Страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

78. Найти отношение:

1) 98 к 70;

2) $3\frac{2}{11}$ к $\frac{7}{22}$;

3) 15 км к 40 м;

4) 18 мм к 6 дм;

5) 320 кг к 48 ц;

6) 14 т к 42 ц;

7) 8 ч к 30 мин;

8) 15 мин к 4 ч.

1) 98 к 70

Чтобы найти отношение числа 98 к числу 70, нужно разделить 98 на 70. Это отношение можно записать в виде дроби и сократить ее.

$ \frac{98}{70} $

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. Оба числа делятся на 14.

$ 98 = 7 \times 14 $

$ 70 = 5 \times 14 $

Сократим дробь:

$ \frac{98}{70} = \frac{7 \times 14}{5 \times 14} = \frac{7}{5} $

Это отношение также можно записать в виде десятичной дроби: $ \frac{7}{5} = 1.4 $.

Ответ: $ \frac{7}{5} $

2) $ 3\frac{2}{11} $ к $ \frac{7}{22} $

Сначала преобразуем смешанное число $ 3\frac{2}{11} $ в неправильную дробь.

$ 3\frac{2}{11} = \frac{3 \times 11 + 2}{11} = \frac{33 + 2}{11} = \frac{35}{11} $

Теперь найдем отношение, разделив первую дробь на вторую. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{35}{11} \div \frac{7}{22} = \frac{35}{11} \times \frac{22}{7} $

Сократим множители перед вычислением:

$ \frac{35 \times 22}{11 \times 7} = \frac{(5 \times 7) \times (2 \times 11)}{11 \times 7} = 5 \times 2 = 10 $

Ответ: 10

3) 15 км к 40 м

Чтобы найти отношение величин, их нужно выразить в одинаковых единицах измерения. Переведем километры в метры. В одном километре 1000 метров.

$ 15 \text{ км} = 15 \times 1000 \text{ м} = 15000 \text{ м} $

Теперь найдем отношение 15000 м к 40 м.

$ \frac{15000}{40} = \frac{1500}{4} = 375 $

Ответ: 375

4) 18 мм к 6 дм

Приведем обе величины к одной единице измерения. Переведем дециметры в миллиметры. В одном дециметре 10 сантиметров, а в одном сантиметре 10 миллиметров, следовательно, в одном дециметре 100 миллиметров.

$ 6 \text{ дм} = 6 \times 100 \text{ мм} = 600 \text{ мм} $

Найдем отношение 18 мм к 600 мм.

$ \frac{18}{600} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД, равный 6.

$ \frac{18 \div 6}{600 \div 6} = \frac{3}{100} $

Ответ: $ \frac{3}{100} $

5) 320 кг к 48 ц

Приведем обе величины к одной единице измерения. Переведем центнеры в килограммы. В одном центнере 100 килограммов.

$ 48 \text{ ц} = 48 \times 100 \text{ кг} = 4800 \text{ кг} $

Найдем отношение 320 кг к 4800 кг.

$ \frac{320}{4800} = \frac{32}{480} $

Сократим дробь. Оба числа делятся на 10, а затем на 16.

$ \frac{32}{480} = \frac{32 \div 16}{480 \div 16} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $

Ответ: $ \frac{1}{15} $

6) 14 т к 42 ц

Приведем величины к одной единице измерения. Переведем тонны в центнеры. В одной тонне 10 центнеров.

$ 14 \text{ т} = 14 \times 10 \text{ ц} = 140 \text{ ц} $

Найдем отношение 140 ц к 42 ц.

$ \frac{140}{42} $

Сократим дробь. НОД чисел 140 и 42 равен 14.

$ \frac{140 \div 14}{42 \div 14} = \frac{10}{3} $

Ответ: $ \frac{10}{3} $

7) 8 ч к 30 мин

Приведем величины к одной единице измерения. Переведем часы в минуты. В одном часе 60 минут.

$ 8 \text{ ч} = 8 \times 60 \text{ мин} = 480 \text{ мин} $

Найдем отношение 480 мин к 30 мин.

$ \frac{480}{30} = \frac{48}{3} = 16 $

Ответ: 16

8) 15 мин к 4 ч

Приведем величины к одной единице измерения. Переведем часы в минуты. В одном часе 60 минут.

$ 4 \text{ ч} = 4 \times 60 \text{ мин} = 240 \text{ мин} $

Найдем отношение 15 мин к 240 мин.

$ \frac{15}{240} $

Сократим дробь. НОД чисел 15 и 240 равен 15.

$ \frac{15 \div 15}{240 \div 15} = \frac{1}{16} $

Ответ: $ \frac{1}{16} $

79. Найти масштаб карты, если 1 сантиметру на этой карте соответствует 500 м; 20 км на местности.

1 см соответствует 500 м

Масштаб карты показывает, во сколько раз расстояние на карте меньше соответствующего расстояния на местности. Он выражается в виде отношения, например 1:N, где 1 — это единица измерения на карте, а N — соответствующее количество таких же единиц на местности.

Чтобы найти масштаб, нужно выразить расстояние на карте и расстояние на местности в одинаковых единицах измерения. В данном случае у нас есть 1 сантиметр на карте и 500 метров на местности.

Переведем метры в сантиметры. Мы знаем, что в 1 метре содержится 100 сантиметров:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Теперь вычислим, сколько сантиметров в 500 метрах:

$500 \text{ м} = 500 \times 100 \text{ см} = 50 000 \text{ см}$

Таким образом, 1 сантиметр на карте соответствует 50 000 сантиметров на местности. Запишем это в виде стандартного численного масштаба:

1:50 000

Ответ: 1:50 000.

1 см соответствует 20 км

Действуем по тому же алгоритму. Необходимо привести 1 сантиметр и 20 километров к одной единице измерения.

Переведем километры в сантиметры. Сначала переведем километры в метры, а затем метры в сантиметры.

В 1 километре 1000 метров:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

В 1 метре 100 сантиметров:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Следовательно, в 1 километре:

$1 \text{ км} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100 000 \text{ см}$

Теперь вычислим, сколько сантиметров в 20 километрах:

$20 \text{ км} = 20 \times 100 000 \text{ см} = 2 000 000 \text{ см}$

Это означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 2 000 000 сантиметров на местности. Масштаб карты будет:

1:2 000 000

Ответ: 1:2 000 000.

80. Записать в виде пропорции:

1) 44 так относится к 55, как 8 относится к 10; $44/55 = 8/10$

2) отношение $1/4$ к $1/10$ равно отношению 15 к 6. $(1/4)/(1/10) = 15/6$

Пропорция – это равенство двух отношений. Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. Отношение чисел $a$ и $b$ можно записать как $a:b$ или в виде дроби $\frac{a}{b}$. Соответственно, пропорцию можно записать как $a:b = c:d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

1) В данном случае нам дано словесное описание пропорции: "44 так относится к 55, как 8 относится к 10".

Первое отношение – это "44 так относится к 55", что в математической записи выглядит как $44:55$ или $\frac{44}{55}$.

Второе отношение – это "8 относится к 10", что записывается как $8:10$ или $\frac{8}{10}$.

Союз "как" в данном контексте означает равенство. Следовательно, мы приравниваем два этих отношения, чтобы получить пропорцию.

Запишем пропорцию:

$44 : 55 = 8 : 10$

Эту же пропорцию можно записать в виде равенства дробей:

$\frac{44}{55} = \frac{8}{10}$

Для проверки можно убедиться, что значения отношений равны. Упростим каждую дробь:

$\frac{44}{55} = \frac{4 \cdot 11}{5 \cdot 11} = \frac{4}{5}$

$\frac{8}{10} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{5}$

Так как $ \frac{4}{5} = \frac{4}{5} $, пропорция составлена верно.

Ответ: $44 : 55 = 8 : 10$

2) Во втором пункте дано следующее утверждение: "отношение $\frac{1}{4}$ к $\frac{1}{10}$ равно отношению 15 к 6".

Первое отношение – "отношение $\frac{1}{4}$ к $\frac{1}{10}$". Записываем его как $\frac{1}{4} : \frac{1}{10}$ или $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{10}}$.

Второе отношение – "отношению 15 к 6". Записываем его как $15 : 6$ или $\frac{15}{6}$.

Слово "равно" означает знак равенства между этими двумя отношениями.

Таким образом, мы получаем пропорцию:

$\frac{1}{4} : \frac{1}{10} = 15 : 6$

Или в виде равенства дробей:

$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{10}} = \frac{15}{6}$

Проверим верность этой пропорции, вычислив значение каждого отношения.

Первое отношение: $\frac{1}{4} : \frac{1}{10} = \frac{1}{4} \cdot \frac{10}{1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Второе отношение: $15 : 6 = \frac{15}{6} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{2}$.

Значения отношений равны ($ \frac{5}{2} = \frac{5}{2} $), значит, пропорция составлена верно.

Ответ: $\frac{1}{4} : \frac{1}{10} = 15 : 6$

81. Составить четыре пропорции с разными отношениями, используя числа:

1) 1, 2, 4, 8;

2) 2, 7, 6, 21;

3) 3, 4, 9, 12.

Пропорция — это равенство двух отношений, которое можно записать в виде $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов: $a \cdot d = b \cdot c$.

Чтобы составить четыре пропорции с разными отношениями из заданных четырех чисел, нужно сначала найти среди них два таких числа, произведение которых равно произведению двух оставшихся чисел. Найдя такое равенство, можно составить одну основную пропорцию и три производные от неё путем перестановки членов.

1) Используем числа: 1, 2, 4, 8.

Найдем пары чисел, произведения которых равны. Мы видим, что $1 \cdot 8 = 8$ и $2 \cdot 4 = 8$. Таким образом, мы нашли равенство произведений: $1 \cdot 8 = 2 \cdot 4$.

На основе этого равенства можно составить четыре пропорции с различными отношениями:

1. Возьмем 1 и 8 как крайние члены, а 2 и 4 как средние. Получим пропорцию: $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$. Значение отношения здесь равно $\frac{1}{2}$.

2. Поменяем местами средние члены (2 и 4). Получим: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$. Значение отношения теперь $\frac{1}{4}$.

3. В исходной пропорции $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ поменяем местами крайние члены (1 и 8). Получим: $\frac{8}{2} = \frac{4}{1}$. Значение отношения равно $4$.

4. Перевернем отношения в исходной пропорции. Получим: $\frac{2}{1} = \frac{8}{4}$. Значение отношения равно $2$.

Ответ:
$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$
$\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$
$\frac{8}{2} = \frac{4}{1}$
$\frac{2}{1} = \frac{8}{4}$

2) Используем числа: 2, 7, 6, 21.

Найдем равенство произведений для этих чисел. Замечаем, что $2 \cdot 21 = 42$ и $6 \cdot 7 = 42$. Следовательно, мы можем использовать равенство $2 \cdot 21 = 6 \cdot 7$ для построения пропорций.

Составим четыре пропорции:

1. Основная пропорция: $\frac{2}{6} = \frac{7}{21}$. Значение отношения равно $\frac{1}{3}$.

2. Поменяв местами средние члены (6 и 7), получим: $\frac{2}{7} = \frac{6}{21}$. Значение отношения равно $\frac{2}{7}$.

3. Если в пропорции $\frac{2}{7} = \frac{6}{21}$ поменять местами крайние члены (2 и 21), получится: $\frac{21}{7} = \frac{6}{2}$. Значение отношения равно $3$.

4. Обратная к пропорции из пункта 2: $\frac{7}{2} = \frac{21}{6}$. Значение отношения равно $\frac{7}{2}$ или $3.5$.

Ответ:
$\frac{2}{6} = \frac{7}{21}$
$\frac{2}{7} = \frac{6}{21}$
$\frac{21}{7} = \frac{6}{2}$
$\frac{7}{2} = \frac{21}{6}$

3) Используем числа: 3, 4, 9, 12.

Найдем равенство произведений. Проверяя пары, находим, что $3 \cdot 12 = 36$ и $4 \cdot 9 = 36$. Используем равенство $3 \cdot 12 = 4 \cdot 9$.

Теперь составим четыре пропорции с разными отношениями:

1. Пусть 3 и 12 будут крайними членами, а 4 и 9 — средними. Пропорция: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Отношение равно $\frac{3}{4}$.

2. Поменяем местами средние члены (4 и 9): $\frac{3}{9} = \frac{4}{12}$. Отношение равно $\frac{1}{3}$.

3. Поменяем местами крайние члены в пропорции из п.1: $\frac{12}{4} = \frac{9}{3}$. Отношение равно $3$.

4. Перевернем пропорцию из п.1: $\frac{4}{3} = \frac{12}{9}$. Отношение равно $\frac{4}{3}$.

Ответ:
$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$
$\frac{3}{9} = \frac{4}{12}$
$\frac{12}{4} = \frac{9}{3}$
$\frac{4}{3} = \frac{12}{9}$

82. Найти неизвестный член пропорции, обозначенный буквой x:

1) $18 : 3 = 24 : x;$

2) $x : 15 = 17 : 20;$

3) $\frac{6}{x} = \frac{30}{13};$

4) $\frac{27}{14} = \frac{x}{21};$

5) $1\frac{2}{5} : \frac{3}{7} = x : 2\frac{1}{7};$

6) $3\frac{1}{3} : x = \frac{11}{12} : 1\frac{1}{5};$

7) $6\frac{5}{6} : 4\frac{1}{10} = 6\frac{1}{2} : x;$

8) $\frac{19}{50} : 4\frac{3}{4} = x : 1\frac{7}{8}.$

1) $18 : 3 = 24 : x$

Это пропорция, где $x$ является неизвестным крайним членом. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$18 \cdot x = 3 \cdot 24$
$18x = 72$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 18:
$x = \frac{72}{18}$
$x = 4$
Проверка: $18 : 3 = 6$ и $24 : 4 = 6$. Равенство верно.
Ответ: 4

2) $x : 15 = 17 : 20$

В этой пропорции $x$ — неизвестный крайний член. Применим основное свойство пропорции:
$x \cdot 20 = 15 \cdot 17$
$20x = 255$
$x = \frac{255}{20}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$x = \frac{51}{4}$
Представим в виде смешанного числа:
$x = 12\frac{3}{4}$
Ответ: $12\frac{3}{4}$

3) $\frac{6}{x} = \frac{30}{13}$

Это пропорция, записанная в виде равенства дробей. Используем правило перекрестного умножения (которое является следствием основного свойства пропорции):
$6 \cdot 13 = x \cdot 30$
$78 = 30x$
$x = \frac{78}{30}$
Сократим дробь на 6:
$x = \frac{13}{5}$
Представим в виде смешанного числа:
$x = 2\frac{3}{5}$
Ответ: $2\frac{3}{5}$

4) $\frac{27}{14} = \frac{x}{21}$

Используем правило перекрестного умножения:
$27 \cdot 21 = 14 \cdot x$
$567 = 14x$
$x = \frac{567}{14}$
Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 7:
$x = \frac{567 \div 7}{14 \div 7} = \frac{81}{2}$
Представим в виде смешанного числа:
$x = 40\frac{1}{2}$
Ответ: $40\frac{1}{2}$

5) $1\frac{2}{5} : \frac{3}{7} = x : 2\frac{1}{7}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$
Пропорция примет вид: $\frac{7}{5} : \frac{3}{7} = x : \frac{15}{7}$
Применим основное свойство пропорции:
$\frac{7}{5} \cdot \frac{15}{7} = \frac{3}{7} \cdot x$
Вычислим левую часть: $\frac{7 \cdot 15}{5 \cdot 7} = \frac{15}{5} = 3$
$3 = \frac{3}{7}x$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{7}{3}$:
$x = 3 \cdot \frac{7}{3} = 7$
Ответ: 7

6) $3\frac{1}{3} : x = \frac{11}{12} : 1\frac{1}{5}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
$1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$
Пропорция: $\frac{10}{3} : x = \frac{11}{12} : \frac{6}{5}$
По свойству пропорции:
$\frac{10}{3} \cdot \frac{6}{5} = x \cdot \frac{11}{12}$
Вычислим левую часть: $\frac{10 \cdot 6}{3 \cdot 5} = \frac{60}{15} = 4$
$4 = \frac{11}{12}x$
$x = 4 \div \frac{11}{12} = 4 \cdot \frac{12}{11} = \frac{48}{11}$
$x = 4\frac{4}{11}$
Ответ: $4\frac{4}{11}$

7) $6\frac{5}{6} : 4\frac{1}{10} = 6\frac{1}{2} : x$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$6\frac{5}{6} = \frac{41}{6}$; $4\frac{1}{10} = \frac{41}{10}$; $6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}$
Пропорция: $\frac{41}{6} : \frac{41}{10} = \frac{13}{2} : x$
По свойству пропорции:
$\frac{41}{6} \cdot x = \frac{41}{10} \cdot \frac{13}{2}$
$\frac{41}{6}x = \frac{41 \cdot 13}{10 \cdot 2} = \frac{533}{20}$
$x = \frac{533}{20} \cdot \frac{6}{41}$
Сократим 533 и 41 (так как $533=13 \cdot 41$):
$x = \frac{13 \cdot 41}{20} \cdot \frac{6}{41} = \frac{13 \cdot 6}{20} = \frac{78}{20}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{39}{10} = 3\frac{9}{10}$
Ответ: $3\frac{9}{10}$

8) $\frac{19}{50} : 4\frac{3}{4} = x : 1\frac{7}{8}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$4\frac{3}{4} = \frac{19}{4}$; $1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}$
Пропорция: $\frac{19}{50} : \frac{19}{4} = x : \frac{15}{8}$
По свойству пропорции:
$\frac{19}{50} \cdot \frac{15}{8} = x \cdot \frac{19}{4}$
Вычислим левую часть: $\frac{19 \cdot 15}{50 \cdot 8} = \frac{19 \cdot 3 \cdot 5}{10 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{57}{80}$
$\frac{57}{80} = \frac{19}{4}x$
$x = \frac{57}{80} \div \frac{19}{4} = \frac{57}{80} \cdot \frac{4}{19}$
Сократим 57 и 19 (так как $57=3 \cdot 19$), а также 80 и 4:
$x = \frac{3 \cdot 19}{20 \cdot 4} \cdot \frac{4}{19} = \frac{3}{20}$
Ответ: $\frac{3}{20}$