Номер 83, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. отношения и пропорции. Глава 1. Рациональные числа - номер 83, страница 28.

Условие.

83. Решить уравнение:

1) $\frac{16}{x-5}=\frac{12}{13}$;

2) $\frac{8+x}{7}=\frac{3}{28}$;

3) $23 : 12 = (2 \cdot x + 1) : 6.$

Решение 1.

Решение 5.

1) Дано уравнение в виде пропорции: $ \frac{16}{x-5} = \frac{12}{13} $.
Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. Перед решением определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $ x-5 \ne 0 $, то есть $ x \ne 5 $.
Применим свойство пропорции:
$ 16 \cdot 13 = 12 \cdot (x-5) $
Выполним умножение в левой части:
$ 208 = 12(x-5) $
Раскроем скобки в правой части:
$ 208 = 12x - 60 $
Перенесем слагаемое -60 в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$ 208 + 60 = 12x $
$ 268 = 12x $
Теперь найдем $ x $, разделив 268 на 12:
$ x = \frac{268}{12} $
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$ x = \frac{67}{3} $
Выделим целую часть:
$ x = 22\frac{1}{3} $
Найденный корень $ 22\frac{1}{3} $ не равен 5, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ 22\frac{1}{3} $.

2) Дано уравнение-пропорция: $ \frac{8+x}{7} = \frac{3}{28} $.
Используем основное свойство пропорции:
$ (8+x) \cdot 28 = 7 \cdot 3 $
$ 28(8+x) = 21 $
Разделим обе части уравнения на 7, чтобы упростить вычисления:
$ \frac{28(8+x)}{7} = \frac{21}{7} $
$ 4(8+x) = 3 $
Раскроем скобки:
$ 32 + 4x = 3 $
Перенесем 32 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$ 4x = 3 - 32 $
$ 4x = -29 $
Найдем $ x $:
$ x = -\frac{29}{4} $
Представим ответ в виде смешанного числа:
$ x = -7\frac{1}{4} $.
Ответ: $ -7\frac{1}{4} $.

3) Дано уравнение: $ 23 : 12 = (2 \cdot x + 1) : 6 $.
Запишем эту пропорцию в виде дробей:
$ \frac{23}{12} = \frac{2x+1}{6} $
Применим основное свойство пропорции:
$ 23 \cdot 6 = 12 \cdot (2x+1) $
$ 138 = 12(2x+1) $
Можно упростить уравнение, разделив обе части на 6:
$ \frac{138}{6} = \frac{12(2x+1)}{6} $
$ 23 = 2(2x+1) $
Раскроем скобки:
$ 23 = 4x + 2 $
Перенесем 2 в левую часть, изменив знак:
$ 23 - 2 = 4x $
$ 21 = 4x $
Найдем $ x $:
$ x = \frac{21}{4} $
Представим ответ в виде смешанного числа:
$ x = 5\frac{1}{4} $.
Ответ: $ 5\frac{1}{4} $.