Страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

83. Решить уравнение:

1) $\frac{16}{x-5}=\frac{12}{13}$;

2) $\frac{8+x}{7}=\frac{3}{28}$;

3) $23 : 12 = (2 \cdot x + 1) : 6.$

1) Дано уравнение в виде пропорции: $ \frac{16}{x-5} = \frac{12}{13} $.
Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. Перед решением определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $ x-5 \ne 0 $, то есть $ x \ne 5 $.
Применим свойство пропорции:
$ 16 \cdot 13 = 12 \cdot (x-5) $
Выполним умножение в левой части:
$ 208 = 12(x-5) $
Раскроем скобки в правой части:
$ 208 = 12x - 60 $
Перенесем слагаемое -60 в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$ 208 + 60 = 12x $
$ 268 = 12x $
Теперь найдем $ x $, разделив 268 на 12:
$ x = \frac{268}{12} $
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$ x = \frac{67}{3} $
Выделим целую часть:
$ x = 22\frac{1}{3} $
Найденный корень $ 22\frac{1}{3} $ не равен 5, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ 22\frac{1}{3} $.

2) Дано уравнение-пропорция: $ \frac{8+x}{7} = \frac{3}{28} $.
Используем основное свойство пропорции:
$ (8+x) \cdot 28 = 7 \cdot 3 $
$ 28(8+x) = 21 $
Разделим обе части уравнения на 7, чтобы упростить вычисления:
$ \frac{28(8+x)}{7} = \frac{21}{7} $
$ 4(8+x) = 3 $
Раскроем скобки:
$ 32 + 4x = 3 $
Перенесем 32 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$ 4x = 3 - 32 $
$ 4x = -29 $
Найдем $ x $:
$ x = -\frac{29}{4} $
Представим ответ в виде смешанного числа:
$ x = -7\frac{1}{4} $.
Ответ: $ -7\frac{1}{4} $.

3) Дано уравнение: $ 23 : 12 = (2 \cdot x + 1) : 6 $.
Запишем эту пропорцию в виде дробей:
$ \frac{23}{12} = \frac{2x+1}{6} $
Применим основное свойство пропорции:
$ 23 \cdot 6 = 12 \cdot (2x+1) $
$ 138 = 12(2x+1) $
Можно упростить уравнение, разделив обе части на 6:
$ \frac{138}{6} = \frac{12(2x+1)}{6} $
$ 23 = 2(2x+1) $
Раскроем скобки:
$ 23 = 4x + 2 $
Перенесем 2 в левую часть, изменив знак:
$ 23 - 2 = 4x $
$ 21 = 4x $
Найдем $ x $:
$ x = \frac{21}{4} $
Представим ответ в виде смешанного числа:
$ x = 5\frac{1}{4} $.
Ответ: $ 5\frac{1}{4} $.

84. 1) Длина прямоугольника относится к его ширине, как 7 : 6. Найти периметр прямоугольника, если его ширина равна $1\frac{1}{5}$ дм.

2) Ширина прямоугольника относится к его длине, как 4 : 7. Найти площадь прямоугольника, если его длина равна $5\frac{5}{6}$ см.

1)

Пусть длина прямоугольника равна $l$, а ширина равна $w$.

По условию задачи, отношение длины к ширине составляет $7:6$. Это можно записать в виде пропорции:

$\frac{l}{w} = \frac{7}{6}$

Известно, что ширина прямоугольника $w = 1\frac{1}{5}$ дм. Переведем это значение в неправильную дробь:

$w = 1\frac{1}{5} = \frac{1 \times 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$ дм.

Теперь мы можем найти длину $l$, выразив ее из пропорции:

$l = \frac{7}{6} \times w$

Подставим значение ширины:

$l = \frac{7}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{7 \times 6}{6 \times 5} = \frac{7}{5}$ дм.

Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2(l + w)$. Подставим значения длины и ширины:

$P = 2 \left( \frac{7}{5} + \frac{6}{5} \right) = 2 \left( \frac{7+6}{5} \right) = 2 \times \frac{13}{5} = \frac{26}{5}$ дм.

Представим результат в виде смешанного числа:

$P = \frac{26}{5} = 5\frac{1}{5}$ дм.

Ответ: $5\frac{1}{5}$ дм.

2)

Пусть ширина прямоугольника равна $w$, а длина равна $l$.

По условию, отношение ширины к длине составляет $4:7$. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{w}{l} = \frac{4}{7}$

Известно, что длина прямоугольника $l = 5\frac{5}{6}$ см. Переведем это значение в неправильную дробь:

$l = 5\frac{5}{6} = \frac{5 \times 6 + 5}{6} = \frac{35}{6}$ см.

Теперь мы можем найти ширину $w$, выразив ее из пропорции:

$w = \frac{4}{7} \times l$

Подставим значение длины:

$w = \frac{4}{7} \times \frac{35}{6} = \frac{4 \times 35}{7 \times 6} = \frac{140}{42}$ см.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 14:

$w = \frac{140 \div 14}{42 \div 14} = \frac{10}{3}$ см.

Площадь прямоугольника находится по формуле $S = l \times w$. Подставим значения длины и ширины:

$S = \frac{35}{6} \times \frac{10}{3} = \frac{35 \times 10}{6 \times 3} = \frac{350}{18}$ см².

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$S = \frac{175}{9}$ см².

Представим результат в виде смешанного числа:

$S = 19\frac{4}{9}$ см².

Ответ: $19\frac{4}{9}$ см².

85. Заполнить пустые клетки таблицы прямо пропорциональных величин.

1) Время движения мотоцикла с постоянной скоростью, мин

2 7 $9\frac{1}{2}$ (empty) (empty)

Пройденное расстояние, м

1800 (empty) (empty) 600 30

2) Количество изготовленных деталей, шт.

500 750 875 (empty) (empty)

Время изготовления деталей, ч

(empty) 3 (empty) $1\frac{1}{2}$ $4\frac{1}{2}$

3) Масса купленного товара, кг

5 2 11 (empty) (empty)

Стоимость покупки, р.

325 (empty) (empty) 130 1170

4) Объём вещества, $см^3$

10 250 $17\frac{1}{2}$ (empty) (empty)

Масса вещества, г

78 (empty) (empty) $7\frac{4}{5}$ 273

1)

В данной таблице время движения мотоцикла ($t$, мин) и пройденное им расстояние ($s$, м) являются прямо пропорциональными величинами. Это означает, что их отношение, равное скорости ($v$), является постоянной величиной. Коэффициент пропорциональности $v = \frac{s}{t}$.

Из данных первого столбца найдем скорость мотоцикла:

$v = \frac{1800 \text{ м}}{2 \text{ мин}} = 900 \text{ м/мин}$

Теперь, зная скорость, мы можем найти значения для пустых ячеек:

• Для времени $t = 7$ мин, пройденное расстояние $s = v \cdot t = 900 \cdot 7 = 6300$ м.

• Для времени $t = 9\frac{1}{2} = 9.5$ мин, пройденное расстояние $s = v \cdot t = 900 \cdot 9.5 = 8550$ м.

• Для расстояния $s = 600$ м, время движения $t = \frac{s}{v} = \frac{600}{900} = \frac{2}{3}$ мин.

• Для расстояния $s = 30$ м, время движения $t = \frac{s}{v} = \frac{30}{900} = \frac{1}{30}$ мин.

Ответ: пустые клетки, слева направо: 6300; 8550; $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{30}$.

2)

Количество изготовленных деталей ($n$, шт.) и время их изготовления ($t$, ч) — прямо пропорциональные величины. Их отношение, производительность ($p$), постоянно. Коэффициент пропорциональности $p = \frac{n}{t}$.

Из первого столбца определим производительность:

$p = \frac{500 \text{ деталей}}{3 \text{ ч}}$

Теперь вычислим значения для пустых ячеек:

• Для количества деталей $n = 750$ шт., время изготовления $t = \frac{n}{p} = \frac{750}{500/3} = 750 \cdot \frac{3}{500} = \frac{2250}{500} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$ ч.

• Для количества деталей $n = 875$ шт., время изготовления $t = \frac{n}{p} = \frac{875}{500/3} = 875 \cdot \frac{3}{500} = \frac{2625}{500} = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4}$ ч.

• Для времени $t = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ч, количество деталей $n = p \cdot t = \frac{500}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{500}{2} = 250$ шт.

• Для времени $t = 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ ч, количество деталей $n = p \cdot t = \frac{500}{3} \cdot \frac{9}{2} = 500 \cdot \frac{3}{2} = 750$ шт.

Ответ: пустые клетки, слева направо: $4\frac{1}{2}$; $5\frac{1}{4}$; 250; 750.

3)

Масса купленного товара ($m$, кг) и стоимость покупки ($C$, р.) являются прямо пропорциональными величинами. Их отношение — цена за килограмм ($k$) — постоянно. Коэффициент пропорциональности $k = \frac{C}{m}$.

Из данных таблицы найдем цену за 1 кг товара:

$k = \frac{325 \text{ р.}}{5 \text{ кг}} = 65 \text{ р./кг}$

Теперь заполним пустые ячейки:

• Для массы $m = 2$ кг, стоимость $C = k \cdot m = 65 \cdot 2 = 130$ р.

• Для стоимости $C = 130$ р., масса $m = \frac{C}{k} = \frac{130}{65} = 2$ кг.

• Для массы $m = 11$ кг, стоимость $C = k \cdot m = 65 \cdot 11 = 715$ р.

• Для стоимости $C = 1170$ р., масса $m = \frac{C}{k} = \frac{1170}{65} = 18$ кг.

Ответ: пустые клетки, слева направо: 130; 2; 715; 18.

4)

Объём вещества ($V$, см³) и масса вещества ($m$, г) — прямо пропорциональные величины. Их отношение, плотность ($\rho$), является постоянной. Коэффициент пропорциональности $\rho = \frac{m}{V}$.

Найдём плотность вещества по данным из первого столбца:

$\rho = \frac{78 \text{ г}}{10 \text{ см}^3} = 7.8 \text{ г/см}^3$

Теперь вычислим значения для пустых клеток:

• Для объёма $V = 250$ см³, масса $m = \rho \cdot V = 7.8 \cdot 250 = 1950$ г.

• Для объёма $V = 17\frac{1}{2} = 17.5$ см³, масса $m = \rho \cdot V = 7.8 \cdot 17.5 = 136.5$ г.

• Для массы $m = 7\frac{4}{5} = 7.8$ г, объём $V = \frac{m}{\rho} = \frac{7.8}{7.8} = 1$ см³.

• Для массы $m = 273$ г, объём $V = \frac{m}{\rho} = \frac{273}{7.8} = \frac{2730}{78} = 35$ см³.

Ответ: пустые клетки, слева направо: 1950; 136,5; 1; 35.