Номер 29, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Делимость чисел. Глава 1. Рациональные числа - номер 29, страница 16.

Условие.

29. Опровергнуть высказывание с помощью контрпримера:

1) если каждое слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число;

2) если сумма двух чисел делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число;

3) если каждый множитель не делится на некоторое число, то и произведение не делится на это число;

4) если произведение двух чисел делится на некоторое число, то хотя бы один из множителей делится на это число.

Решение 1.

Решение 5.

1) если каждое слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число;Данное утверждение является ложным. Для его опровержения достаточно привести один контрпример. Возьмём в качестве слагаемых числа $a=3$ и $b=5$, а в качестве "некоторого числа" $n=4$. Первое слагаемое $a=3$ не делится нацело на $n=4$. Второе слагаемое $b=5$ также не делится нацело на $n=4$. Таким образом, условие утверждения выполнено. Теперь проверим их сумму: $a+b = 3+5=8$. Сумма $8$ делится нацело на $4$. Это противоречит заключению утверждения ("сумма не делится"). Следовательно, утверждение опровергнуто.
Ответ: Например, слагаемые 3 и 5 не делятся на 4, но их сумма 8 делится на 4.

2) если сумма двух чисел делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число;Данное утверждение является ложным. Приведём контрпример. Пусть слагаемые будут $a=4$ и $b=2$, а "некоторое число" $n=3$. Их сумма $a+b=4+2=6$. Сумма $6$ делится нацело на $3$, то есть условие утверждения выполнено. Однако слагаемое $a=4$ не делится нацело на $3$, и слагаемое $b=2$ не делится нацело на $3$. Таким образом, заключение "каждое слагаемое делится на это число" не выполняется. Следовательно, утверждение опровергнуто.
Ответ: Сумма $4+2=6$ делится на 3, но ни слагаемое 4, ни слагаемое 2 на 3 не делятся.

3) если каждый множитель не делится на некоторое число, то и произведение не делится на это число;Данное утверждение является ложным. Это легко показать на примере, где "некоторое число" является составным. Возьмём множители $a=2$ и $b=3$, а в качестве "некоторого числа" $n=6$. Множитель $a=2$ не делится нацело на $n=6$. Множитель $b=3$ не делится нацело на $n=6$. Условие утверждения выполнено. Их произведение равно $a \times b = 2 \times 3=6$. Произведение $6$ делится нацело на $6$. Это противоречит заключению утверждения ("произведение не делится"), поэтому оно опровергнуто.
Ответ: Множители 2 и 3 не делятся на 6, но их произведение 6 делится на 6.

4) если произведение двух чисел делится на некоторое число, то хотя бы один из множителей делится на это число.Данное утверждение является ложным. Оно справедливо только для простых чисел в качестве делителя. Если же "некоторое число" является составным, можно найти контрпример. Возьмём множители $a=4$ и $b=9$, а в качестве "некоторого числа" $n=6$. Их произведение $a \times b = 4 \times 9 = 36$. Произведение $36$ делится нацело на $n=6$ ($36 \div 6 = 6$), так что условие утверждения выполнено. Однако ни один из множителей не делится на $6$: $4$ не делится на $6$, и $9$ не делится на $6$. Заключение "хотя бы один из множителей делится на это число" не выполняется. Следовательно, утверждение опровергнуто.
Ответ: Произведение $4 \times 9=36$ делится на 6, но ни множитель 4, ни множитель 9 на 6 не делятся.