобства сокращения: $35 = 5 \cdot 7$ и $34 = 2 \cdot 17$.

$\frac{17 \cdot (5 \cdot 7)}{7 \cdot (2 \cdot 17)}$.

Сокращаем общие множители $17$ и $7$ в числителе и знаменателе, получаем $\frac{5}{2}$.

Представим результат в виде десятичной дроби: $\frac{5}{2} = 5 \div 2 = 2,5$.

Ответ: $2,5$.

2) Необходимо выполнить умножение десятичной дроби $12,5$ на целое отрицательное число $(-8)$.

При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Поэтому сначала найдем произведение их модулей (абсолютных величин): $12,5 \cdot 8$.

Выполним умножение:

$12,5 \cdot 8 = 100$.

Это можно посчитать, например, так: $12,5 \cdot 2 = 25$, и затем $25 \cdot 4 = 100$.

Так как один из множителей отрицательный, произведение будет отрицательным.

$12,5 \cdot (-8) = -100$.

Ответ: $-100$.

3) Необходимо выполнить умножение отрицательной десятичной дроби $-0,4$ на положительное целое число $50$.

При умножении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Найдем произведение модулей: $0,4 \cdot 50$.

Выполним умножение:

$0,4 \cdot 50 = 20$.

Это можно посчитать, например, так: $0,4 \cdot 10 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$.

Так как один из множителей отрицательный, ставим знак "минус" перед результатом.

$-0,4 \cdot 50 = -20$.

Ответ: $-20$.

4) Необходимо умножить отрицательную смешанную дробь $-1 \frac{7}{8}$ на отрицательную десятичную дробь $(-0,2)$.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Для выполнения умножения преобразуем оба числа в удобный для вычислений вид, например, в обыкновенные дроби.

Преобразуем смешанную дробь $-1 \frac{7}{8}$ в неправильную:

$-1 \frac{7}{8} = -\frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = -\frac{15}{8}$.

Преобразуем десятичную дробь $-0,2$ в обыкновенную:

$-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Теперь умножим модули этих чисел:

$\frac{15}{8} \cdot \frac{1}{5} = \frac{15 \cdot 1}{8 \cdot 5}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $5$:

$\frac{15}{8 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{3}{8}$.

Так как мы умножали два отрицательных числа, результат положителен. Ответ можно представить в виде десятичной дроби: $3 \div 8 = 0,375$.

Ответ: $0,375$.