Страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

22. Найти два числа, если:

1) их сумма равна 239, а разность — 41;

2) их разность равна 54, а сумма — 402.

1) Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. Согласно условию, их сумма равна 239, а разность равна 41. Мы можем записать эти условия в виде системы двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 239 \\ x - y = 41 \end{cases} $

Чтобы найти значения переменных, сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 239 + 41$

Приводим подобные слагаемые:

$2x = 280$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{280}{2} = 140$

Теперь, когда мы знаем значение $x$, подставим его в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$140 + y = 239$

Выразим $y$:

$y = 239 - 140 = 99$

Итак, первое число равно 140, а второе — 99.

Ответ: 140 и 99.

2) Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. По условию, их разность равна 54, а сумма равна 402. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 54 \\ x + y = 402 \end{cases} $

Снова используем метод сложения. Сложим два уравнения:

$(x - y) + (x + y) = 54 + 402$

Приводим подобные слагаемые:

$2x = 456$

Находим значение $x$:

$x = \frac{456}{2} = 228$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:

$228 + y = 402$

Выразим $y$:

$y = 402 - 228 = 174$

Таким образом, первое число равно 228, а второе — 174.

Ответ: 228 и 174.

23. Определить по схеме время, за которое первый мотоциклист догонит второго (рис. 1), если двигаться они начали одновременно.

a) $v_1 = 85$ км/ч

$v_2 = 62$ км/ч

$s = 92$ км

б) $v_2 = 54$ км/ч

$v_1 = 71$ км/ч

$s = 85$ км

Рис. 1

а)

В этом сценарии мотоциклисты движутся в одном направлении. Первый мотоциклист находится позади и движется с большей скоростью, поэтому он будет догонять второго. Чтобы найти время, через которое произойдет встреча, нужно использовать понятие скорости сближения. При движении в одном направлении скорость сближения равна разности скоростей объектов.

Формула для скорости сближения:

$v_{сбл} = v_1 - v_2$

Подставим значения, указанные на схеме:

$v_{сбл} = 85 \text{ км/ч} - 62 \text{ км/ч} = 23 \text{ км/ч}$

Время $t$, необходимое для того, чтобы догнать второго мотоциклиста, можно найти, разделив начальное расстояние $s$ на скорость сближения:

$t = \frac{s}{v_{сбл}}$

Произведем расчет:

$t = \frac{92 \text{ км}}{23 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: 4 ч.

б)

В данном случае мотоциклисты движутся навстречу друг другу. Время до их встречи также определяется через скорость сближения. При встречном движении скорость сближения равна сумме скоростей объектов.

Формула для скорости сближения:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Подставим значения из схемы:

$v_{сбл} = 71 \text{ км/ч} + 54 \text{ км/ч} = 125 \text{ км/ч}$

Время до встречи $t$ вычисляется как отношение начального расстояния $s$ к скорости сближения:

$t = \frac{s}{v_{сбл}}$

Произведем расчет:

$t = \frac{85 \text{ км}}{125 \text{ км/ч}} = 0.68 \text{ ч}$

Ответ: 0.68 ч.

24. Определить расстояние, которое будет между велосипедистами через 2 ч от начала движения (рис. 2), если двигаться они начали одновременно.

a) $v_1=15$ км/ч $v_2=11$ км/ч

$s=7$ км

б) $v_1=15$ км/ч $v_2=11$ км/ч

$s=12$ км

В) $v_1=11$ км/ч $v_2=15$ км/ч

$s=10$ км

Рис. 2

a)

В данном случае велосипедисты движутся в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга. Скорость первого велосипедиста $v_1 = 15$ км/ч, а скорость второго $v_2 = 11$ км/ч. Начальное расстояние между ними $s_0 = 7$ км. Время движения $t = 2$ ч.

Поскольку велосипедисты движутся в разные стороны, их относительная скорость (скорость удаления) равна сумме их скоростей:

$v_{отн} = v_1 + v_2 = 15 \text{ км/ч} + 11 \text{ км/ч} = 26 \text{ км/ч}$

За 2 часа расстояние между ними увеличится на величину $\Delta s$, которая вычисляется по формуле:

$\Delta s = v_{отн} \cdot t = 26 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 52 \text{ км}$

Итоговое расстояние $S$ между велосипедистами будет равно сумме начального расстояния и увеличения расстояния за время движения:

$S = s_0 + \Delta s = 7 \text{ км} + 52 \text{ км} = 59 \text{ км}$

Ответ: 59 км.

б)

В этом случае велосипедисты движутся в одном направлении. Первый велосипедист, который находится сзади, имеет скорость $v_1 = 15$ км/ч, а второй, который впереди, движется со скоростью $v_2 = 11$ км/ч. Начальное расстояние между ними $s_0 = 12$ км. Время движения $t = 2$ ч.

Так как скорость догоняющего велосипедиста больше скорости уезжающего ($v_1 > v_2$), расстояние между ними будет сокращаться. Это движение вдогонку. Их относительная скорость (скорость сближения) равна разности их скоростей:

$v_{отн} = v_1 - v_2 = 15 \text{ км/ч} - 11 \text{ км/ч} = 4 \text{ км/ч}$

За 2 часа расстояние между ними сократится на величину $\Delta s$:

$\Delta s = v_{отн} \cdot t = 4 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 8 \text{ км}$

Итоговое расстояние $S$ будет равно разности начального расстояния и величины, на которую оно сократилось:

$S = s_0 - \Delta s = 12 \text{ км} - 8 \text{ км} = 4 \text{ км}$

Ответ: 4 км.

в)

Здесь велосипедисты также движутся в одном направлении. Первый велосипедист, который находится сзади, имеет скорость $v_1 = 11$ км/ч, а второй, который впереди, движется со скоростью $v_2 = 15$ км/ч. Начальное расстояние между ними $s_0 = 10$ км. Время движения $t = 2$ ч.

Так как скорость велосипедиста, едущего впереди, больше скорости того, кто едет сзади ($v_2 > v_1$), расстояние между ними будет увеличиваться. Это движение с отставанием. Их относительная скорость (скорость удаления) равна разности их скоростей:

$v_{отн} = v_2 - v_1 = 15 \text{ км/ч} - 11 \text{ км/ч} = 4 \text{ км/ч}$

За 2 часа расстояние между ними увеличится на величину $\Delta s$:

$\Delta s = v_{отн} \cdot t = 4 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 8 \text{ км}$

Итоговое расстояние $S$ будет равно сумме начального расстояния и величины, на которую оно увеличилось:

$S = s_0 + \Delta s = 10 \text{ км} + 8 \text{ км} = 18 \text{ км}$

Ответ: 18 км.