Страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

39. Перечислить все простые числа, меньшие 30.

Чтобы перечислить все простые числа, меньшие 30, необходимо определить, какие числа в диапазоне от 2 до 29 являются простыми.

Простое число — это натуральное число (целое положительное число), которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме 1, которые не являются простыми, называются составными. Число 1 не является ни простым, ни составным.

Для нахождения простых чисел можно использовать метод последовательной проверки делимости или метод "Решето Эратосфена". Рассмотрим последовательно все числа от 2 до 29:

• 2 - простое (делится только на 1 и 2).
• 3 - простое (делится только на 1 и 3).
• 4 - составное ($4 = 2 \times 2$).
• 5 - простое.
• 6 - составное ($6 = 2 \times 3$).
• 7 - простое.
• 8 - составное ($8 = 2 \times 4$).
• 9 - составное ($9 = 3 \times 3$).
• 10 - составное ($10 = 2 \times 5$).
• 11 - простое.
• 12 - составное ($12 = 2 \times 6$).
• 13 - простое.
• 14 - составное ($14 = 2 \times 7$).
• 15 - составное ($15 = 3 \times 5$).
• 16 - составное ($16 = 2 \times 8$).
• 17 - простое.
• 18 - составное ($18 = 2 \times 9$).
• 19 - простое.
• 20 - составное ($20 = 2 \times 10$).
• 21 - составное ($21 = 3 \times 7$).
• 22 - составное ($22 = 2 \times 11$).
• 23 - простое.
• 24 - составное ($24 = 2 \times 12$).
• 25 - составное ($25 = 5 \times 5$).
• 26 - составное ($26 = 2 \times 13$).
• 27 - составное ($27 = 3 \times 9$).
• 28 - составное ($28 = 2 \times 14$).
• 29 - простое.

Таким образом, мы нашли все простые числа, которые меньше 30.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

40. Перечислить все составные числа, меньшие 20.

Для решения этой задачи необходимо определить, что такое составное число, и затем последовательно проверить все натуральные числа, меньшие 20.

Составное число — это натуральное число (целое положительное число), которое имеет больше двух различных натуральных делителей. Иными словами, это число больше 1, которое не является простым. Напомним, что простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Нам нужно найти все составные числа в диапазоне от 1 до 19 включительно. Давайте проанализируем каждое число:

• 1 — не является ни простым, ни составным.
• 2 — простое число (делители: 1, 2).
• 3 — простое число (делители: 1, 3).
• 4 — составное, так как имеет делители 1, 2, 4. Например, $4 = 2 \times 2$.
• 5 — простое число (делители: 1, 5).
• 6 — составное, так как имеет делители 1, 2, 3, 6. Например, $6 = 2 \times 3$.
• 7 — простое число (делители: 1, 7).
• 8 — составное, так как имеет делители 1, 2, 4, 8. Например, $8 = 2 \times 4$.
• 9 — составное, так как имеет делители 1, 3, 9. Например, $9 = 3 \times 3$.
• 10 — составное, так как имеет делители 1, 2, 5, 10. Например, $10 = 2 \times 5$.
• 11 — простое число (делители: 1, 11).
• 12 — составное, так как имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 12. Например, $12 = 3 \times 4$.
• 13 — простое число (делители: 1, 13).
• 14 — составное, так как имеет делители 1, 2, 7, 14. Например, $14 = 2 \times 7$.
• 15 — составное, так как имеет делители 1, 3, 5, 15. Например, $15 = 3 \times 5$.
• 16 — составное, так как имеет делители 1, 2, 4, 8, 16. Например, $16 = 4 \times 4$.
• 17 — простое число (делители: 1, 17).
• 18 — составное, так как имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18. Например, $18 = 2 \times 9$.
• 19 — простое число (делители: 1, 19).

Собрав все найденные составные числа, получаем итоговый список.

Ответ: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

41. Разложить на простые множители числа: 96; 88; 130; 450.

Разложение числа на простые множители — это его представление в виде произведения простых чисел. Для нахождения этих множителей будем последовательно делить число на наименьшие простые делители (2, 3, 5, 7, ...).

1. Число 96 является чётным, поэтому его можно разделить на 2.
$96 \div 2 = 48$

2. Результат, 48, также является чётным числом. Делим его на 2.
$48 \div 2 = 24$

3. Продолжаем делить на 2, так как 24 — чётное число.
$24 \div 2 = 12$

4. Снова делим на 2.
$12 \div 2 = 6$

5. И ещё раз делим на 2.
$6 \div 2 = 3$

6. В результате получили 3, что является простым числом. Деление закончено.

Таким образом, мы собрали все простые множители: пять двоек и одна тройка. Запишем это в виде произведения:

$96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

Используя степени, получаем:

$96 = 2^5 \cdot 3$

Ответ: $96 = 2^5 \cdot 3$

1. Число 88 — чётное, делим его на 2.
$88 \div 2 = 44$

2. Результат, 44, — чётное число. Делим его на 2.
$44 \div 2 = 22$

3. Результат, 22, — чётное число. Делим его на 2.
$22 \div 2 = 11$

4. В результате получили 11, что является простым числом. Деление закончено.

Простые множители числа 88 — это три двойки и число 11:

$88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11$

Используя степени, получаем:

$88 = 2^3 \cdot 11$

Ответ: $88 = 2^3 \cdot 11$

1. Число 130 заканчивается на 0, значит оно чётное. Делим его на 2.
$130 \div 2 = 65$

2. Результат, 65, заканчивается на 5, следовательно, он делится на 5.
$65 \div 5 = 13$

3. В результате получили 13, что является простым числом. Деление закончено.

Простые множители числа 130 — это 2, 5 и 13:

$130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$

Ответ: $130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$

1. Число 450 заканчивается на 0, значит оно чётное. Делим его на 2.
$450 \div 2 = 225$

2. Результат, 225, заканчивается на 5, значит он делится на 5.
$225 \div 5 = 45$

3. Результат, 45, также заканчивается на 5. Делим его на 5.
$45 \div 5 = 9$

4. Результат, 9, делится на 3.
$9 \div 3 = 3$

5. В результате получили 3, что является простым числом. Деление закончено.

Простые множители числа 450 — это 2, две пятёрки и две тройки. Запишем их в порядке возрастания:

$450 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$

Используя степени, получаем:

$450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$

Ответ: $450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$

42. Перечислить все делители числа 18; 24; 35; 63.

18
Делитель числа — это натуральное число, на которое исходное число делится без остатка. Чтобы найти все делители числа 18, будем последовательно проверять деление на натуральные числа, начиная с 1. Если число делится без остатка, то и сам делитель, и частное от деления являются делителями исходного числа.
$18 \div 1 = 18$. Делителями являются 1 и 18.
$18 \div 2 = 9$. Делителями являются 2 и 9.
$18 \div 3 = 6$. Делителями являются 3 и 6.
Дальнейшая проверка показывает, что 18 не делится на 4 и 5. Следующим делителем был бы 6, который мы уже нашли, поэтому все делители найдены.
Перечислим все найденные делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

24
Найдем все натуральные делители числа 24, используя тот же метод.
$24 \div 1 = 24$. Делителями являются 1 и 24.
$24 \div 2 = 12$. Делителями являются 2 и 12.
$24 \div 3 = 8$. Делителями являются 3 и 8.
$24 \div 4 = 6$. Делителями являются 4 и 6.
Число 24 не делится на 5 без остатка. Следующий делитель 6 уже найден, значит, мы нашли все пары делителей.
Перечислим все найденные делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

35
Найдем все натуральные делители числа 35.
$35 \div 1 = 35$. Делителями являются 1 и 35.
Число 35 не делится без остатка на 2, 3, 4.
$35 \div 5 = 7$. Делителями являются 5 и 7.
Число 35 не делится на 6. Следующий делитель 7 уже есть в паре, значит, все делители найдены.
Перечислим все найденные делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 5, 7, 35.

63
Найдем все натуральные делители числа 63.
$63 \div 1 = 63$. Делителями являются 1 и 63.
Число 63 не делится без остатка на 2.
$63 \div 3 = 21$. Делителями являются 3 и 21.
Число 63 не делится без остатка на 4, 5, 6.
$63 \div 7 = 9$. Делителями являются 7 и 9.
Число 63 не делится на 8. Следующий делитель 9 уже найден, значит, все делители найдены.
Перечислим все найденные делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 3, 7, 9, 21, 63.

43. Указать пары взаимно простых чисел:

1) 101 и 102;

2) 31 и 46;

3) 45 и 99;

4) 54 и 35.

Взаимно простые числа — это целые числа, которые не имеют общих делителей, кроме 1. Другими словами, их наибольший общий делитель (НОД) должен быть равен 1. Проанализируем каждую из предложенных пар.

1) 101 и 102

Эти два числа являются последовательными. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты. Это можно доказать так: пусть $d$ — их общий делитель. Тогда $d$ делит 101 и $d$ делит 102. Следовательно, $d$ должен делить и их разность: $102 - 101 = 1$. Единственным натуральным числом, которое делит 1, является само число 1. Таким образом, $НОД(101, 102) = 1$.
Также можно разложить числа на простые множители:
Число 101 — простое.
$102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17$.
У чисел 101 и 102 нет общих простых множителей, значит, они взаимно простые.
Ответ: являются взаимно простыми.

2) 31 и 46

Для проверки разложим оба числа на простые множители.
Число 31 — простое.
$46 = 2 \cdot 23$.
У чисел 31 и 46 нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1, $НОД(31, 46) = 1$.
Ответ: являются взаимно простыми.

3) 45 и 99

Проверим числа на наличие общих делителей. Оба числа делятся на 3 (сумма цифр 45 равна $4+5=9$, сумма цифр 99 равна $9+9=18$, обе суммы делятся на 3). Также оба числа делятся на 9.
Разложим на простые множители:
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
$99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$.
У чисел есть общий делитель 9. $НОД(45, 99) = 9$. Так как НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.
Ответ: не являются взаимно простыми.

4) 54 и 35

Разложим числа на простые множители.
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$.
$35 = 5 \cdot 7$.
У чисел 54 и 35 нет общих простых множителей. Это означает, что их наибольший общий делитель равен 1, $НОД(54, 35) = 1$.
Ответ: являются взаимно простыми.

Таким образом, пары взаимно простых чисел находятся в пунктах 1, 2 и 4.

44. Найти наибольший общий делитель чисел:

1) 270 и 360;

2) 420 и 504;

3) 540 и 612;

4) 456 и 552.

1) 270 и 360
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложим их на простые множители.
Разложим число 270:
$270 = 27 \cdot 10 = 3^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$
Разложим число 360:
$360 = 36 \cdot 10 = 6^2 \cdot 2 \cdot 5 = (2 \cdot 3)^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$
Теперь выберем общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в оба разложения, и перемножим их.
Общие множители: 2, 3, 5.
Наименьшая степень для множителя 2 - это $2^1$.
Наименьшая степень для множителя 3 - это $3^2$.
Наименьшая степень для множителя 5 - это $5^1$.
$НОД(270, 360) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.
Ответ: 90

2) 420 и 504
Разложим числа 420 и 504 на простые множители.
Разложим число 420:
$420 = 42 \cdot 10 = 6 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
Разложим число 504:
$504 = 2 \cdot 252 = 2^2 \cdot 126 = 2^3 \cdot 63 = 2^3 \cdot 9 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$
Выберем общие простые множители в наименьшей степени и перемножим их.
Общие множители: 2, 3, 7.
Наименьшая степень для множителя 2 - это $2^2$.
Наименьшая степень для множителя 3 - это $3^1$.
Наименьшая степень для множителя 7 - это $7^1$.
$НОД(420, 504) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$.
Ответ: 84

3) 540 и 612
Разложим числа 540 и 612 на простые множители.
Разложим число 540:
$540 = 54 \cdot 10 = 2 \cdot 27 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$
Разложим число 612:
$612 = 2 \cdot 306 = 2^2 \cdot 153 = 2^2 \cdot 3 \cdot 51 = 2^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 17$
Выберем общие простые множители в наименьшей степени и перемножим их.
Общие множители: 2, 3.
Наименьшая степень для множителя 2 - это $2^2$.
Наименьшая степень для множителя 3 - это $3^2$.
$НОД(540, 612) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

4) 456 и 552
Разложим числа 456 и 552 на простые множители.
Разложим число 456:
$456 = 2 \cdot 228 = 2^2 \cdot 114 = 2^3 \cdot 57 = 2^3 \cdot 3 \cdot 19$
Разложим число 552:
$552 = 2 \cdot 276 = 2^2 \cdot 138 = 2^3 \cdot 69 = 2^3 \cdot 3 \cdot 23$
Выберем общие простые множители в наименьшей степени и перемножим их.
Общие множители: 2, 3.
Наименьшая степень для множителя 2 - это $2^3$.
Наименьшая степень для множителя 3 - это $3^1$.
$НОД(456, 552) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24

45. В цветочный магазин привезли:

1) 63 розы и 77 веточек аспарагуса;

2) 65 роз и 91 веточку аспарагуса.

Из них сделали несколько одинаковых букетов. Сколько получилось букетов?

1) Чтобы определить, сколько одинаковых букетов можно составить, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) количества роз и количества веточек аспарагуса. Это число покажет максимальное количество одинаковых букетов, в каждом из которых будет одинаковое число роз и одинаковое число веточек аспарагуса.
Найдем НОД для чисел 63 и 77.
Для этого разложим оба числа на простые множители:
$63 = 3 \cdot 3 \cdot 7$
$77 = 7 \cdot 11$
Общим простым множителем для этих чисел является 7. Следовательно, $НОД(63, 77) = 7$.
Таким образом, можно сделать 7 одинаковых букетов. Каждый букет будет состоять из $63 \div 7 = 9$ роз и $77 \div 7 = 11$ веточек аспарагуса.
Ответ: 7 букетов.

2) Аналогично первому случаю, найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 65 и 91.
Разложим оба числа на простые множители:
$65 = 5 \cdot 13$
$91 = 7 \cdot 13$
Общим простым множителем для этих чисел является 13. Следовательно, $НОД(65, 91) = 13$.
Таким образом, можно сделать 13 одинаковых букетов. Каждый букет будет состоять из $65 \div 13 = 5$ роз и $91 \div 13 = 7$ веточек аспарагуса.
Ответ: 13 букетов.

46. Записать три числа, кратных числу 13; 17; 25; 31.

Число A называется кратным числу B, если оно делится на B без остатка. Чтобы найти кратные для заданного числа, нужно умножить это число на любое целое число. Поскольку в задаче не указано, какие именно кратные нужно найти, мы можем выбрать любые. Найдем по три кратных для каждого числа, умножая его на целые числа, например, 2, 3 и 4.

13
Умножим число 13 на 2, 3 и 4, чтобы получить три его кратных:
$13 \times 2 = 26$
$13 \times 3 = 39$
$13 \times 4 = 52$
Ответ: 26, 39, 52.

17
Умножим число 17 на 2, 3 и 4, чтобы получить три его кратных:
$17 \times 2 = 34$
$17 \times 3 = 51$
$17 \times 4 = 68$
Ответ: 34, 51, 68.

25
Умножим число 25 на 2, 3 и 4, чтобы получить три его кратных:
$25 \times 2 = 50$
$25 \times 3 = 75$
$25 \times 4 = 100$
Ответ: 50, 75, 100.

31
Умножим число 31 на 2, 3 и 4, чтобы получить три его кратных:
$31 \times 2 = 62$
$31 \times 3 = 93$
$31 \times 4 = 124$
Ответ: 62, 93, 124.

47. Найти наименьшее общее кратное чисел:

1) 12 и 36;

2) 60 и 12;

3) 20 и 50;

4) 100 и 40;

5) 42 и 28;

6) 54 и 24;

7) 4, 6 и 8;

8) 8, 10 и 12.

1) 12 и 36;
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел, одним из способов является разложение их на простые множители.
Разложим числа 12 и 36:
$12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$
$36 = 6 \times 6 = 2 \times 3 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
Теперь выпишем все простые множители, которые входят хотя бы в одно из разложений, и возьмем каждый из них в наибольшей степени, в которой он встречается.
Множитель 2 встречается в степени 2. Множитель 3 встречается в степени 2.
НОК(12, 36) = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
Также можно заметить, что 36 делится на 12. Если одно число делится на другое, их НОК равно большему из этих чисел.
Ответ: 36

2) 60 и 12;
Число 60 делится на 12 без остатка ($60 \div 12 = 5$). В этом случае наименьшее общее кратное равно большему числу.
НОК(60, 12) = 60.
Проверим через разложение на множители:
$60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
$12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$
Берем множители в наибольших степенях: $2^2$, $3^1$, $5^1$.
НОК(60, 12) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
Ответ: 60

3) 20 и 50;
Разложим числа 20 и 50 на простые множители:
$20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$
$50 = 5 \times 10 = 5 \times 2 \times 5 = 2 \times 5^2$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^2$ и $5^2$.
НОК(20, 50) = $2^2 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100$.
Ответ: 100

4) 100 и 40;
Разложим числа 100 и 40 на простые множители:
$100 = 10 \times 10 = 2 \times 5 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5^2$
$40 = 4 \times 10 = 2^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^3$ и $5^2$.
НОК(100, 40) = $2^3 \times 5^2 = 8 \times 25 = 200$.
Ответ: 200

5) 42 и 28;
Разложим числа 42 и 28 на простые множители:
$42 = 6 \times 7 = 2 \times 3 \times 7$
$28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^2$, $3^1$ и $7^1$.
НОК(42, 28) = $2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84$.
Ответ: 84

6) 54 и 24;
Разложим числа 54 и 24 на простые множители:
$54 = 6 \times 9 = 2 \times 3 \times 3^2 = 2 \times 3^3$
$24 = 4 \times 6 = 2^2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^3$ и $3^3$.
НОК(54, 24) = $2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$.
Ответ: 216

7) 4, 6 и 8;
Разложим числа 4, 6 и 8 на простые множители:
$4 = 2^2$
$6 = 2 \times 3$
$8 = 2^3$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя из всех разложений: $2^3$ и $3^1$.
НОК(4, 6, 8) = $2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$.
Ответ: 24

8) 8, 10 и 12.
Разложим числа 8, 10 и 12 на простые множители:
$8 = 2^3$
$10 = 2 \times 5$
$12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя из всех разложений: $2^3$, $3^1$ и $5^1$.
НОК(8, 10, 12) = $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
Ответ: 120

48. Сконструировать признак делимости чисел на:

1) 15;

2) 21;

3) 14;

4) 22.

Общий принцип для конструирования признака делимости на составное число $N$ заключается в следующем: если число $N$ можно разложить на взаимно простые множители $a$ и $b$ (то есть их наибольший общий делитель $НОД(a, b) = 1$), то некоторое число делится на $N$ тогда и только тогда, когда оно делится и на $a$, и на $b$.

1) 15;

Разложим число 15 на взаимно простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Числа 3 и 5 являются взаимно простыми, так как $НОД(3, 5) = 1$. Следовательно, для того чтобы число делилось на 15, оно должно делиться одновременно и на 3, и на 5.

Используем известные признаки делимости:
- Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3.
- Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5.

Объединяя эти два условия, получаем искомый признак.
Ответ: Число делится на 15, если сумма его цифр делится на 3 и его последняя цифра — 0 или 5.

2) 21;

Разложим число 21 на взаимно простые множители: $21 = 3 \cdot 7$. Числа 3 и 7 являются взаимно простыми ($НОД(3, 7) = 1$). Значит, число делится на 21, если оно делится одновременно на 3 и на 7.

Используем известные признаки делимости:
- Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3.
- Признак делимости на 7: число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа, образованного остальными цифрами, делится на 7 (например, для числа 343 проверка выглядит так: $34 - 2 \cdot 3 = 28$; так как 28 делится на 7, то и 343 делится на 7).

Объединив эти два правила, получаем признак делимости на 21.
Ответ: Число делится на 21, если оно одновременно делится на 3 (сумма его цифр делится на 3) и на 7.

3) 14;

Разложим число 14 на взаимно простые множители: $14 = 2 \cdot 7$. Числа 2 и 7 являются взаимно простыми ($НОД(2, 7) = 1$). Следовательно, число делится на 14, если оно делится одновременно на 2 и на 7.

Используем известные признаки делимости:
- Признак делимости на 2: число является четным, то есть оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
- Признак делимости на 7: описан в предыдущем пункте.

Таким образом, получаем искомый признак.
Ответ: Число делится на 14, если оно четное и при этом делится на 7.

4) 22;

Разложим число 22 на взаимно простые множители: $22 = 2 \cdot 11$. Числа 2 и 11 являются взаимно простыми ($НОД(2, 11) = 1$). Это означает, что число делится на 22, если оно делится одновременно на 2 и на 11.

Используем известные признаки делимости:
- Признак делимости на 2: число является четным.
- Признак делимости на 11: знакопеременная сумма цифр числа делится на 11. Для числа, записанного цифрами $d_k d_{k-1} ... d_1 d_0$, это означает, что сумма $d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots$ делится на 11 (например, для числа 13574: $4-7+5-3+1=0$; так как 0 делится на 11, то и 13574 делится на 11).

Объединяя два признака, получаем искомый.
Ответ: Число делится на 22, если оно четное и его знакопеременная сумма цифр делится на 11.

49. Придумать число, кратное 4, которое:

1) при делении на 3 давало бы в остатке 1;

2) при делении на 5 давало бы остаток 2.

Задача состоит в том, чтобы найти число x, которое одновременно удовлетворяет трем условиям: оно кратно 4, при делении на 3 дает в остатке 1, и при делении на 5 дает в остатке 2.

Запишем эти условия в виде системы математических сравнений:
$x \equiv 0 \pmod{4}$
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{5}$

Для решения задачи будем последовательно проверять числа, начиная с основного условия — кратности 4. Выпишем несколько таких чисел в порядке возрастания: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ...

Теперь из этого списка выберем те числа, которые удовлетворяют условию 1) при делении на 3 давало бы в остатке 1. Для этого проверим остаток от деления каждого числа на 3:
- Число 4: $4 = 3 \cdot 1 + 1$. Остаток 1. Подходит.
- Число 8: $8 = 3 \cdot 2 + 2$. Остаток 2. Не подходит.
- Число 12: $12 = 3 \cdot 4 + 0$. Остаток 0. Не подходит.
- Число 16: $16 = 3 \cdot 5 + 1$. Остаток 1. Подходит.
- Число 20: $20 = 3 \cdot 6 + 2$. Остаток 2. Не подходит.
- Число 24: $24 = 3 \cdot 8 + 0$. Остаток 0. Не подходит.
- Число 28: $28 = 3 \cdot 9 + 1$. Остаток 1. Подходит.
- ...и так далее.

Таким образом, у нас остался новый, более короткий список чисел-кандидатов. Все они кратны 4 и при делении на 3 дают в остатке 1: 4, 16, 28, 40, 52, 64, ...

Наконец, проверим числа из этого нового списка на соответствие последнему условию 2) при делении на 5 давало бы остаток 2.
- Число 4: при делении на 5 дает остаток 4. Не подходит.
- Число 16: $16 = 5 \cdot 3 + 1$. Остаток 1. Не подходит.
- Число 28: $28 = 5 \cdot 5 + 3$. Остаток 3. Не подходит.
- Число 40: $40 = 5 \cdot 8 + 0$. Остаток 0. Не подходит.
- Число 52: $52 = 5 \cdot 10 + 2$. Остаток 2. Подходит!

Мы нашли первое число, которое удовлетворяет всем трем заданным условиям. Проведем финальную проверку для числа 52:
1. Является ли кратным 4? Да, $52 = 4 \times 13$.
2. Дает ли остаток 1 при делении на 3? Да, $52 = 3 \times 17 + 1$.
3. Дает ли остаток 2 при делении на 5? Да, $52 = 5 \times 10 + 2$.

Все условия выполнены.

Ответ: 52

50. Передние колёса детской машинки имеют длины окружности 21 см, а задние — 33 см. Найти наименьшее расстояние, ко- торое должна проехать эта машинка, чтобы и передние, и за- дние колёса сделали целое число оборотов.

Для того чтобы и передние, и задние колёса сделали целое число оборотов, общее пройденное расстояние должно быть кратно длинам окружностей обоих колёс. Длина окружности переднего колеса составляет 21 см, а заднего — 33 см. Следовательно, искомое расстояние должно быть общим кратным чисел 21 и 33.

В задаче требуется найти наименьшее такое расстояние, а это значит, что нам нужно найти Наименьшее Общее Кратноe (НОК) чисел 21 и 33.

Для нахождения НОК, сначала разложим числа 21 и 33 на простые множители:
$21 = 3 \cdot 7$
$33 = 3 \cdot 11$

Теперь найдём НОК, перемножив все простые множители, входящие в разложения, в их наивысших степенях. В данном случае это множители 3, 7 и 11, все в первой степени.
$НОК(21, 33) = 3 \cdot 7 \cdot 11 = 231$

Таким образом, наименьшее расстояние, которое должна проехать машинка, составляет 231 см. На этом расстоянии передние колёса сделают $231 / 21 = 11$ оборотов, а задние — $231 / 33 = 7$ оборотов. Оба числа являются целыми, что соответствует условию задачи.

Ответ: 231 см.

51. На спортивном празднике семиклассники сначала построились в ряды по 6 человек в каждом, а затем построились по 4 человека в ряду. Сколько семиклассников участвовало в празднике, если известно, что их было больше 70, но меньше 80?

Пусть $N$ — общее количество семиклассников, участвовавших в спортивном празднике.

По условию задачи, всех семиклассников можно построить в ряды по 6 человек. Это означает, что общее число участников $N$ должно делиться на 6 без остатка.

Также по условию, их можно построить в ряды по 4 человека. Это означает, что общее число участников $N$ должно делиться и на 4 без остатка.

Таким образом, число $N$ должно быть одновременно кратно и 4, и 6. Чтобы найти такое число, мы должны найти их общее кратное. Для этого сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 6.

Разложим числа 4 и 6 на простые множители:
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$

Для нахождения НОК возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим их:
$НОК(4, 6) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Следовательно, общее количество семиклассников $N$ должно быть кратно 12.

В задаче также указано, что количество семиклассников было больше 70, но меньше 80. Запишем это в виде двойного неравенства:
$70 < N < 80$.

Теперь найдем число, кратное 12, которое удовлетворяет этому неравенству. Выпишем последовательность чисел, кратных 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...

Из этого ряда выберем число, которое находится в интервале от 70 до 80.
Число 60 меньше 70, поэтому не подходит.
Число 72 больше 70 и меньше 80 ($70 < 72 < 80$), поэтому оно подходит.
Число 84 больше 80, поэтому не подходит.

Единственное число, которое удовлетворяет всем условиям задачи, — это 72.

Ответ: 72.