Номер 32, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Делимость чисел. Глава 1. Рациональные числа - номер 32, страница 17.

Условие.

32. Установить, какую цифру (цифры) можно записать вместо звёздочки, чтобы полученное число делилось на 9:

1) $543*$;

2) $84*2$;

3) $56*7$;

4) $2*394$.

Решение 1.

Решение 5.

Для решения этой задачи используется признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Воспользуемся этим правилом для каждого случая, обозначив искомую цифру, которую нужно вписать вместо звёздочки, как $x$.

1) 543*:
Найдём сумму известных цифр числа: $5 + 4 + 3 = 12$.
Полная сумма цифр числа равна $S = 12 + x$.
Для того чтобы число делилось на 9, сумма его цифр $S$ должна быть кратна 9. Ищем такое значение $x$ (от 0 до 9), при котором $12+x$ делится на 9. Ближайшее к 12 (но не меньшее) число, кратное 9, это 18.
Составим уравнение: $12 + x = 18$.
Отсюда $x = 18 - 12 = 6$.
Следующее число, кратное 9, это 27, но тогда $12 + x = 27$ даёт $x = 15$, что не является цифрой. Следовательно, решение единственное.
Ответ: 6.

2) 84*2:
Сумма известных цифр числа: $8 + 4 + 2 = 14$.
Полная сумма цифр равна $S = 14 + x$.
Сумма $S$ должна быть кратна 9. Ближайшее к 14 (но не меньшее) число, кратное 9, это 18.
Составим уравнение: $14 + x = 18$.
Отсюда $x = 18 - 14 = 4$.
Проверка следующего кратного 9 числа (27) даёт $x = 13$, что не является цифрой.
Ответ: 4.

3) 56*7:
Сумма известных цифр числа: $5 + 6 + 7 = 18$.
Полная сумма цифр равна $S = 18 + x$.
Поскольку 18 уже делится на 9, то и $18 + x$ будет делиться на 9 только в том случае, если $x$ делится на 9. Так как $x$ — это цифра (от 0 до 9), возможны два варианта:
1. Если $x = 0$, то сумма цифр $S = 18 + 0 = 18$, что делится на 9.
2. Если $x = 9$, то сумма цифр $S = 18 + 9 = 27$, что делится на 9.
Ответ: 0, 9.

4) 2*394:
Сумма известных цифр числа: $2 + 3 + 9 + 4 = 18$.
Полная сумма цифр равна $S = 18 + x$.
Аналогично предыдущему пункту, так как 18 уже кратно 9, $x$ также должен быть кратен 9, чтобы сумма $S$ делилась на 9. Среди цифр от 0 до 9 этому условию удовлетворяют две:
1. Если $x = 0$, то сумма цифр $S = 18 + 0 = 18$, что делится на 9.
2. Если $x = 9$, то сумма цифр $S = 18 + 9 = 27$, что делится на 9.
Ответ: 0, 9.