Страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

25. Доказать, что число 57; 95 делится на 19, представив его в виде $19 \cdot k$, где $k$ — натуральное число.

Для того чтобы доказать, что число 5795 делится на 19, необходимо, согласно условию задачи, представить его в виде произведения $19 \cdot k$, где $k$ — натуральное число. Запись "57; 95" в условии трактуется как единое число 5795, так как в тексте используется слово "число" в единственном числе.

Представим число 5795 в виде суммы двух слагаемых, чтобы упростить задачу: $5795 = 5700 + 95$

Теперь покажем, что каждое из этих слагаемых делится на 19.

Первое слагаемое 5700 можно представить в виде произведения $57 \cdot 100$. Известно, что $57 = 3 \cdot 19$. Следовательно: $5700 = (3 \cdot 19) \cdot 100 = 19 \cdot (3 \cdot 100) = 19 \cdot 300$

Второе слагаемое 95 также легко представить в виде произведения с множителем 19: $95 = 5 \cdot 19$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную сумму: $5795 = 5700 + 95 = 19 \cdot 300 + 19 \cdot 5$

Используя распределительный закон умножения (вынесение общего множителя за скобки), получим: $19 \cdot 300 + 19 \cdot 5 = 19 \cdot (300 + 5) = 19 \cdot 305$

Таким образом, мы представили число 5795 в виде $19 \cdot k$, где $k = 305$. Поскольку 305 является натуральным числом, доказательство того, что 5795 делится на 19, завершено.

Ответ: $5795 = 19 \cdot 305$.

26. Объяснить, почему на 7 делится сумма:

1) $49 + 63$;

2) $1400 + 77$.

1) Для того чтобы доказать, что сумма $49 + 63$ делится на 7, можно использовать свойство делимости суммы. Это свойство гласит: если каждое слагаемое в сумме делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Проверим каждое слагаемое отдельно:
Первое слагаемое — это число 49. Оно делится на 7 без остатка, так как $49 = 7 \times 7$.
Второе слагаемое — это число 63. Оно также делится на 7 без остатка, так как $63 = 7 \times 9$.
Поскольку оба слагаемых, и 49, и 63, делятся на 7, то согласно свойству делимости, их сумма также будет делиться на 7.
Это можно показать и с помощью вынесения общего множителя за скобки: $49 + 63 = (7 \times 7) + (7 \times 9) = 7 \times (7 + 9) = 7 \times 16$.
Полученное произведение $7 \times 16$ очевидно делится на 7.
Ответ: Сумма делится на 7, потому что каждое слагаемое (49 и 63) делится на 7.

2) Объяснение для суммы $1400 + 77$ строится на том же свойстве делимости суммы.
Проверим делимость каждого слагаемого на 7:
Первое слагаемое — 1400. Оно делится на 7 без остатка, так как $1400 = 14 \times 100 = (7 \times 2) \times 100 = 7 \times 200$.
Второе слагаемое — 77. Оно также делится на 7 без остатка: $77 = 7 \times 11$.
Так как оба слагаемых, 1400 и 77, делятся на 7, то и их сумма делится на 7.
Вынесем общий множитель 7 за скобки для наглядности: $1400 + 77 = (7 \times 200) + (7 \times 11) = 7 \times (200 + 11) = 7 \times 211$.
Так как в полученном произведении один из множителей равен 7, то оно делится на 7.
Ответ: Сумма делится на 7, потому что каждое слагаемое (1400 и 77) делится на 7.

27. Выбирая числа из набора: 54, 87, 280, 738, 170, 225, 360, 564, заполнить таблицу (каждое число может попасть более чем в одну клетку таблицы):

Для решения задачи необходимо проверить каждое число из набора {54, 87, 280, 738, 170, 225, 360, 564} на делимость, используя соответствующие признаки делимости.

Делится на 2

Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8).

Проверим числа из набора:

• 54 - последняя цифра 4 (четная), делится.
• 87 - последняя цифра 7 (нечетная), не делится.
• 280 - последняя цифра 0 (четная), делится.
• 738 - последняя цифра 8 (четная), делится.
• 170 - последняя цифра 0 (четная), делится.
• 225 - последняя цифра 5 (нечетная), не делится.
• 360 - последняя цифра 0 (четная), делится.
• 564 - последняя цифра 4 (четная), делится.

Ответ: 54, 280, 738, 170, 360, 564.

Делится на 5

Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

Проверим числа из набора:

• 54 - последняя цифра 4, не делится.
• 87 - последняя цифра 7, не делится.
• 280 - последняя цифра 0, делится.
• 738 - последняя цифра 8, не делится.
• 170 - последняя цифра 0, делится.
• 225 - последняя цифра 5, делится.
• 360 - последняя цифра 0, делится.
• 564 - последняя цифра 4, не делится.

Ответ: 280, 170, 225, 360.

Делится на 10

Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра 0.

Проверим числа из набора:

• 54 - последняя цифра 4, не делится.
• 87 - последняя цифра 7, не делится.
• 280 - последняя цифра 0, делится.
• 738 - последняя цифра 8, не делится.
• 170 - последняя цифра 0, делится.
• 225 - последняя цифра 5, не делится.
• 360 - последняя цифра 0, делится.
• 564 - последняя цифра 4, не делится.

Ответ: 280, 170, 360.

Делится на 3

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Проверим числа из набора:

• 54: $5+4=9$. 9 делится на 3, значит, 54 делится.
• 87: $8+7=15$. 15 делится на 3, значит, 87 делится.
• 280: $2+8+0=10$. 10 не делится на 3, значит, 280 не делится.
• 738: $7+3+8=18$. 18 делится на 3, значит, 738 делится.
• 170: $1+7+0=8$. 8 не делится на 3, значит, 170 не делится.
• 225: $2+2+5=9$. 9 делится на 3, значит, 225 делится.
• 360: $3+6+0=9$. 9 делится на 3, значит, 360 делится.
• 564: $5+6+4=15$. 15 делится на 3, значит, 564 делится.

Ответ: 54, 87, 738, 225, 360, 564.

Делится на 9

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Проверим числа из набора:

• 54: $5+4=9$. 9 делится на 9, значит, 54 делится.
• 87: $8+7=15$. 15 не делится на 9, значит, 87 не делится.
• 280: $2+8+0=10$. 10 не делится на 9, значит, 280 не делится.
• 738: $7+3+8=18$. 18 делится на 9, значит, 738 делится.
• 170: $1+7+0=8$. 8 не делится на 9, значит, 170 не делится.
• 225: $2+2+5=9$. 9 делится на 9, значит, 225 делится.
• 360: $3+6+0=9$. 9 делится на 9, значит, 360 делится.
• 564: $5+6+4=15$. 15 не делится на 9, значит, 564 не делится.

Ответ: 54, 738, 225, 360.

Делится на 4

Признак делимости на 4: число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Проверим числа из набора:

• 54: последние две цифры 54. $54 \div 4 = 13.5$, не делится.
• 87: последние две цифры 87. $87 \div 4 = 21.75$, не делится.
• 280: последние две цифры 80. $80 \div 4 = 20$, делится.
• 738: последние две цифры 38. $38 \div 4 = 9.5$, не делится.
• 170: последние две цифры 70. $70 \div 4 = 17.5$, не делится.
• 225: последние две цифры 25. $25 \div 4 = 6.25$, не делится.
• 360: последние две цифры 60. $60 \div 4 = 15$, делится.
• 564: последние две цифры 64. $64 \div 4 = 16$, делится.

Ответ: 280, 360, 564.

Делится на 6

Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится одновременно и на 2, и на 3.

Воспользуемся результатами, полученными ранее:

• Числа, делящиеся на 2: {54, 280, 738, 170, 360, 564}.
• Числа, делящиеся на 3: {54, 87, 738, 225, 360, 564}.

Найдем общие числа в этих двух списках:

• 54 - делится и на 2, и на 3. Значит, делится на 6.
• 280 - делится на 2, но не на 3. Значит, не делится на 6.
• 738 - делится и на 2, и на 3. Значит, делится на 6.
• 170 - делится на 2, но не на 3. Значит, не делится на 6.
• 360 - делится и на 2, и на 3. Значит, делится на 6.
• 564 - делится и на 2, и на 3. Значит, делится на 6.

Ответ: 54, 738, 360, 564.

28. Не производя вычислений, установить, делится ли на 3 сумма чисел:

1) 241 и 111;

2) 543 и 252;

3) 3108 и 6468;

4) 5073 и 6254.

Для того чтобы определить, делится ли сумма чисел на 3, не выполняя сложения, необходимо использовать признак делимости на 3. Этот признак гласит, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Также воспользуемся свойством делимости суммы: сумма $(a+b)$ делится на 3, если сумма остатков от деления $a$ и $b$ на 3 также делится на 3. Так как остаток от деления числа на 3 совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 3, мы можем просто найти сумму цифр всех чисел и проверить, делится ли эта общая сумма на 3.

1) 241 и 111;
Найдем сумму цифр для каждого числа и сложим их.Сумма цифр числа 241: $2 + 4 + 1 = 7$.Сумма цифр числа 111: $1 + 1 + 1 = 3$.Общая сумма цифр: $7 + 3 = 10$.Число 10 не делится на 3 без остатка. Следовательно, сумма чисел 241 и 111 не делится на 3.
Ответ: не делится.

2) 543 и 252;
Найдем сумму цифр для каждого числа и сложим их.Сумма цифр числа 543: $5 + 4 + 3 = 12$.Сумма цифр числа 252: $2 + 5 + 2 = 9$.Общая сумма цифр: $12 + 9 = 21$.Число 21 делится на 3 без остатка ($21 = 3 \cdot 7$). Следовательно, сумма чисел 543 и 252 делится на 3.
Ответ: делится.

3) 3108 и 6468;
Найдем сумму цифр для каждого числа и сложим их.Сумма цифр числа 3108: $3 + 1 + 0 + 8 = 12$.Сумма цифр числа 6468: $6 + 4 + 6 + 8 = 24$.Общая сумма цифр: $12 + 24 = 36$.Число 36 делится на 3 без остатка ($36 = 3 \cdot 12$). Следовательно, сумма чисел 3108 и 6468 делится на 3.
Ответ: делится.

4) 5073 и 6254.
Найдем сумму цифр для каждого числа и сложим их.Сумма цифр числа 5073: $5 + 0 + 7 + 3 = 15$.Сумма цифр числа 6254: $6 + 2 + 5 + 4 = 17$.Общая сумма цифр: $15 + 17 = 32$.Число 32 не делится на 3 без остатка. Следовательно, сумма чисел 5073 и 6254 не делится на 3.
Ответ: не делится.

29. Опровергнуть высказывание с помощью контрпримера:

1) если каждое слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число;

2) если сумма двух чисел делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число;

3) если каждый множитель не делится на некоторое число, то и произведение не делится на это число;

4) если произведение двух чисел делится на некоторое число, то хотя бы один из множителей делится на это число.

1) если каждое слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число;Данное утверждение является ложным. Для его опровержения достаточно привести один контрпример. Возьмём в качестве слагаемых числа $a=3$ и $b=5$, а в качестве "некоторого числа" $n=4$. Первое слагаемое $a=3$ не делится нацело на $n=4$. Второе слагаемое $b=5$ также не делится нацело на $n=4$. Таким образом, условие утверждения выполнено. Теперь проверим их сумму: $a+b = 3+5=8$. Сумма $8$ делится нацело на $4$. Это противоречит заключению утверждения ("сумма не делится"). Следовательно, утверждение опровергнуто.
Ответ: Например, слагаемые 3 и 5 не делятся на 4, но их сумма 8 делится на 4.

2) если сумма двух чисел делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число;Данное утверждение является ложным. Приведём контрпример. Пусть слагаемые будут $a=4$ и $b=2$, а "некоторое число" $n=3$. Их сумма $a+b=4+2=6$. Сумма $6$ делится нацело на $3$, то есть условие утверждения выполнено. Однако слагаемое $a=4$ не делится нацело на $3$, и слагаемое $b=2$ не делится нацело на $3$. Таким образом, заключение "каждое слагаемое делится на это число" не выполняется. Следовательно, утверждение опровергнуто.
Ответ: Сумма $4+2=6$ делится на 3, но ни слагаемое 4, ни слагаемое 2 на 3 не делятся.

3) если каждый множитель не делится на некоторое число, то и произведение не делится на это число;Данное утверждение является ложным. Это легко показать на примере, где "некоторое число" является составным. Возьмём множители $a=2$ и $b=3$, а в качестве "некоторого числа" $n=6$. Множитель $a=2$ не делится нацело на $n=6$. Множитель $b=3$ не делится нацело на $n=6$. Условие утверждения выполнено. Их произведение равно $a \times b = 2 \times 3=6$. Произведение $6$ делится нацело на $6$. Это противоречит заключению утверждения ("произведение не делится"), поэтому оно опровергнуто.
Ответ: Множители 2 и 3 не делятся на 6, но их произведение 6 делится на 6.

4) если произведение двух чисел делится на некоторое число, то хотя бы один из множителей делится на это число.Данное утверждение является ложным. Оно справедливо только для простых чисел в качестве делителя. Если же "некоторое число" является составным, можно найти контрпример. Возьмём множители $a=4$ и $b=9$, а в качестве "некоторого числа" $n=6$. Их произведение $a \times b = 4 \times 9 = 36$. Произведение $36$ делится нацело на $n=6$ ($36 \div 6 = 6$), так что условие утверждения выполнено. Однако ни один из множителей не делится на $6$: $4$ не делится на $6$, и $9$ не делится на $6$. Заключение "хотя бы один из множителей делится на это число" не выполняется. Следовательно, утверждение опровергнуто.
Ответ: Произведение $4 \times 9=36$ делится на 6, но ни множитель 4, ни множитель 9 на 6 не делятся.