Номер 82, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Рациональные числа. Параграф 4. отношения и пропорции - номер 82, страница 27.

Условие.

82. Найти неизвестный член пропорции, обозначенный буквой x:

1) $18 : 3 = 24 : x;$

2) $x : 15 = 17 : 20;$

3) $\frac{6}{x} = \frac{30}{13};$

4) $\frac{27}{14} = \frac{x}{21};$

5) $1\frac{2}{5} : \frac{3}{7} = x : 2\frac{1}{7};$

6) $3\frac{1}{3} : x = \frac{11}{12} : 1\frac{1}{5};$

7) $6\frac{5}{6} : 4\frac{1}{10} = 6\frac{1}{2} : x;$

8) $\frac{19}{50} : 4\frac{3}{4} = x : 1\frac{7}{8}.$

Решение 1.

Решение 5.

1) $18 : 3 = 24 : x$

Это пропорция, где $x$ является неизвестным крайним членом. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$18 \cdot x = 3 \cdot 24$
$18x = 72$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 18:
$x = \frac{72}{18}$
$x = 4$
Проверка: $18 : 3 = 6$ и $24 : 4 = 6$. Равенство верно.
Ответ: 4

2) $x : 15 = 17 : 20$

В этой пропорции $x$ — неизвестный крайний член. Применим основное свойство пропорции:
$x \cdot 20 = 15 \cdot 17$
$20x = 255$
$x = \frac{255}{20}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$x = \frac{51}{4}$
Представим в виде смешанного числа:
$x = 12\frac{3}{4}$
Ответ: $12\frac{3}{4}$

3) $\frac{6}{x} = \frac{30}{13}$

Это пропорция, записанная в виде равенства дробей. Используем правило перекрестного умножения (которое является следствием основного свойства пропорции):
$6 \cdot 13 = x \cdot 30$
$78 = 30x$
$x = \frac{78}{30}$
Сократим дробь на 6:
$x = \frac{13}{5}$
Представим в виде смешанного числа:
$x = 2\frac{3}{5}$
Ответ: $2\frac{3}{5}$

4) $\frac{27}{14} = \frac{x}{21}$

Используем правило перекрестного умножения:
$27 \cdot 21 = 14 \cdot x$
$567 = 14x$
$x = \frac{567}{14}$
Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 7:
$x = \frac{567 \div 7}{14 \div 7} = \frac{81}{2}$
Представим в виде смешанного числа:
$x = 40\frac{1}{2}$
Ответ: $40\frac{1}{2}$

5) $1\frac{2}{5} : \frac{3}{7} = x : 2\frac{1}{7}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$
Пропорция примет вид: $\frac{7}{5} : \frac{3}{7} = x : \frac{15}{7}$
Применим основное свойство пропорции:
$\frac{7}{5} \cdot \frac{15}{7} = \frac{3}{7} \cdot x$
Вычислим левую часть: $\frac{7 \cdot 15}{5 \cdot 7} = \frac{15}{5} = 3$
$3 = \frac{3}{7}x$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{7}{3}$:
$x = 3 \cdot \frac{7}{3} = 7$
Ответ: 7

6) $3\frac{1}{3} : x = \frac{11}{12} : 1\frac{1}{5}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
$1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$
Пропорция: $\frac{10}{3} : x = \frac{11}{12} : \frac{6}{5}$
По свойству пропорции:
$\frac{10}{3} \cdot \frac{6}{5} = x \cdot \frac{11}{12}$
Вычислим левую часть: $\frac{10 \cdot 6}{3 \cdot 5} = \frac{60}{15} = 4$
$4 = \frac{11}{12}x$
$x = 4 \div \frac{11}{12} = 4 \cdot \frac{12}{11} = \frac{48}{11}$
$x = 4\frac{4}{11}$
Ответ: $4\frac{4}{11}$

7) $6\frac{5}{6} : 4\frac{1}{10} = 6\frac{1}{2} : x$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$6\frac{5}{6} = \frac{41}{6}$; $4\frac{1}{10} = \frac{41}{10}$; $6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}$
Пропорция: $\frac{41}{6} : \frac{41}{10} = \frac{13}{2} : x$
По свойству пропорции:
$\frac{41}{6} \cdot x = \frac{41}{10} \cdot \frac{13}{2}$
$\frac{41}{6}x = \frac{41 \cdot 13}{10 \cdot 2} = \frac{533}{20}$
$x = \frac{533}{20} \cdot \frac{6}{41}$
Сократим 533 и 41 (так как $533=13 \cdot 41$):
$x = \frac{13 \cdot 41}{20} \cdot \frac{6}{41} = \frac{13 \cdot 6}{20} = \frac{78}{20}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{39}{10} = 3\frac{9}{10}$
Ответ: $3\frac{9}{10}$

8) $\frac{19}{50} : 4\frac{3}{4} = x : 1\frac{7}{8}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$4\frac{3}{4} = \frac{19}{4}$; $1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}$
Пропорция: $\frac{19}{50} : \frac{19}{4} = x : \frac{15}{8}$
По свойству пропорции:
$\frac{19}{50} \cdot \frac{15}{8} = x \cdot \frac{19}{4}$
Вычислим левую часть: $\frac{19 \cdot 15}{50 \cdot 8} = \frac{19 \cdot 3 \cdot 5}{10 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{57}{80}$
$\frac{57}{80} = \frac{19}{4}x$
$x = \frac{57}{80} \div \frac{19}{4} = \frac{57}{80} \cdot \frac{4}{19}$
Сократим 57 и 19 (так как $57=3 \cdot 19$), а также 80 и 4:
$x = \frac{3 \cdot 19}{20 \cdot 4} \cdot \frac{4}{19} = \frac{3}{20}$
Ответ: $\frac{3}{20}$