Номер 81, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. отношения и пропорции. Глава 1. Рациональные числа - номер 81, страница 27.

Условие.

81. Составить четыре пропорции с разными отношениями, используя числа:

1) 1, 2, 4, 8;

2) 2, 7, 6, 21;

3) 3, 4, 9, 12.

Решение 1.

Решение 5.

Пропорция — это равенство двух отношений, которое можно записать в виде $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов: $a \cdot d = b \cdot c$.

Чтобы составить четыре пропорции с разными отношениями из заданных четырех чисел, нужно сначала найти среди них два таких числа, произведение которых равно произведению двух оставшихся чисел. Найдя такое равенство, можно составить одну основную пропорцию и три производные от неё путем перестановки членов.

1) Используем числа: 1, 2, 4, 8.

Найдем пары чисел, произведения которых равны. Мы видим, что $1 \cdot 8 = 8$ и $2 \cdot 4 = 8$. Таким образом, мы нашли равенство произведений: $1 \cdot 8 = 2 \cdot 4$.

На основе этого равенства можно составить четыре пропорции с различными отношениями:

1. Возьмем 1 и 8 как крайние члены, а 2 и 4 как средние. Получим пропорцию: $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$. Значение отношения здесь равно $\frac{1}{2}$.

2. Поменяем местами средние члены (2 и 4). Получим: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$. Значение отношения теперь $\frac{1}{4}$.

3. В исходной пропорции $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ поменяем местами крайние члены (1 и 8). Получим: $\frac{8}{2} = \frac{4}{1}$. Значение отношения равно $4$.

4. Перевернем отношения в исходной пропорции. Получим: $\frac{2}{1} = \frac{8}{4}$. Значение отношения равно $2$.

Ответ:
$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$
$\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$
$\frac{8}{2} = \frac{4}{1}$
$\frac{2}{1} = \frac{8}{4}$

2) Используем числа: 2, 7, 6, 21.

Найдем равенство произведений для этих чисел. Замечаем, что $2 \cdot 21 = 42$ и $6 \cdot 7 = 42$. Следовательно, мы можем использовать равенство $2 \cdot 21 = 6 \cdot 7$ для построения пропорций.

Составим четыре пропорции:

1. Основная пропорция: $\frac{2}{6} = \frac{7}{21}$. Значение отношения равно $\frac{1}{3}$.

2. Поменяв местами средние члены (6 и 7), получим: $\frac{2}{7} = \frac{6}{21}$. Значение отношения равно $\frac{2}{7}$.

3. Если в пропорции $\frac{2}{7} = \frac{6}{21}$ поменять местами крайние члены (2 и 21), получится: $\frac{21}{7} = \frac{6}{2}$. Значение отношения равно $3$.

4. Обратная к пропорции из пункта 2: $\frac{7}{2} = \frac{21}{6}$. Значение отношения равно $\frac{7}{2}$ или $3.5$.

Ответ:
$\frac{2}{6} = \frac{7}{21}$
$\frac{2}{7} = \frac{6}{21}$
$\frac{21}{7} = \frac{6}{2}$
$\frac{7}{2} = \frac{21}{6}$

3) Используем числа: 3, 4, 9, 12.

Найдем равенство произведений. Проверяя пары, находим, что $3 \cdot 12 = 36$ и $4 \cdot 9 = 36$. Используем равенство $3 \cdot 12 = 4 \cdot 9$.

Теперь составим четыре пропорции с разными отношениями:

1. Пусть 3 и 12 будут крайними членами, а 4 и 9 — средними. Пропорция: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Отношение равно $\frac{3}{4}$.

2. Поменяем местами средние члены (4 и 9): $\frac{3}{9} = \frac{4}{12}$. Отношение равно $\frac{1}{3}$.

3. Поменяем местами крайние члены в пропорции из п.1: $\frac{12}{4} = \frac{9}{3}$. Отношение равно $3$.

4. Перевернем пропорцию из п.1: $\frac{4}{3} = \frac{12}{9}$. Отношение равно $\frac{4}{3}$.

Ответ:
$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$
$\frac{3}{9} = \frac{4}{12}$
$\frac{12}{4} = \frac{9}{3}$
$\frac{4}{3} = \frac{12}{9}$