Страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

106. Установить, можно ли представить в виде десятичной данную обыкновенную дробь:

1) $\frac{7}{250}$;

2) $\frac{6}{150}$;

3) $\frac{5}{150}$;

4) $\frac{7}{60}$;

5) $\frac{12}{60}$;

6) $\frac{21}{140}$;

7) $\frac{6}{210}$;

8) $\frac{27}{300}$.

Чтобы установить, можно ли представить обыкновенную дробь в виде конечной десятичной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сократить дробь до несократимого вида.
2. Разложить знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители.
3. Если в разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. Если в разложении есть другие простые множители (3, 7, 11 и т.д.), то нельзя.

Применим это правило к каждой из дробей.

1) Рассмотрим дробь $\frac{7}{250}$.
Эта дробь является несократимой, так как 7 — простое число, а 250 на 7 не делится.
Разложим знаменатель на простые множители: $250 = 25 \cdot 10 = 5^2 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^3$.
В разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Ответ: да.

2) Рассмотрим дробь $\frac{6}{150}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6:
$\frac{6}{150} = \frac{6 \div 6}{150 \div 6} = \frac{1}{25}$.
Разложим знаменатель несократимой дроби на простые множители: $25 = 5^2$.
В разложении знаменателя присутствует только множитель 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Ответ: да.

3) Рассмотрим дробь $\frac{5}{150}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5}{150} = \frac{5 \div 5}{150 \div 5} = \frac{1}{30}$.
Разложим знаменатель несократимой дроби на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
В разложении знаменателя присутствует множитель 3. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.
Ответ: нет.

4) Рассмотрим дробь $\frac{7}{60}$.
Дробь несократимая, так как 7 — простое число, а 60 на 7 не делится.
Разложим знаменатель на простые множители: $60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
В разложении знаменателя присутствует множитель 3. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.
Ответ: нет.

5) Рассмотрим дробь $\frac{12}{60}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:
$\frac{12}{60} = \frac{12 \div 12}{60 \div 12} = \frac{1}{5}$.
Знаменатель несократимой дроби равен 5. Это простое число.
В разложении знаменателя присутствует только множитель 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Ответ: да.

6) Рассмотрим дробь $\frac{21}{140}$.
Сократим дробь. НОД(21, 140) = 7.
$\frac{21}{140} = \frac{21 \div 7}{140 \div 7} = \frac{3}{20}$.
Разложим знаменатель несократимой дроби на простые множители: $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
В разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Ответ: да.

7) Рассмотрим дробь $\frac{6}{210}$.
Сократим дробь. НОД(6, 210) = 6.
$\frac{6}{210} = \frac{6 \div 6}{210 \div 6} = \frac{1}{35}$.
Разложим знаменатель несократимой дроби на простые множители: $35 = 5 \cdot 7$.
В разложении знаменателя присутствует множитель 7. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.
Ответ: нет.

8) Рассмотрим дробь $\frac{27}{300}$.
Сократим дробь. НОД(27, 300) = 3.
$\frac{27}{300} = \frac{27 \div 3}{300 \div 3} = \frac{9}{100}$.
Разложим знаменатель несократимой дроби на простые множители: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
В разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Ответ: да.

107. Сравнить десятичные дроби:

1) $2,7$ и $2,70$;

2) $0,304$ и $0,32$;

3) $5,6$ и $5,601$;

4) $9,689$ и $9,679$.

1) Сравним дроби 2,7 и 2,70.
Для сравнения десятичных дробей вначале сравнивают их целые части. Если целые части равны, сравнивают дробные части по разрядам, двигаясь слева направо (десятые, сотые, тысячные и т.д.).
В дробях 2,7 и 2,70 целые части одинаковы и равны 2.
Теперь сравним их дробные части. Значение десятичной дроби не изменится, если в конце её дробной части приписать или отбросить нули. Уравняем количество знаков после запятой в обеих дробях. Дробь 2,7 имеет один знак после запятой, а 2,70 — два. Допишем к дроби 2,7 один ноль в конце: $2,7 = 2,70$.
Теперь мы сравниваем 2,70 и 2,70. Очевидно, что эти дроби равны.
Ответ: $2,7 = 2,70$.

2) Сравним дроби 0,304 и 0,32.
Целые части обеих дробей равны нулю.
Начнем поразрядное сравнение дробных частей.
Разряд десятых: у обеих дробей стоит цифра 3. Они равны.
Разряд сотых: у дроби 0,304 в этом разряде стоит 0, а у дроби 0,32 — 2.
Поскольку $0 < 2$, то и вся дробь 0,304 меньше дроби 0,32.
Для наглядности можно также уравнять количество знаков после запятой. Допишем к дроби 0,32 один ноль: $0,32 = 0,320$.
Теперь сравним 0,304 и 0,320. Так как целые части равны, сравниваем дробные части как целые числа: 304 и 320. Поскольку $304 < 320$, то $0,304 < 0,32$.
Ответ: $0,304 < 0,32$.

3) Сравним дроби 5,6 и 5,601.
Целые части обеих дробей равны 5.
Сравним дробные части. Для удобства уравняем количество знаков после запятой. У дроби 5,601 три знака после запятой, а у 5,6 — один. Допишем к дроби 5,6 два нуля: $5,6 = 5,600$.
Теперь сравним 5,600 и 5,601.
Поскольку целые части равны, сравниваем 600 и 601.
Так как $600 < 601$, то и $5,600 < 5,601$.
Ответ: $5,6 < 5,601$.

4) Сравним дроби 9,689 и 9,679.
Целые части обеих дробей равны 9.
Количество знаков после запятой одинаково, поэтому сразу приступаем к поразрядному сравнению дробных частей.
Разряд десятых: у обеих дробей стоит цифра 6. Они равны.
Разряд сотых: у дроби 9,689 стоит цифра 8, а у дроби 9,679 — цифра 7.
Поскольку $8 > 7$, то и вся дробь 9,689 больше дроби 9,679. Сравнение следующих разрядов уже не имеет значения.
Ответ: $9,689 > 9,679$.

108. Сравнить числа:

1) $\frac{1}{2}$ и 0,51;

2) 0,7 и $\frac{3}{8}$;

3) $\frac{1}{6}$ и 0,15;

4) $\frac{14}{9}$ и 1,45.

Для сравнения чисел, представленных в виде обыкновенной и десятичной дроби, необходимо привести их к одному виду: либо оба числа представить в виде десятичных дробей, либо оба в виде обыкновенных.

1) Сравнить $\frac{1}{2}$ и $0,51$

Переведем обыкновенную дробь $\frac{1}{2}$ в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$\frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0,5$.

Теперь сравним десятичные дроби $0,5$ и $0,51$. Для удобства можно уравнять количество знаков после запятой, добавив ноль: $0,5 = 0,50$.

Сравниваем $0,50$ и $0,51$. Так как $50 < 51$, то $0,50 < 0,51$.

Следовательно, $\frac{1}{2} < 0,51$.

Ответ: $\frac{1}{2} < 0,51$.

2) Сравнить $0,7$ и $\frac{3}{8}$

Переведем обыкновенную дробь $\frac{3}{8}$ в десятичную:

$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0,375$.

Теперь сравним десятичные дроби $0,7$ и $0,375$. Сравниваем цифры в разряде десятых: у числа $0,7$ это $7$, а у числа $0,375$ это $3$.

Так как $7 > 3$, то $0,7 > 0,375$.

Следовательно, $0,7 > \frac{3}{8}$.

Ответ: $0,7 > \frac{3}{8}$.

3) Сравнить $\frac{1}{6}$ и $0,15$

Переведем десятичную дробь $0,15$ в обыкновенную:

$0,15 = \frac{15}{100}$. Сократим дробь на 5: $\frac{15 \div 5}{100 \div 5} = \frac{3}{20}$.

Теперь сравним две обыкновенные дроби: $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{20}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 20 равно 60.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 10}{6 \times 10} = \frac{10}{60}$.

$\frac{3}{20} = \frac{3 \times 3}{20 \times 3} = \frac{9}{60}$.

Сравниваем дроби $\frac{10}{60}$ и $\frac{9}{60}$. Так как $10 > 9$, то $\frac{10}{60} > \frac{9}{60}$.

Следовательно, $\frac{1}{6} > 0,15$.

Ответ: $\frac{1}{6} > 0,15$.

4) Сравнить $\frac{14}{9}$ и $1,45$

Переведем неправильную дробь $\frac{14}{9}$ в десятичную. Это можно сделать, разделив 14 на 9.

$\frac{14}{9} = 14 \div 9 = 1,555... = 1,(5)$.

Теперь сравним десятичные дроби $1,(5)$ и $1,45$. Целые части у них равны (1). Сравним цифры в разряде десятых: у числа $1,(5)$ это $5$, а у числа $1,45$ это $4$.

Так как $5 > 4$, то $1,(5) > 1,45$.

Следовательно, $\frac{14}{9} > 1,45$.

Ответ: $\frac{14}{9} > 1,45$.

109. Записать две десятичные дроби, расположенные на координатной прямой между числами:

1) $3,56$ и $3,48$;

2) $2,1$ и $2,2$;

3) $6,28$ и $6,27$;

4) $0,9$ и $1$.

1) 3,56 и 3,48

Чтобы найти две десятичные дроби, расположенные между числами $3,48$ и $3,56$, нужно выбрать числа, которые больше $3,48$ и одновременно меньше $3,56$. Иными словами, ищем числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $3,48 < x < 3,56$.
Рассмотрим числа с двумя знаками после запятой. Между $3,48$ и $3,56$ находятся, например, числа $3,49, 3,50, 3,51, 3,52, 3,53, 3,54, 3,55$. Мы можем выбрать любые два из них.
Возьмем, к примеру, $3,50$ (или $3,5$) и $3,54$.
Проверим: $3,48 < 3,50 < 3,56$ и $3,48 < 3,54 < 3,56$. Оба неравенства верны.
Ответ: 3,50 и 3,54.

2) 2,1 и 2,2

Требуется найти два числа, лежащие в интервале между $2,1$ и $2,2$. Чтобы упростить поиск, мы можем увеличить количество знаков после запятой у данных чисел, дописав справа нули. Значение дробей от этого не изменится.
Представим $2,1$ как $2,10$, а $2,2$ как $2,20$.
Теперь задача сводится к поиску двух чисел $x$ в интервале $(2,10; 2,20)$, то есть $2,10 < x < 2,20$.
В этом интервале находятся числа от $2,11$ до $2,19$. Выберем любые два из них, например, $2,13$ и $2,18$.
Проверим: $2,10 < 2,13 < 2,20$ и $2,10 < 2,18 < 2,20$. Неравенства выполняются.
Ответ: 2,13 и 2,18.

3) 6,28 и 6,27

Сначала сравним числа: $6,27 < 6,28$. Нам нужно найти два числа между ними.
Действуем так же, как в предыдущем пункте: увеличим разрядность дробей, дописав нули.
Представим $6,27$ как $6,270$, а $6,28$ как $6,280$.
Теперь ищем два числа $x$ в интервале $(6,270; 6,280)$, то есть $6,270 < x < 6,280$.
Мы можем выбрать любые числа с тремя знаками после запятой от $6,271$ до $6,279$.
Например, возьмем $6,272$ и $6,275$.
Проверим: $6,270 < 6,272 < 6,280$ и $6,270 < 6,275 < 6,280$. Оба неравенства верны.
Ответ: 6,272 и 6,275.

4) 0,9 и 1

Требуется найти два числа между $0,9$ и $1$.
Представим целое число $1$ в виде десятичной дроби $1,0$. Теперь задача состоит в том, чтобы найти числа между $0,9$ и $1,0$.
Для удобства поиска увеличим разрядность, дописав нули: $0,9$ представим как $0,90$, а $1,0$ как $1,00$.
Искомые числа $x$ лежат в интервале $(0,90; 1,00)$, то есть $0,90 < x < 1,00$.
Мы можем выбрать любые числа с двумя знаками после запятой от $0,91$ до $0,99$.
Например, выберем $0,94$ и $0,98$.
Проверим: $0,90 < 0,94 < 1,00$ и $0,90 < 0,98 < 1,00$. Неравенства верны.
Ответ: 0,94 и 0,98.

110. Перечислить все цифры, которые можно записать вместо звёздочки в неравенство, чтобы оно было верным:

1) $2,54 > 2,5*$;

2) $1,766 < 1,76*$;

3) $0,*5 < 0,55$;

4) $3,452 > 3,4*1$.

1) В неравенстве $2,54 > 2,5*$ целые части и десятые доли совпадают. Чтобы неравенство было верным, необходимо сравнить сотые доли. Цифра в разряде сотых левого числа (4) должна быть больше цифры на месте звёздочки (*). Условию $4 > *$ удовлетворяют все цифры, которые меньше 4.
Ответ: 0, 1, 2, 3.

2) В неравенстве $1,766 < 1,76*$ целые части, десятые и сотые доли совпадают. Чтобы неравенство было верным, необходимо сравнить тысячные доли. Цифра в разряде тысячных левого числа (6) должна быть меньше цифры на месте звёздочки (*). Условию $6 < *$ удовлетворяют все цифры, которые больше 6.
Ответ: 7, 8, 9.

3) В неравенстве $0,*5 < 0,55$ целые части равны. Сравнение начинаем с разряда десятых. Чтобы левое число было меньше правого, его цифра в разряде десятых (*) должна быть меньше цифры в разряде десятых правого числа (5). Если $* < 5$, то неравенство будет верным (например, $0,45 < 0,55$). Если $* = 5$, то неравенство $0,55 < 0,55$ становится неверным, так как числа равны. Следовательно, подходят только цифры, которые строго меньше 5.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

4) В неравенстве $3,452 > 3,4*1$ целые части и десятые доли равны. Сравниваем разряды сотых. Цифра сотых левого числа — 5. Если цифра на месте звёздочки (*) меньше 5 (то есть 0, 1, 2, 3, 4), то неравенство верно. Если $* = 5$, то неравенство принимает вид $3,452 > 3,451$, что также является верным, поскольку в следующем разряде $2 > 1$. Если $* > 5$, неравенство будет неверным. Значит, подходят все цифры, которые меньше или равны 5.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

111. Вычислить:

1) $2,48 + 19,635$;

2) $0,235 + 72,9$;

3) $6,39 - 5,764$;

4) $5,47 - 0,863$;

5) $13,051 - 4,96$;

6) $1,803 - 1,7681$.

1) Вычислим сумму $2,48 + 19,635$.

Для сложения десятичных дробей в столбик, нужно записать числа так, чтобы запятые находились друг под другом. Уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к числу $2,48$.

 2,480+ 19,635--------- 22,115

Складываем числа поразрядно, начиная справа. В результате получаем $22,115$.

Ответ: 22,115

2) Вычислим сумму $0,235 + 72,9$.

Запишем числа в столбик, запятая под запятой. Уравняем количество знаков после запятой, добавив нули к числу $72,9$.

 0,235+ 72,900--------- 73,135

Складываем числа поразрядно справа налево. В результате получаем $73,135$.

Ответ: 73,135

3) Вычислим разность $6,39 - 5,764$.

Для вычитания десятичных дробей в столбик, нужно записать числа так, чтобы запятые находились друг под другом. Уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к числу $6,39$.

 6,390- 5,764--------- 0,626

Вычитание выполняется поразрядно, начиная справа. При необходимости производится заём из старшего разряда. В результате получаем $0,626$.

Ответ: 0,626

4) Вычислим разность $5,47 - 0,863$.

Запишем числа в столбик, запятая под запятой. Уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к числу $5,47$.

 5,470- 0,863--------- 4,607

Выполняем поразрядное вычитание справа налево, занимая единицы у старших разрядов при необходимости. В результате получаем $4,607$.

Ответ: 4,607

5) Вычислим разность $13,051 - 4,96$.

Запишем числа в столбик, запятая под запятой. Уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к числу $4,96$.

 13,051- 4,960--------- 8,091

Выполняем поразрядное вычитание справа налево. В результате получаем $8,091$.

Ответ: 8,091

6) Вычислим разность $1,803 - 1,7681$.

Запишем числа в столбик, запятая под запятой. Уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к числу $1,803$.

 1,8030- 1,7681--------- 0,0349

Выполняем поразрядное вычитание справа налево, делая заём из старших разрядов. В результате получаем $0,0349$.

Ответ: 0,0349

112. Найти разность и проверить результат двумя способами:

1) $61 - 38,29;$

2) $95 - 67,04;$

3) $0,07 - 0,0083;$

4) $2,3 - 1,4507.$

1)

Чтобы найти разность $61 - 38,29$, представим уменьшаемое 61 в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой, то есть $61,00$. Теперь выполним вычитание столбиком:

$ \begin{array}{r} - \\ \\ \end{array} \begin{array}{l} \dot{6}\overset{10}{1},\overset{9}{\cancel{0}}\overset{10}{\cancel{0}} \\ 38,29 \\ \hline 22,71 \end{array} $

Таким образом, разность равна $22,71$.

Проверим полученный результат двумя способами.

Способ 1 (проверка сложением): К полученной разности ($22,71$) прибавим вычитаемое ($38,29$). В результате должно получиться уменьшаемое ($61$).

$22,71 + 38,29 = 61,00 = 61$. Результат верный.

Способ 2 (проверка вычитанием): Из уменьшаемого ($61$) вычтем полученную разность ($22,71$). В результате должно получиться вычитаемое ($38,29$).

$61 - 22,71 = 38,29$. Результат верный.

Ответ: $22,71$.

2)

Чтобы найти разность $95 - 67,04$, представим уменьшаемое 95 как $95,00$ и выполним вычитание столбиком:

$ \begin{array}{r} - \\ \\ \end{array} \begin{array}{l} \dot{9}\overset{14}{5},\overset{9}{\cancel{0}}\overset{10}{\cancel{0}} \\ 67,04 \\ \hline 27,96 \end{array} $

Таким образом, разность равна $27,96$.

Проверим полученный результат двумя способами.

Способ 1 (проверка сложением): Сложим разность и вычитаемое: $27,96 + 67,04 = 95,00 = 95$. Результат совпадает с уменьшаемым. Верно.

Способ 2 (проверка вычитанием): Вычтем из уменьшаемого разность: $95 - 27,96 = 67,04$. Результат совпадает с вычитаемым. Верно.

Ответ: $27,96$.

3)

Чтобы найти разность $0,07 - 0,0083$, уравняем количество знаков после запятой у уменьшаемого и вычитаемого, представив $0,07$ как $0,0700$. Выполним вычитание столбиком:

$ \begin{array}{r} - \\ \\ \end{array} \begin{array}{l} 0,0\overset{6}{\cancel{7}}\overset{9}{\cancel{0}}\overset{10}{\cancel{0}} \\ 0,0083 \\ \hline 0,0617 \end{array} $

Таким образом, разность равна $0,0617$.

Проверим полученный результат двумя способами.

Способ 1 (проверка сложением): Сложим разность и вычитаемое: $0,0617 + 0,0083 = 0,0700 = 0,07$. Результат совпадает с уменьшаемым. Верно.

Способ 2 (проверка вычитанием): Вычтем из уменьшаемого разность: $0,07 - 0,0617 = 0,0700 - 0,0617 = 0,0083$. Результат совпадает с вычитаемым. Верно.

Ответ: $0,0617$.

4)

Чтобы найти разность $2,3 - 1,4507$, уравняем количество знаков после запятой, представив $2,3$ как $2,3000$. Выполним вычитание столбиком:

$ \begin{array}{r} - \\ \\ \end{array} \begin{array}{l} \dot{2},\overset{12}{\cancel{3}}\overset{9}{\cancel{0}}\overset{9}{\cancel{0}}\overset{10}{\cancel{0}} \\ 1,4507 \\ \hline 0,8493 \end{array} $

Таким образом, разность равна $0,8493$.

Проверим полученный результат двумя способами.

Способ 1 (проверка сложением): Сложим разность и вычитаемое: $0,8493 + 1,4507 = 2,3000 = 2,3$. Результат совпадает с уменьшаемым. Верно.

Способ 2 (проверка вычитанием): Вычтем из уменьшаемого разность: $2,3 - 0,8493 = 2,3000 - 0,8493 = 1,4507$. Результат совпадает с вычитаемым. Верно.

Ответ: $0,8493$.

113. Выполнить действие:

1) $5,25 + 1\frac{7}{8}$;

2) $3\frac{13}{16} + 2,75$;

3) $12\frac{1}{4} - 6,125$;

4) $11\frac{3}{20} - 9,15$;

5) $3\frac{2}{7} - 1,6$;

6) $4,2 - 2\frac{5}{6}$.

1) $5,25 + 1\frac{7}{8}$

Чтобы сложить десятичную и смешанную дробь, приведем их к одному виду. В данном случае удобно перевести смешанную дробь в десятичную. Для этого найдем десятичное представление дробной части: $\frac{7}{8} = 7 \div 8 = 0,875$. Тогда смешанная дробь равна $1\frac{7}{8} = 1 + 0,875 = 1,875$. Теперь выполним сложение: $5,25 + 1,875 = 5,250 + 1,875 = 7,125$.

Ответ: $7,125$.

2) $3\frac{13}{16} + 2,75$

Приведем оба слагаемых к виду десятичных дробей. Для этого преобразуем $3\frac{13}{16}$. Переведем дробную часть в десятичную дробь: $\frac{13}{16} = 13 \div 16 = 0,8125$. Таким образом, $3\frac{13}{16} = 3,8125$. Теперь сложим десятичные дроби: $3,8125 + 2,75 = 3,8125 + 2,7500 = 6,5625$.

Ответ: $6,5625$.

3) $12\frac{1}{4} - 6,125$

Для выполнения вычитания представим оба числа в виде десятичных дробей. Переведем смешанную дробь $12\frac{1}{4}$ в десятичную. Дробная часть $\frac{1}{4}$ равна $0,25$, следовательно, $12\frac{1}{4} = 12,25$. Теперь выполним вычитание: $12,25 - 6,125 = 12,250 - 6,125 = 6,125$.

Ответ: $6,125$.

4) $11\frac{3}{20} - 9,15$

В этом примере удобнее перевести десятичную дробь в смешанную. $9,15 = 9\frac{15}{100}$. Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{15}{100} = \frac{3}{20}$. Таким образом, $9,15 = 9\frac{3}{20}$. Теперь вычитание становится очень простым: $11\frac{3}{20} - 9\frac{3}{20} = (11-9) + (\frac{3}{20}-\frac{3}{20}) = 2 + 0 = 2$.

Ответ: $2$.

5) $3\frac{2}{7} - 1,6$

Поскольку дробь $\frac{2}{7}$ не переводится в конечную десятичную дробь, будем выполнять вычисления в обыкновенных дробях. Сначала переведем $1,6$ в смешанную дробь: $1,6 = 1\frac{6}{10} = 1\frac{3}{5}$. Теперь наше выражение выглядит так: $3\frac{2}{7} - 1\frac{3}{5}$. Для удобства вычитания преобразуем обе смешанные дроби в неправильные: $3\frac{2}{7} = \frac{3 \times 7 + 2}{7} = \frac{23}{7}$; $1\frac{3}{5} = \frac{1 \times 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$. Приведем дроби к общему знаменателю $35$: $\frac{23}{7} = \frac{23 \times 5}{35} = \frac{115}{35}$; $\frac{8}{5} = \frac{8 \times 7}{35} = \frac{56}{35}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{115}{35} - \frac{56}{35} = \frac{59}{35}$. Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{59}{35} = 1\frac{24}{35}$.

Ответ: $1\frac{24}{35}$.

6) $4,2 - 2\frac{5}{6}$

Дробь $\frac{5}{6}$ является бесконечной периодической, поэтому для точного результата перейдем к обыкновенным дробям. Представим $4,2$ в виде смешанной дроби: $4,2 = 4\frac{2}{10} = 4\frac{1}{5}$. Выражение примет вид: $4\frac{1}{5} - 2\frac{5}{6}$. Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $4\frac{1}{5} = \frac{4 \times 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$; $2\frac{5}{6} = \frac{2 \times 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$. Найдем общий знаменатель, который равен $30$. Приведем дроби к этому знаменателю: $\frac{21}{5} = \frac{21 \times 6}{30} = \frac{126}{30}$; $\frac{17}{6} = \frac{17 \times 5}{30} = \frac{85}{30}$. Теперь вычтем дроби: $\frac{126}{30} - \frac{85}{30} = \frac{41}{30}$. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанную: $\frac{41}{30} = 1\frac{11}{30}$.

Ответ: $1\frac{11}{30}$.

114. Решить уравнение:

1) $x + 4,58 = 7,062$;

2) $x - 0,34 = 1,862$;

3) $50,81 - x = 24,839$.

1) $x + 4,58 = 7,062$

В этом уравнении переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 7,062 - 4,58$

Для удобства вычисления можно добавить ноль в конце числа $4,58$, чтобы уравнять количество знаков после запятой:

$x = 7,062 - 4,580$

$ \begin{array}{r} - \\ \end{array} \begin{array}{l} 7,062 \\ 4,580 \\ \hline 2,482 \end{array} $

$x = 2,482$

Проверка: $2,482 + 4,58 = 7,062$.

Ответ: $2,482$

2) $x - 0,34 = 1,862$

В данном уравнении $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 1,862 + 0,34$

Уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль:

$x = 1,862 + 0,340$

$ \begin{array}{r} + \\ \end{array} \begin{array}{l} 1,862 \\ 0,340 \\ \hline 2,202 \end{array} $

$x = 2,202$

Проверка: $2,202 - 0,34 = 1,862$.

Ответ: $2,202$

3) $50,81 - x = 24,839$

Здесь $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 50,81 - 24,839$

Уравняем количество знаков после запятой:

$x = 50,810 - 24,839$

$ \begin{array}{r} - \\ \end{array} \begin{array}{l} 50,810 \\ 24,839 \\ \hline 25,971 \end{array} $

$x = 25,971$

Проверка: $50,81 - 25,971 = 24,839$.

Ответ: $25,971$