Страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

86. В таблице указаны подписные цены на газету.

Срок подписки, месяцы: 1, 2, 3, 6, 12

Стоимость, р.: 65, 130, 195, 360, 700

Можно ли утверждать, что подписная стоимость прямо пропорциональна сроку, на который осуществляется подписка? Ответ обосновать.

Чтобы определить, является ли подписная стоимость прямо пропорциональной сроку подписки, необходимо проверить, является ли отношение стоимости к сроку постоянной величиной для всех предложенных вариантов. Две величины (в данном случае, стоимость $C$ и срок $T$) являются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно:

$C/T = k$, где $k$ – коэффициент пропорциональности (в данном случае – стоимость подписки за один месяц).

Вычислим это отношение для каждого столбца таблицы:

• Для подписки на 1 месяц:
  Стоимость $C_1 = 65$ р., срок $T_1 = 1$ мес.
  Отношение: $k_1 = C_1 / T_1 = 65 / 1 = 65$ р./мес.
• Для подписки на 2 месяца:
  Стоимость $C_2 = 130$ р., срок $T_2 = 2$ мес.
  Отношение: $k_2 = C_2 / T_2 = 130 / 2 = 65$ р./мес.
• Для подписки на 3 месяца:
  Стоимость $C_3 = 195$ р., срок $T_3 = 3$ мес.
  Отношение: $k_3 = C_3 / T_3 = 195 / 3 = 65$ р./мес.
• Для подписки на 6 месяцев:
  Стоимость $C_4 = 360$ р., срок $T_4 = 6$ мес.
  Отношение: $k_4 = C_4 / T_4 = 360 / 6 = 60$ р./мес.
• Для подписки на 12 месяцев:
  Стоимость $C_5 = 700$ р., срок $T_5 = 12$ мес.
  Отношение: $k_5 = C_5 / T_5 = 700 / 12 = 175 / 3 \approx 58,33$ р./мес.

Сравнивая полученные значения коэффициента $k$ (стоимости за один месяц), мы видим, что они не равны между собой:

$k_1 = k_2 = k_3 = 65$, но $k_4 = 60$ и $k_5 \approx 58,33$.

Поскольку отношение стоимости к сроку подписки не является постоянным для всех случаев, зависимость не является прямой пропорциональностью. На самом деле, чем дольше срок подписки, тем ниже средняя стоимость одного месяца, что является распространенной практикой предоставления скидок за долгосрочную подписку.

Ответ: Нет, утверждать, что подписная стоимость прямо пропорциональна сроку подписки, нельзя. Отношение стоимости к сроку (цена за один месяц) не является постоянной величиной. Для подписки на 1, 2, и 3 месяца цена составляет 65 рублей в месяц, для подписки на 6 месяцев — 60 рублей в месяц, а для годовой подписки — примерно 58,33 рубля в месяц. Так как это отношение меняется, величины не являются прямо пропорциональными.

87. В таблице приведён расход бензина за час работы двигателей различной мощности.

Можно ли сказать, что объём потребляемого горючего прямо пропорционален мощности двигателя? Ответ обосновать.

Для того чтобы определить, являются ли две величины прямо пропорциональными, необходимо проверить, является ли их отношение постоянным числом. В данном случае мы должны проверить, постоянно ли отношение объёма потребляемого бензина ($V$) к мощности двигателя ($P$). Если зависимость прямо пропорциональна, то для всех пар значений из таблицы должно выполняться равенство $\frac{V}{P} = k$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности.

Проверим это, вычислив данное отношение для каждого столбца таблицы.

1. Для двигателя мощностью $5$ л.с. и объёмом бензина $1\frac{1}{2}$ л (или $1,5$ л):
Отношение равно $\frac{1,5}{5} = 0,3$.

2. Для двигателя мощностью $10$ л.с. и объёмом бензина $3$ л:
Отношение равно $\frac{3}{10} = 0,3$.

3. Для двигателя мощностью $25$ л.с. и объёмом бензина $7$ л:
Отношение равно $\frac{7}{25} = 0,28$.

4. Для двигателя мощностью $50$ л.с. и объёмом бензина $13$ л:
Отношение равно $\frac{13}{50} = 0,26$.

5. Для двигателя мощностью $100$ л.с. и объёмом бензина $25$ л:
Отношение равно $\frac{25}{100} = 0,25$.

Мы получили разные значения для отношения объёма бензина к мощности: $0,3; 0,3; 0,28; 0,26; 0,25$. Так как отношение не является постоянной величиной для всех представленных данных (уже на третьем шаге мы видим, что $0,3 \neq 0,28$), то зависимость между объёмом потребляемого горючего и мощностью двигателя не является прямой пропорциональностью.

Ответ: Нет, нельзя сказать, что объём потребляемого горючего прямо пропорционален мощности двигателя. Обоснование заключается в том, что отношение объёма бензина к мощности двигателя не является постоянным для всех пар значений, приведённых в таблице.

88. С помощью контрпримеров опровергнуть предположение о том, что следующие величины находятся в прямой пропорциональной зависимости:

1) сторона квадрата и его площадь;

2) количество товара и его цена при покупке товара на одну и ту же сумму;

3) возраст человека и его рост; масса;

4) удалённость станции от вокзала и стоимость проезда до неё.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Математически это выражается как $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности. Чтобы опровергнуть предположение о прямой пропорциональности, достаточно привести контрпример, в котором это условие не выполняется.

1) сторона квадрата и его площадь;

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Эта зависимость не является прямой пропорциональностью, так как отношение площади к стороне ($S/a = a$) не является постоянной величиной, а зависит от самой стороны $a$.
Контрпример:
Пусть сторона одного квадрата равна $a_1 = 2$ см. Тогда его площадь $S_1 = 2^2 = 4$ см².
Увеличим сторону в 2 раза: $a_2 = 4$ см. Тогда площадь нового квадрата станет $S_2 = 4^2 = 16$ см².
Сторона увеличилась в 2 раза ($4/2 = 2$), а площадь увеличилась в 4 раза ($16/4 = 4$). Так как кратность изменения величин не совпадает, они не находятся в прямой пропорциональной зависимости.
Ответ: Сторона квадрата и его площадь не являются прямо пропорциональными, так как при увеличении стороны в $n$ раз, площадь увеличивается в $n^2$ раз.

2) количество товара и его цена при покупке товара на одну и ту же сумму;

Пусть $n$ — количество товара, $p$ — его цена, а $C$ — общая стоимость покупки. Зависимость между ними выражается формулой $C = n \cdot p$. Если общая сумма $C$ постоянна, то $n = C/p$. Эта зависимость является обратной пропорциональностью: чем выше цена, тем меньшее количество товара можно купить на ту же сумму.
Контрпример:
Допустим, у нас есть 120 рублей.
Если цена яблок $p_1 = 20$ рублей за килограмм, мы можем купить $n_1 = 120 / 20 = 6$ кг яблок.
Если цена яблок снизится в 2 раза до $p_2 = 10$ рублей за килограмм, мы сможем купить $n_2 = 120 / 10 = 12$ кг яблок.
Цена уменьшилась в 2 раза, а количество товара, которое можно купить, наоборот, увеличилось в 2 раза. Это характеристика обратной пропорциональности, а не прямой.
Ответ: Количество товара и его цена при покупке на одну и ту же сумму находятся в обратно пропорциональной зависимости, а не в прямой.

3) возраст человека и его рост; масса;

Рост и масса человека увеличиваются с возрастом, но не пропорционально. В определенном возрасте рост и изменение массы прекращаются или замедляются.
Контрпример для роста:
В возрасте 10 лет рост ребенка может быть 140 см. Если бы зависимость была прямо пропорциональной, то в 20 лет ($10 \cdot 2$) его рост должен был бы составить 280 см ($140 \cdot 2$), что невозможно. Реальный рост взрослого человека будет, например, 175 см.
Контрпример для массы:
В возрасте 20 лет человек может весить 70 кг. Это не значит, что в 40 лет он будет весить 140 кг. Его масса может составить, например, 80 кг или даже уменьшиться.
Ответ: Возраст человека не является прямо пропорциональным его росту или массе, так как изменение этих величин со временем неравномерно.

4) удалённость станции от вокзала и стоимость проезда до неё.

Стоимость проезда в общественном транспорте часто не зависит прямо от расстояния. Во многих системах (например, в городском метро или автобусе) действует единый тариф на любую поездку. В пригородных поездах используется зонная тарификация, где цена меняется ступенчато.
Контрпример (зонная тарификация):
Пусть проезд в первой зоне (до 20 км) стоит 50 рублей, а во второй зоне (от 20 до 40 км) — 80 рублей.
Поездка до станции на расстоянии 15 км будет стоить 50 рублей.
Поездка до станции на расстоянии 30 км (в 2 раза дальше) будет стоить 80 рублей.
Расстояние увеличилось в 2 раза, а стоимость — всего в $80/50 = 1.6$ раза, а не в 2. Следовательно, зависимость не является прямой пропорцией.
Ответ: Удалённость станции от вокзала и стоимость проезда до неё, как правило, не являются прямо пропорциональными из-за особенностей систем тарификации.

89. Для 4 коров фермер ежедневно готовит 16 кг сена, 34 кг корнеплодов, 60 кг силоса, 26 кг концентратов и 300 г соли. Определить ежедневную заготовку кормов этим фермером, если у него будет 10 коров.

Для решения этой задачи нужно определить, сколько корма требуется для одной коровы, а затем умножить это количество на 10. Либо можно найти коэффициент пропорциональности и умножить на него исходные данные.

Найдем, во сколько раз 10 коров больше, чем 4 коровы:

$10 \div 4 = 2,5$

Следовательно, количество каждого вида корма нужно увеличить в 2,5 раза.

Сено:

Умножаем количество сена для 4 коров на 2,5:

$16 \text{ кг} \times 2,5 = 40 \text{ кг}$

Ответ: 40 кг сена.

Корнеплоды:

Умножаем количество корнеплодов для 4 коров на 2,5:

$34 \text{ кг} \times 2,5 = 85 \text{ кг}$

Ответ: 85 кг корнеплодов.

Силос:

Умножаем количество силоса для 4 коров на 2,5:

$60 \text{ кг} \times 2,5 = 150 \text{ кг}$

Ответ: 150 кг силоса.

Концентраты:

Умножаем количество концентратов для 4 коров на 2,5:

$26 \text{ кг} \times 2,5 = 65 \text{ кг}$

Ответ: 65 кг концентратов.

Соль:

Умножаем количество соли для 4 коров на 2,5:

$300 \text{ г} \times 2,5 = 750 \text{ г}$

Ответ: 750 г соли.

90. В 100 $м^3$ воздуха содержится 21 $м^3$ кислорода. Вычислить объём кислорода в комнате, имеющей длину $5\frac{1}{2}$ м, ширину 4 м и высоту 3 м.

Для решения данной задачи необходимо выполнить два последовательных действия: сначала вычислить общий объем комнаты, который будет равен объему воздуха в ней, а затем, зная долю содержания кислорода в воздухе, найти его объем в данном помещении.

1. Найдем объем комнаты. Комната представляет собой прямоугольный параллелепипед, объем которого ($V$) рассчитывается по формуле: $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ – длина, $w$ – ширина, и $h$ – высота.

Согласно условиям задачи, размеры комнаты:
Длина $l = 5\frac{1}{2}$ м. Для удобства вычислений представим смешанную дробь в виде десятичной: $5,5$ м.
Ширина $w = 4$ м.
Высота $h = 3$ м.

Теперь вычислим объем комнаты (объем воздуха в ней):
$V_{комнаты} = 5,5 \text{ м} \cdot 4 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 22 \text{ м}^2 \cdot 3 \text{ м} = 66 \text{ м}^3$.

2. Вычислим объем кислорода. Из условия известно, что в 100 м³ воздуха содержится 21 м³ кислорода. Это означает, что доля кислорода в воздухе составляет $\frac{21}{100}$.

Чтобы найти объем кислорода в комнате, необходимо умножить общий объем воздуха в комнате на долю кислорода:
$V_{кислорода} = V_{комнаты} \cdot \frac{21}{100} = 66 \text{ м}^3 \cdot \frac{21}{100} = \frac{1386}{100} \text{ м}^3 = 13,86 \text{ м}^3$.

Ответ: объем кислорода в комнате составляет 13,86 м³.

91. Каким отрезком на карте изобразится расстояние 400 м на местности, если масштаб карты:

1) $1:10\ 000$;

2) $1:200\ 000$;

3) $1:1\ 000\ 000$?

Для решения этой задачи необходимо определить, какой длины будет отрезок на карте, представляющий 400 метров на местности, для каждого из указанных масштабов.

Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Чтобы найти длину отрезка на карте, нужно реальное расстояние на местности разделить на знаменатель масштаба.

Для проведения вычислений необходимо, чтобы единицы измерения были одинаковыми. Переведем метры в сантиметры, так как отрезки на карте обычно измеряются в сантиметрах.
В 1 метре 100 сантиметров, поэтому:
$400 \text{ м} = 400 \times 100 \text{ см} = 40 000 \text{ см}$.

Теперь рассчитаем длину отрезка для каждого масштаба.

1) 1:10 000;
Этот масштаб означает, что 1 см на карте равен 10 000 см на местности. Чтобы найти длину отрезка на карте, разделим реальное расстояние в сантиметрах на 10 000.
$L_1 = \frac{40 000 \text{ см}}{10 000} = 4 \text{ см}$.
Ответ: 4 см.

2) 1:200 000;
Этот масштаб означает, что 1 см на карте равен 200 000 см на местности. Разделим реальное расстояние на 200 000.
$L_2 = \frac{40 000 \text{ см}}{200 000} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2 \text{ см}$.
Так как 1 см = 10 мм, то $0,2 \text{ см} = 2 \text{ мм}$.
Ответ: 0,2 см (или 2 мм).

3) 1:1 000 000?
Этот масштаб означает, что 1 см на карте равен 1 000 000 см на местности. Разделим реальное расстояние на 1 000 000.
$L_3 = \frac{40 000 \text{ см}}{1 000 000} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 0,04 \text{ см}$.
Так как 1 см = 10 мм, то $0,04 \text{ см} = 0,4 \text{ мм}$.
Ответ: 0,04 см (или 0,4 мм).

92. Какому расстоянию на местности соответствуют 8 см на карте, если её масштаб:

1) $1:10\,000$;

2) $1:200\,000$;

3) $1:1\,000\,000$?

1) 1:10 000;
Масштаб 1:10 000 означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 10 000 сантиметрам на местности. Чтобы найти, какому расстоянию на местности соответствуют 8 см на карте, необходимо умножить расстояние на карте на знаменатель масштаба.
$8 \text{ см} \times 10 \, 000 = 80 \, 000 \text{ см}$
Для удобства переведем сантиметры в метры. Так как в 1 метре 100 сантиметров, разделим полученное значение на 100.
$80 \, 000 \text{ см} = \frac{80 \, 000}{100} \text{ м} = 800 \text{ м}$
Это расстояние также можно выразить в километрах: $800 \text{ м} = 0,8 \text{ км}$.
Ответ: 800 м.

2) 1:200 000;
Масштаб 1:200 000 означает, что 1 см на карте соответствует 200 000 см на местности. Найдем реальное расстояние, умножив 8 см на 200 000.
$8 \text{ см} \times 200 \, 000 = 1 \, 600 \, 000 \text{ см}$
Переведем сантиметры в километры. Зная, что в 1 километре 100 000 сантиметров (так как $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$ и $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$), разделим полученное значение на 100 000.
$1 \, 600 \, 000 \text{ см} = \frac{1 \, 600 \, 000}{100 \, 000} \text{ км} = 16 \text{ км}$
Ответ: 16 км.

3) 1:1 000 000?
Масштаб 1:1 000 000 означает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности. Вычислим расстояние на местности.
$8 \text{ см} \times 1 \, 000 \, 000 = 8 \, 000 \, 000 \text{ см}$
Переведем полученное значение из сантиметров в километры, разделив на 100 000.
$8 \, 000 \, 000 \text{ см} = \frac{8 \, 000 \, 000}{100 \, 000} \text{ км} = 80 \text{ км}$
Ответ: 80 км.