Номер 77, страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

77. 1) Первой трубой бассейн заполняется за 4 ч, а второй трубой полный бассейн опустошается за 5 ч. За какое время заполнится бассейн, если включить обе трубы одновременно при пустом бассейне?

2) Два трактора вспахали поле за 6 ч. Первый трактор, работая один, мог бы вспахать его за 15 ч. За какое время мог бы вспахать поле второй трактор, работая в одиночку?

1) Для решения этой задачи примем весь объем бассейна за 1.
Производительность первой трубы (скорость наполнения) составляет $v_1 = \frac{1}{4}$ бассейна в час.
Производительность второй трубы (скорость опустошения) составляет $v_2 = \frac{1}{5}$ бассейна в час.
Когда обе трубы включены одновременно, их общая производительность будет равна разности их индивидуальных производительностей, так как они выполняют противоположные действия:
$v_{общ} = v_1 - v_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 20:
$v_{общ} = \frac{5 \cdot 1}{20} - \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20}$ бассейна в час.
Это означает, что при одновременной работе двух труб за 1 час бассейн наполнится на $\frac{1}{20}$ своего объема.
Чтобы найти время $t$, необходимое для полного заполнения бассейна, нужно весь объем (1) разделить на общую производительность:
$t = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{20}} = 20$ часов.
Ответ: 20 часов.

2) Примем всю работу (площадь поля) за 1.
Совместная производительность двух тракторов, работающих вместе, составляет $P_{общ} = \frac{1}{6}$ поля в час.
Производительность первого трактора, работающего в одиночку, составляет $P_1 = \frac{1}{15}$ поля в час.
Производительность второго трактора $P_2$ можно найти, вычтя из общей производительности производительность первого трактора:
$P_2 = P_{общ} - P_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 30:
$P_2 = \frac{5 \cdot 1}{30} - \frac{2 \cdot 1}{30} = \frac{5-2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$ поля в час.
Зная производительность второго трактора, мы можем найти время $t_2$, за которое он сможет вспахать все поле, работая в одиночку. Для этого нужно всю работу (1) разделить на его производительность:
$t_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$ часов.
Ответ: 10 часов.