Номер 106, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

106. Установить, можно ли представить в виде десятичной данную обыкновенную дробь:

1) $\frac{7}{250}$;

2) $\frac{6}{150}$;

3) $\frac{5}{150}$;

4) $\frac{7}{60}$;

5) $\frac{12}{60}$;

6) $\frac{21}{140}$;

7) $\frac{6}{210}$;

8) $\frac{27}{300}$.

Чтобы установить, можно ли представить обыкновенную дробь в виде конечной десятичной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сократить дробь до несократимого вида.
2. Разложить знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители.
3. Если в разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. Если в разложении есть другие простые множители (3, 7, 11 и т.д.), то нельзя.

Применим это правило к каждой из дробей.

1) Рассмотрим дробь $\frac{7}{250}$.
Эта дробь является несократимой, так как 7 — простое число, а 250 на 7 не делится.
Разложим знаменатель на простые множители: $250 = 25 \cdot 10 = 5^2 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^3$.
В разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Ответ: да.

2) Рассмотрим дробь $\frac{6}{150}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6:
$\frac{6}{150} = \frac{6 \div 6}{150 \div 6} = \frac{1}{25}$.
Разложим знаменатель несократимой дроби на простые множители: $25 = 5^2$.
В разложении знаменателя присутствует только множитель 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Ответ: да.

3) Рассмотрим дробь $\frac{5}{150}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5}{150} = \frac{5 \div 5}{150 \div 5} = \frac{1}{30}$.
Разложим знаменатель несократимой дроби на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
В разложении знаменателя присутствует множитель 3. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.
Ответ: нет.

4) Рассмотрим дробь $\frac{7}{60}$.
Дробь несократимая, так как 7 — простое число, а 60 на 7 не делится.
Разложим знаменатель на простые множители: $60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
В разложении знаменателя присутствует множитель 3. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.
Ответ: нет.

5) Рассмотрим дробь $\frac{12}{60}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:
$\frac{12}{60} = \frac{12 \div 12}{60 \div 12} = \frac{1}{5}$.
Знаменатель несократимой дроби равен 5. Это простое число.
В разложении знаменателя присутствует только множитель 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Ответ: да.

6) Рассмотрим дробь $\frac{21}{140}$.
Сократим дробь. НОД(21, 140) = 7.
$\frac{21}{140} = \frac{21 \div 7}{140 \div 7} = \frac{3}{20}$.
Разложим знаменатель несократимой дроби на простые множители: $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
В разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Ответ: да.

7) Рассмотрим дробь $\frac{6}{210}$.
Сократим дробь. НОД(6, 210) = 6.
$\frac{6}{210} = \frac{6 \div 6}{210 \div 6} = \frac{1}{35}$.
Разложим знаменатель несократимой дроби на простые множители: $35 = 5 \cdot 7$.
В разложении знаменателя присутствует множитель 7. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.
Ответ: нет.

8) Рассмотрим дробь $\frac{27}{300}$.
Сократим дробь. НОД(27, 300) = 3.
$\frac{27}{300} = \frac{27 \div 3}{300 \div 3} = \frac{9}{100}$.
Разложим знаменатель несократимой дроби на простые множители: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
В разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Ответ: да.