Номер 88, страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Рациональные числа. Параграф 4. отношения и пропорции - номер 88, страница 29.

Условие.

88. С помощью контрпримеров опровергнуть предположение о том, что следующие величины находятся в прямой пропорциональной зависимости:

1) сторона квадрата и его площадь;

2) количество товара и его цена при покупке товара на одну и ту же сумму;

3) возраст человека и его рост; масса;

4) удалённость станции от вокзала и стоимость проезда до неё.

Решение 1.

Решение 5.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Математически это выражается как $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности. Чтобы опровергнуть предположение о прямой пропорциональности, достаточно привести контрпример, в котором это условие не выполняется.

1) сторона квадрата и его площадь;

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Эта зависимость не является прямой пропорциональностью, так как отношение площади к стороне ($S/a = a$) не является постоянной величиной, а зависит от самой стороны $a$.
Контрпример:
Пусть сторона одного квадрата равна $a_1 = 2$ см. Тогда его площадь $S_1 = 2^2 = 4$ см².
Увеличим сторону в 2 раза: $a_2 = 4$ см. Тогда площадь нового квадрата станет $S_2 = 4^2 = 16$ см².
Сторона увеличилась в 2 раза ($4/2 = 2$), а площадь увеличилась в 4 раза ($16/4 = 4$). Так как кратность изменения величин не совпадает, они не находятся в прямой пропорциональной зависимости.
Ответ: Сторона квадрата и его площадь не являются прямо пропорциональными, так как при увеличении стороны в $n$ раз, площадь увеличивается в $n^2$ раз.

2) количество товара и его цена при покупке товара на одну и ту же сумму;

Пусть $n$ — количество товара, $p$ — его цена, а $C$ — общая стоимость покупки. Зависимость между ними выражается формулой $C = n \cdot p$. Если общая сумма $C$ постоянна, то $n = C/p$. Эта зависимость является обратной пропорциональностью: чем выше цена, тем меньшее количество товара можно купить на ту же сумму.
Контрпример:
Допустим, у нас есть 120 рублей.
Если цена яблок $p_1 = 20$ рублей за килограмм, мы можем купить $n_1 = 120 / 20 = 6$ кг яблок.
Если цена яблок снизится в 2 раза до $p_2 = 10$ рублей за килограмм, мы сможем купить $n_2 = 120 / 10 = 12$ кг яблок.
Цена уменьшилась в 2 раза, а количество товара, которое можно купить, наоборот, увеличилось в 2 раза. Это характеристика обратной пропорциональности, а не прямой.
Ответ: Количество товара и его цена при покупке на одну и ту же сумму находятся в обратно пропорциональной зависимости, а не в прямой.

3) возраст человека и его рост; масса;

Рост и масса человека увеличиваются с возрастом, но не пропорционально. В определенном возрасте рост и изменение массы прекращаются или замедляются.
Контрпример для роста:
В возрасте 10 лет рост ребенка может быть 140 см. Если бы зависимость была прямо пропорциональной, то в 20 лет ($10 \cdot 2$) его рост должен был бы составить 280 см ($140 \cdot 2$), что невозможно. Реальный рост взрослого человека будет, например, 175 см.
Контрпример для массы:
В возрасте 20 лет человек может весить 70 кг. Это не значит, что в 40 лет он будет весить 140 кг. Его масса может составить, например, 80 кг или даже уменьшиться.
Ответ: Возраст человека не является прямо пропорциональным его росту или массе, так как изменение этих величин со временем неравномерно.

4) удалённость станции от вокзала и стоимость проезда до неё.

Стоимость проезда в общественном транспорте часто не зависит прямо от расстояния. Во многих системах (например, в городском метро или автобусе) действует единый тариф на любую поездку. В пригородных поездах используется зонная тарификация, где цена меняется ступенчато.
Контрпример (зонная тарификация):
Пусть проезд в первой зоне (до 20 км) стоит 50 рублей, а во второй зоне (от 20 до 40 км) — 80 рублей.
Поездка до станции на расстоянии 15 км будет стоить 50 рублей.
Поездка до станции на расстоянии 30 км (в 2 раза дальше) будет стоить 80 рублей.
Расстояние увеличилось в 2 раза, а стоимость — всего в $80/50 = 1.6$ раза, а не в 2. Следовательно, зависимость не является прямой пропорцией.
Ответ: Удалённость станции от вокзала и стоимость проезда до неё, как правило, не являются прямо пропорциональными из-за особенностей систем тарификации.