Страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

52. Найти $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{10}$ от 1 ч; от 3 га; от 24 а.

Для того чтобы найти долю от некоторой величины, необходимо разделить значение этой величины на число, соответствующее доле (например, чтобы найти треть, нужно разделить на 3; чтобы найти четверть — на 4, и так далее).

Найдем указанные доли от 1 часа (ч).

Для удобства вычислений переведем 1 час в минуты: $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.

треть
Чтобы найти треть от 1 часа, разделим 60 минут на 3.
$60 \text{ мин} \div 3 = 20 \text{ мин}$
Ответ: 20 мин.

четверть
Чтобы найти четверть от 1 часа, разделим 60 минут на 4.
$60 \text{ мин} \div 4 = 15 \text{ мин}$
Ответ: 15 мин.

шестую часть
Чтобы найти шестую часть от 1 часа, разделим 60 минут на 6.
$60 \text{ мин} \div 6 = 10 \text{ мин}$
Ответ: 10 мин.

десятую долю
Чтобы найти десятую долю от 1 часа, разделим 60 минут на 10.
$60 \text{ мин} \div 10 = 6 \text{ мин}$
Ответ: 6 мин.

Найдем указанные доли от 3 гектаров (га).

Так как не все доли от 3 гектаров будут целыми числами, для удобства вычислений переведем гектары в ары (сотки): $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$, следовательно, $3 \text{ га} = 300 \text{ а}$.

треть
Чтобы найти треть от 3 гектаров, разделим 3 на 3.
$3 \text{ га} \div 3 = 1 \text{ га}$
Ответ: 1 га.

четверть
Чтобы найти четверть от 3 гектаров, разделим 300 аров на 4.
$300 \text{ а} \div 4 = 75 \text{ а}$
Ответ: 75 а.

шестую часть
Чтобы найти шестую часть от 3 гектаров, разделим 300 аров на 6.
$300 \text{ а} \div 6 = 50 \text{ а}$
Ответ: 50 а.

десятую долю
Чтобы найти десятую долю от 3 гектаров, разделим 300 аров на 10.
$300 \text{ а} \div 10 = 30 \text{ а}$
Ответ: 30 а.

Найдем указанные доли от 24 аров (а).

треть
Чтобы найти треть от 24 аров, разделим 24 на 3.
$24 \text{ а} \div 3 = 8 \text{ а}$
Ответ: 8 а.

четверть
Чтобы найти четверть от 24 аров, разделим 24 на 4.
$24 \text{ а} \div 4 = 6 \text{ а}$
Ответ: 6 а.

шестую часть
Чтобы найти шестую часть от 24 аров, разделим 24 на 6.
$24 \text{ а} \div 6 = 4 \text{ а}$
Ответ: 4 а.

десятую долю
Чтобы найти десятую долю от 24 аров, разделим 24 на 10.
$24 \text{ а} \div 10 = 2,4 \text{ а}$
Ответ: 2,4 а.

53. Записать дроби $ \frac{540}{30} $; $ \frac{3600}{120} $; $ \frac{6120}{15} $; $ \frac{5253}{17} $ в виде частного и найти значение.

Дробь 1:

$540 \div 30 = 18$

Дробь 2:

$3600 \div 120 = 30$

Дробь 3:

$6120 \div 15 = 408$

Дробь 4:

$5253 \div 17 = 309$

$\frac{540}{30}$

Запишем дробь в виде частного: $540 \div 30$.
Чтобы найти значение, выполним деление. Можно сократить на 10, убрав по одному нулю в числителе и знаменателе: $540 \div 30 = 54 \div 3$.
Выполним деление: $54 \div 3 = (30 + 24) \div 3 = 30 \div 3 + 24 \div 3 = 10 + 8 = 18$.
Таким образом, значение дроби равно 18.

Ответ: 18.

$\frac{3600}{120}$

Запишем дробь в виде частного: $3600 \div 120$.
Чтобы найти значение, выполним деление. Сократим на 10: $3600 \div 120 = 360 \div 12$.
Мы знаем, что $36 \div 12 = 3$, следовательно, $360 \div 12 = 30$.
Таким образом, значение дроби равно 30.

Ответ: 30.

$\frac{6120}{15}$

Запишем дробь в виде частного: $6120 \div 15$.
Чтобы найти значение, выполним деление в столбик:
1. Делим 61 на 15. Ближайшее произведение, не превышающее 61, это $15 \times 4 = 60$. Пишем 4 в частное. Остаток $61 - 60 = 1$.
2. Сносим следующую цифру, 2. Получаем 12. Число 12 меньше 15, поэтому пишем 0 в частное.
3. Сносим следующую цифру, 0. Получаем 120. Делим 120 на 15. $15 \times 8 = 120$. Пишем 8 в частное. Остаток $120 - 120 = 0$.
В результате деления получаем 408.
Таким образом, значение дроби равно 408.

Ответ: 408.

$\frac{5253}{17}$

Запишем дробь в виде частного: $5253 \div 17$.
Чтобы найти значение, выполним деление в столбик:
1. Делим 52 на 17. Ближайшее произведение, не превышающее 52, это $17 \times 3 = 51$. Пишем 3 в частное. Остаток $52 - 51 = 1$.
2. Сносим следующую цифру, 5. Получаем 15. Число 15 меньше 17, поэтому пишем 0 в частное.
3. Сносим следующую цифру, 3. Получаем 153. Делим 153 на 17. $17 \times 9 = 153$. Пишем 9 в частное. Остаток $153 - 153 = 0$.
В результате деления получаем 309.
Таким образом, значение дроби равно 309.

Ответ: 309.

54. Сравнить дроби:

1) $ \frac{15}{47} $ и $ \frac{14}{47} $;

2) $ \frac{38}{101} $ и $ \frac{40}{101} $;

3) $ \frac{27}{83} $ и $ \frac{27}{84} $;

4) $ \frac{31}{98} $ и $ \frac{31}{96} $.

1) Для сравнения дробей $\frac{15}{47}$ и $\frac{14}{47}$ воспользуемся правилом сравнения дробей с одинаковыми знаменателями. Согласно этому правилу, из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. В данном случае знаменатели равны 47. Сравниваем числители: $15 > 14$. Следовательно, $\frac{15}{47} > \frac{14}{47}$.

Ответ: $\frac{15}{47} > \frac{14}{47}$

2) Сравним дроби $\frac{38}{101}$ и $\frac{40}{101}$. Эти дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 101. Применяем то же правило, что и в предыдущем пункте: сравниваем числители. Так как $38 < 40$, то и первая дробь меньше второй. Таким образом, $\frac{38}{101} < \frac{40}{101}$.

Ответ: $\frac{38}{101} < \frac{40}{101}$

3) Для сравнения дробей $\frac{27}{83}$ и $\frac{27}{84}$ воспользуемся правилом сравнения дробей с одинаковыми числителями. Согласно этому правилу, из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. В данном случае числители равны 27. Сравниваем знаменатели: $83 < 84$. Следовательно, дробь со знаменателем 83 будет больше. Таким образом, $\frac{27}{83} > \frac{27}{84}$.

Ответ: $\frac{27}{83} > \frac{27}{84}$

4) Сравним дроби $\frac{31}{98}$ и $\frac{31}{96}$. Эти дроби имеют одинаковый числитель, равный 31. Применяем то же правило, что и в предыдущем пункте: сравниваем знаменатели. Так как $98 > 96$, то дробь с большим знаменателем (98) будет меньше. Таким образом, $\frac{31}{98} < \frac{31}{96}$.

Ответ: $\frac{31}{98} < \frac{31}{96}$

55. Сравнить дроби, используя промежуточное число $ \left(\frac{1}{2} \text{ или } 1\right): $

1) $ \frac{15}{14} \text{ и } \frac{19}{20}; $

2) $ \frac{93}{95} \text{ и } \frac{56}{53}; $

3) $ \frac{17}{35} \text{ и } \frac{19}{36}; $

4) $ \frac{11}{21} \text{ и } \frac{9}{22}. $

1) Сравним дроби $ \frac{15}{14} $ и $ \frac{19}{20} $ с помощью промежуточного числа 1.

Дробь $ \frac{15}{14} $ является неправильной, так как ее числитель (15) больше знаменателя (14). Следовательно, $ \frac{15}{14} > 1 $.

Дробь $ \frac{19}{20} $ является правильной, так как ее числитель (19) меньше знаменателя (20). Следовательно, $ \frac{19}{20} < 1 $.

Поскольку одна дробь больше 1, а другая меньше 1, мы можем сделать вывод, что $ \frac{15}{14} > \frac{19}{20} $.

Ответ: $ \frac{15}{14} > \frac{19}{20} $.

2) Сравним дроби $ \frac{93}{95} $ и $ \frac{56}{53} $ с помощью промежуточного числа 1.

Дробь $ \frac{93}{95} $ является правильной, так как ее числитель (93) меньше знаменателя (95). Следовательно, $ \frac{93}{95} < 1 $.

Дробь $ \frac{56}{53} $ является неправильной, так как ее числитель (56) больше знаменателя (53). Следовательно, $ \frac{56}{53} > 1 $.

Так как $ \frac{93}{95} < 1 $, а $ \frac{56}{53} > 1 $, то $ \frac{93}{95} < \frac{56}{53} $.

Ответ: $ \frac{93}{95} < \frac{56}{53} $.

3) Сравним дроби $ \frac{17}{35} $ и $ \frac{19}{36} $ с помощью промежуточного числа $ \frac{1}{2} $.

Сравним первую дробь $ \frac{17}{35} $ с $ \frac{1}{2} $. Половина знаменателя 35 равна $ 35 \div 2 = 17,5 $. Так как числитель 17 меньше, чем 17,5, то дробь $ \frac{17}{35} < \frac{1}{2} $.

Сравним вторую дробь $ \frac{19}{36} $ с $ \frac{1}{2} $. Половина знаменателя 36 равна $ 36 \div 2 = 18 $. Так как числитель 19 больше, чем 18, то дробь $ \frac{19}{36} > \frac{1}{2} $.

Поскольку $ \frac{17}{35} < \frac{1}{2} $, а $ \frac{19}{36} > \frac{1}{2} $, то $ \frac{17}{35} < \frac{19}{36} $.

Ответ: $ \frac{17}{35} < \frac{19}{36} $.

4) Сравним дроби $ \frac{11}{21} $ и $ \frac{9}{22} $ с помощью промежуточного числа $ \frac{1}{2} $.

Сравним первую дробь $ \frac{11}{21} $ с $ \frac{1}{2} $. Половина знаменателя 21 равна $ 21 \div 2 = 10,5 $. Так как числитель 11 больше, чем 10,5, то дробь $ \frac{11}{21} > \frac{1}{2} $.

Сравним вторую дробь $ \frac{9}{22} $ с $ \frac{1}{2} $. Половина знаменателя 22 равна $ 22 \div 2 = 11 $. Так как числитель 9 меньше, чем 11, то дробь $ \frac{9}{22} < \frac{1}{2} $.

Поскольку $ \frac{11}{21} > \frac{1}{2} $, а $ \frac{9}{22} < \frac{1}{2} $, то $ \frac{11}{21} > \frac{9}{22} $.

Ответ: $ \frac{11}{21} > \frac{9}{22} $.

56. На координатной прямой (взяв за единичный отрезок длину 12 клеток тетради) отметить числа:

$ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{6}, \frac{5}{6}, \frac{1}{12}, \frac{3}{12}, \frac{7}{12}, \frac{13}{12}, \frac{17}{12}. $

Для решения задачи необходимо отметить заданные числа на координатной прямой. По условию, единичный отрезок, то есть расстояние от 0 до 1, равен 12 клеткам тетради. Это означает, что каждая клетка представляет собой $\frac{1}{12}$ единичного отрезка.
Чтобы найти положение любого числа на этой прямой, нужно умножить это число на 12 (длину единичного отрезка в клетках). Результат покажет, на каком расстоянии в клетках от начала координат (точки 0) находится данное число.
Другой способ — привести все дроби к общему знаменателю 12. Тогда числитель полученной дроби будет соответствовать номеру клетки, на которой нужно отметить число.

$\frac{1}{2}$
Найдем положение числа $\frac{1}{2}$ на прямой. Умножим дробь на 12: $12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.
Это значит, что число $\frac{1}{2}$ нужно отметить на расстоянии 6 клеток от начала координат.
Ответ: Число $\frac{1}{2}$ отмечается на 6-й клетке от точки 0.

$\frac{1}{3}$
Найдем положение числа $\frac{1}{3}$. Приведем дробь к знаменателю 12: $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$.
Либо умножим на 12: $12 \cdot \frac{1}{3} = 4$.
Это значит, что число $\frac{1}{3}$ нужно отметить на расстоянии 4 клеток от начала координат.
Ответ: Число $\frac{1}{3}$ отмечается на 4-й клетке от точки 0.

$\frac{2}{3}$
Найдем положение числа $\frac{2}{3}$. Умножим дробь на 12: $12 \cdot \frac{2}{3} = 4 \cdot 2 = 8$.
Это значит, что число $\frac{2}{3}$ нужно отметить на расстоянии 8 клеток от начала координат.
Ответ: Число $\frac{2}{3}$ отмечается на 8-й клетке от точки 0.

$\frac{1}{4}$
Найдем положение числа $\frac{1}{4}$. Умножим дробь на 12: $12 \cdot \frac{1}{4} = 3$.
Это значит, что число $\frac{1}{4}$ нужно отметить на расстоянии 3 клеток от начала координат.
Ответ: Число $\frac{1}{4}$ отмечается на 3-й клетке от точки 0.

$\frac{3}{4}$
Найдем положение числа $\frac{3}{4}$. Умножим дробь на 12: $12 \cdot \frac{3}{4} = 3 \cdot 3 = 9$.
Это значит, что число $\frac{3}{4}$ нужно отметить на расстоянии 9 клеток от начала координат.
Ответ: Число $\frac{3}{4}$ отмечается на 9-й клетке от точки 0.

$\frac{1}{6}$
Найдем положение числа $\frac{1}{6}$. Умножим дробь на 12: $12 \cdot \frac{1}{6} = 2$.
Это значит, что число $\frac{1}{6}$ нужно отметить на расстоянии 2 клеток от начала координат.
Ответ: Число $\frac{1}{6}$ отмечается на 2-й клетке от точки 0.

$\frac{5}{6}$
Найдем положение числа $\frac{5}{6}$. Умножим дробь на 12: $12 \cdot \frac{5}{6} = 2 \cdot 5 = 10$.
Это значит, что число $\frac{5}{6}$ нужно отметить на расстоянии 10 клеток от начала координат.
Ответ: Число $\frac{5}{6}$ отмечается на 10-й клетке от точки 0.

$\frac{1}{12}$
Знаменатель дроби уже 12, поэтому ее числитель показывает искомое количество клеток. $12 \cdot \frac{1}{12} = 1$.
Это значит, что число $\frac{1}{12}$ нужно отметить на расстоянии 1 клетки от начала координат.
Ответ: Число $\frac{1}{12}$ отмечается на 1-й клетке от точки 0.

$\frac{3}{12}$
Числитель дроби 3, знаменатель 12. $12 \cdot \frac{3}{12} = 3$.
Это значит, что число $\frac{3}{12}$ нужно отметить на расстоянии 3 клеток от начала координат. Заметим, что $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$, поэтому эта точка совпадает с точкой для числа $\frac{1}{4}$.
Ответ: Число $\frac{3}{12}$ отмечается на 3-й клетке от точки 0.

$\frac{7}{12}$
Числитель дроби 7, знаменатель 12. $12 \cdot \frac{7}{12} = 7$.
Это значит, что число $\frac{7}{12}$ нужно отметить на расстоянии 7 клеток от начала координат.
Ответ: Число $\frac{7}{12}$ отмечается на 7-й клетке от точки 0.

$\frac{13}{12}$
Эта дробь больше 1. Можно представить ее как $1 \frac{1}{12}$. Это значит, что точка будет на 1 клетку правее отметки 1. $12 \cdot \frac{13}{12} = 13$.
Это значит, что число $\frac{13}{12}$ нужно отметить на расстоянии 13 клеток от начала координат.
Ответ: Число $\frac{13}{12}$ отмечается на 13-й клетке от точки 0 (или на 1 клетку правее точки 1).

$\frac{17}{12}$
Эта дробь также больше 1. Можно представить ее как $1 \frac{5}{12}$. Это значит, что точка будет на 5 клеток правее отметки 1. $12 \cdot \frac{17}{12} = 17$.
Это значит, что число $\frac{17}{12}$ нужно отметить на расстоянии 17 клеток от начала координат.
Ответ: Число $\frac{17}{12}$ отмечается на 17-й клетке от точки 0 (или на 5 клеток правее точки 1).

57. Выполнить действие:

1) $\frac{15}{87} + \frac{29}{87}$;

2) $\frac{56}{103} + \frac{28}{103}$;

3) $\frac{63}{41} - \frac{37}{41}$;

4) $\frac{102}{39} - \frac{84}{39}$.

1) Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{15}{87} + \frac{29}{87} = \frac{15+29}{87} = \frac{44}{87}$
Проверим, можно ли сократить полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Разложим числа на простые множители: $44 = 2 \cdot 2 \cdot 11$, а $87 = 3 \cdot 29$. Так как общих множителей у чисел 44 и 87 нет, дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{44}{87}$

2) Для сложения дробей с одинаковыми знаменателями складываем их числители, а знаменатель оставляем прежним.
$\frac{56}{103} + \frac{28}{103} = \frac{56+28}{103} = \frac{84}{103}$
Знаменатель 103 является простым числом (делится только на 1 и на само себя). Числитель 84 на 103 не делится, следовательно, данная дробь несократима.
Ответ: $\frac{84}{103}$

3) Чтобы вычесть одну дробь из другой с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{63}{41} - \frac{37}{41} = \frac{63-37}{41} = \frac{26}{41}$
Знаменатель 41 — это простое число. Числитель 26 на 41 не делится. Значит, полученная дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{26}{41}$

4) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому для нахождения их разности нужно вычесть числители, а знаменатель оставить тем же.
$\frac{102}{39} - \frac{84}{39} = \frac{102-84}{39} = \frac{18}{39}$
Полученную дробь $\frac{18}{39}$ можно сократить. Найдем наибольший общий делитель для числителя 18 и знаменателя 39. $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$, $39 = 3 \cdot 13$. НОД(18, 39) = 3. Разделим числитель и знаменатель дроби на 3.
$\frac{18 \div 3}{39 \div 3} = \frac{6}{13}$
Ответ: $\frac{6}{13}$

58. Представить в виде смешанного числа неправильную дробь:

$\frac{47}{17}$, $\frac{58}{19}$, $\frac{83}{25}$, $\frac{96}{23}$.

Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель с остатком. Частное от деления будет целой частью смешанного числа, остаток — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

$\frac{47}{17}$

1. Разделим числитель 47 на знаменатель 17:

$47 \div 17 = 2$ (остаток $13$)

Это можно записать как $47 = 2 \times 17 + 13$.

2. Целая часть смешанного числа равна частному от деления, то есть 2.

3. Остаток от деления, равный 13, будет числителем дробной части.

4. Знаменатель остается тем же — 17.

Таким образом, неправильная дробь $\frac{47}{17}$ в виде смешанного числа записывается как $2\frac{13}{17}$.

Ответ: $2\frac{13}{17}$

$\frac{58}{19}$

1. Разделим числитель 58 на знаменатель 19:

$58 \div 19 = 3$ (остаток $1$)

Это можно записать как $58 = 3 \times 19 + 1$.

2. Целая часть равна 3.

3. Остаток, равный 1, будет числителем дробной части.

4. Знаменатель остается 19.

Следовательно, смешанное число равно $3\frac{1}{19}$.

Ответ: $3\frac{1}{19}$

$\frac{83}{25}$

1. Разделим числитель 83 на знаменатель 25:

$83 \div 25 = 3$ (остаток $8$)

Это можно записать как $83 = 3 \times 25 + 8$.

2. Целая часть равна 3.

3. Остаток, равный 8, будет числителем дробной части.

4. Знаменатель остается 25.

Следовательно, смешанное число равно $3\frac{8}{25}$.

Ответ: $3\frac{8}{25}$

$\frac{96}{23}$

1. Разделим числитель 96 на знаменатель 23:

$96 \div 23 = 4$ (остаток $4$)

Это можно записать как $96 = 4 \times 23 + 4$.

2. Целая часть равна 4.

3. Остаток, равный 4, будет числителем дробной части.

4. Знаменатель остается 23.

Следовательно, смешанное число равно $4\frac{4}{23}$.

Ответ: $4\frac{4}{23}$

59. Записать в виде неправильной дроби смешанное число:

$5\frac{7}{8}, 3\frac{9}{11}, 14\frac{3}{5}, 17\frac{5}{6}$

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Результат этого действия станет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним.
Общая формула преобразования: $A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

$5\frac{7}{8}$
Умножим целую часть (5) на знаменатель (8) и прибавим числитель (7):
$5\frac{7}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{40 + 7}{8} = \frac{47}{8}$.
Ответ: $\frac{47}{8}$.

$3\frac{9}{11}$
Умножим целую часть (3) на знаменатель (11) и прибавим числитель (9):
$3\frac{9}{11} = \frac{3 \cdot 11 + 9}{11} = \frac{33 + 9}{11} = \frac{42}{11}$.
Ответ: $\frac{42}{11}$.

$14\frac{3}{5}$
Умножим целую часть (14) на знаменатель (5) и прибавим числитель (3):
$14\frac{3}{5} = \frac{14 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{70 + 3}{5} = \frac{73}{5}$.
Ответ: $\frac{73}{5}$.

$17\frac{5}{6}$
Умножим целую часть (17) на знаменатель (6) и прибавим числитель (5):
$17\frac{5}{6} = \frac{17 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{102 + 5}{6} = \frac{107}{6}$.
Ответ: $\frac{107}{6}$.

60. Выполнить действие:

1) $2\frac{5}{7} + 3\frac{6}{7}$;

2) $1\frac{15}{19} + 5\frac{8}{19}$;

3) $5\frac{1}{2} - 2\frac{7}{9}$;

4) $26\frac{3}{11} - 19\frac{8}{11}$.

1) $2\frac{5}{7} + 3\frac{6}{7}$

Чтобы сложить смешанные числа с одинаковыми знаменателями, мы складываем их целые и дробные части по отдельности.

Сложение целых частей: $2 + 3 = 5$.

Сложение дробных частей: $\frac{5}{7} + \frac{6}{7} = \frac{5+6}{7} = \frac{11}{7}$.

Дробь $\frac{11}{7}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя. Выделим из нее целую часть: $\frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}$.

Теперь сложим результат сложения целых частей и полученное смешанное число: $5 + 1\frac{4}{7} = 6\frac{4}{7}$.

Ответ: $6\frac{4}{7}$.

2) $1\frac{15}{19} + 5\frac{8}{19}$

Складываем целые части: $1 + 5 = 6$.

Складываем дробные части: $\frac{15}{19} + \frac{8}{19} = \frac{15+8}{19} = \frac{23}{19}$.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{23}{19}$ в смешанное число, выделив целую часть: $\frac{23}{19} = 1\frac{4}{19}$.

Складываем полученные результаты: $6 + 1\frac{4}{19} = 7\frac{4}{19}$.

Ответ: $7\frac{4}{19}$.

3) $5\frac{1}{2} - 2\frac{7}{9}$

Для вычитания смешанных чисел с разными знаменателями, сначала приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 2 и 9 равно 18. Это и будет наш общий знаменатель.

Приводим дроби к знаменателю 18:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{9}{18}$

$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18}$

Теперь наше выражение выглядит так: $5\frac{9}{18} - 2\frac{14}{18}$.

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{9}{18}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{14}{18}$), нам нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого (у числа 5).

$5\frac{9}{18} = 4 + 1 + \frac{9}{18} = 4 + \frac{18}{18} + \frac{9}{18} = 4\frac{18+9}{18} = 4\frac{27}{18}$.

Теперь выполняем вычитание: $4\frac{27}{18} - 2\frac{14}{18}$.

Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$.

Вычитаем дробные части: $\frac{27}{18} - \frac{14}{18} = \frac{27-14}{18} = \frac{13}{18}$.

Объединяем результаты и получаем: $2\frac{13}{18}$.

Ответ: $2\frac{13}{18}$.

4) $26\frac{3}{11} - 19\frac{8}{11}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{11}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{8}{11}$). Поэтому необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого (у числа 26).

Представим 1 в виде дроби со знаменателем 11: $1 = \frac{11}{11}$.

$26\frac{3}{11} = 25 + 1 + \frac{3}{11} = 25 + \frac{11}{11} + \frac{3}{11} = 25\frac{14}{11}$.

Теперь наше выражение для вычитания выглядит так: $25\frac{14}{11} - 19\frac{8}{11}$.

Вычитаем целые части: $25 - 19 = 6$.

Вычитаем дробные части: $\frac{14}{11} - \frac{8}{11} = \frac{14-8}{11} = \frac{6}{11}$.

Соединяем целую и дробную части: $6\frac{6}{11}$.

Ответ: $6\frac{6}{11}$.

61. Привести к знаменателю 100 дроби:

1) $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{50}$;

2) $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{11}{20}$, $\frac{13}{25}$, $\frac{27}{50}$.

1) Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель (100) делят на знаменатель исходной дроби. Затем и числитель, и знаменатель исходной дроби умножают на этот дополнительный множитель.

• Для дроби $\frac{1}{2}$: дополнительный множитель равен $100 \div 2 = 50$.
  $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 50}{2 \cdot 50} = \frac{50}{100}$

• Для дроби $\frac{1}{4}$: дополнительный множитель равен $100 \div 4 = 25$.
  $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100}$

• Для дроби $\frac{1}{5}$: дополнительный множитель равен $100 \div 5 = 20$.
  $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{20}{100}$

• Для дроби $\frac{1}{10}$: дополнительный множитель равен $100 \div 10 = 10$.
  $\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{10}{100}$

• Для дроби $\frac{1}{20}$: дополнительный множитель равен $100 \div 20 = 5$.
  $\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{5}{100}$

• Для дроби $\frac{1}{25}$: дополнительный множитель равен $100 \div 25 = 4$.
  $\frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{4}{100}$

• Для дроби $\frac{1}{50}$: дополнительный множитель равен $100 \div 50 = 2$.
  $\frac{1}{50} = \frac{1 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{2}{100}$

Ответ: $\frac{50}{100}, \frac{25}{100}, \frac{20}{100}, \frac{10}{100}, \frac{5}{100}, \frac{4}{100}, \frac{2}{100}$.

2) Аналогично приведем к знаменателю 100 вторую группу дробей, используя тот же принцип нахождения дополнительного множителя.

• Для дроби $\frac{3}{4}$: дополнительный множитель равен $100 \div 4 = 25$.
  $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100}$

• Для дроби $\frac{4}{5}$: дополнительный множитель равен $100 \div 5 = 20$.
  $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{80}{100}$

• Для дроби $\frac{7}{10}$: дополнительный множитель равен $100 \div 10 = 10$.
  $\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{70}{100}$

• Для дроби $\frac{11}{20}$: дополнительный множитель равен $100 \div 20 = 5$.
  $\frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100}$

• Для дроби $\frac{13}{25}$: дополнительный множитель равен $100 \div 25 = 4$.
  $\frac{13}{25} = \frac{13 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{52}{100}$

• Для дроби $\frac{27}{50}$: дополнительный множитель равен $100 \div 50 = 2$.
  $\frac{27}{50} = \frac{27 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{54}{100}$

Ответ: $\frac{75}{100}, \frac{80}{100}, \frac{70}{100}, \frac{55}{100}, \frac{52}{100}, \frac{54}{100}$.

62. Сократить дроби до вида несократимой:

$ \frac{20}{48} $, $ \frac{16}{24} $, $ \frac{35}{15} $, $ \frac{45}{30} $, $ \frac{54}{72} $, $ \frac{66}{99} $, $ \frac{78}{91} $, $ \frac{90}{105} $.

$ \frac{20}{48} $. Чтобы сократить дробь, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. Для чисел 20 и 48 НОД равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $ \frac{20 \div 4}{48 \div 4} = \frac{5}{12} $. Дробь $ \frac{5}{12} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{5}{12} $

$ \frac{16}{24} $. Наибольший общий делитель для чисел 16 и 24 равен 8. Разделим числитель и знаменатель на 8: $ \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3} $. Дробь $ \frac{2}{3} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

$ \frac{35}{15} $. Наибольший общий делитель для чисел 35 и 15 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5: $ \frac{35 \div 5}{15 \div 5} = \frac{7}{3} $. Дробь $ \frac{7}{3} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{7}{3} $

$ \frac{45}{30} $. Наибольший общий делитель для чисел 45 и 30 равен 15. Разделим числитель и знаменатель на 15: $ \frac{45 \div 15}{30 \div 15} = \frac{3}{2} $. Дробь $ \frac{3}{2} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{3}{2} $

$ \frac{54}{72} $. Наибольший общий делитель для чисел 54 и 72 равен 18. Разделим числитель и знаменатель на 18: $ \frac{54 \div 18}{72 \div 18} = \frac{3}{4} $. Дробь $ \frac{3}{4} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{3}{4} $

$ \frac{66}{99} $. Наибольший общий делитель для чисел 66 и 99 равен 33. Разделим числитель и знаменатель на 33: $ \frac{66 \div 33}{99 \div 33} = \frac{2}{3} $. Дробь $ \frac{2}{3} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

$ \frac{78}{91} $. Найдем НОД для 78 и 91, разложив их на простые множители: $ 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13 $; $ 91 = 7 \cdot 13 $. НОД(78, 91) = 13. Разделим числитель и знаменатель на 13: $ \frac{78 \div 13}{91 \div 13} = \frac{6}{7} $. Дробь $ \frac{6}{7} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{6}{7} $

$ \frac{90}{105} $. Оба числа, 90 и 105, делятся на 5 и на 3, следовательно, они делятся на 15. НОД(90, 105) = 15. Разделим числитель и знаменатель на 15: $ \frac{90 \div 15}{105 \div 15} = \frac{6}{7} $. Дробь $ \frac{6}{7} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{6}{7} $