Страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

30. Используя цифры 0, 4 и 5, записать все возможные трёхзначные числа (не имеющие в записи одинаковых цифр), которые делятся на:

1) $10$;

2) $5$;

3) $2$;

4) $9$.

Сначала составим все возможные трёхзначные числа из цифр 0, 4, 5 без повторений. Трёхзначное число не может начинаться с нуля, поэтому на первом месте (в разряде сотен) могут стоять только цифры 4 или 5.

Если первая цифра 4, то для оставшихся двух мест (десятки и единицы) используются цифры 0 и 5. Возможные комбинации: 405 и 450.

Если первая цифра 5, то для оставшихся двух мест используются цифры 0 и 4. Возможные комбинации: 504 и 540.

Таким образом, мы получили всего четыре возможных числа: 405, 450, 504, 540. Теперь проверим, какие из них удовлетворяют условиям задачи.

1) 10;

Согласно признаку делимости на 10, число должно оканчиваться на 0. Из нашего списка чисел {405, 450, 504, 540} этому условию удовлетворяют числа, у которых последняя цифра 0.

Это числа: 450, 540.
Ответ: 450, 540.

2) 5;

Согласно признаку делимости на 5, число должно оканчиваться на 0 или 5. Из нашего списка чисел {405, 450, 504, 540} этому условию удовлетворяют числа с последней цифрой 0 или 5.

Это числа: 405, 450, 540.
Ответ: 405, 450, 540.

3) 2;

Согласно признаку делимости на 2, число должно быть чётным, то есть оканчиваться на чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8). В нашем наборе цифр {0, 4, 5} чётными являются 0 и 4.

Этому условию удовлетворяют числа: 450, 504, 540.
Ответ: 450, 504, 540.

4) 9.

Согласно признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна делиться на 9. Все составленные нами числа состоят из одних и тех же цифр: 0, 4, 5.

Найдем сумму этих цифр: $4 + 0 + 5 = 9$.

Так как сумма цифр равна 9, а $9$ без остатка делится на $9$ ($9 \div 9 = 1$), то все составленные нами числа будут делиться на 9.

Это числа: 405, 450, 504, 540.
Ответ: 405, 450, 504, 540.

31. Сформулировать признак делимости на 8 и установить, какие из чисел: 51 072, 32 060, 145 104, 937 200 — делятся на 8.

Сформулировать признак делимости на 8

Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами (цифрами в разрядах сотен, десятков и единиц), делится на 8.

Обоснование: Любое натуральное число $N$ можно представить в виде $N = 1000 \cdot k + m$, где $m$ — это число, образованное тремя последними цифрами. Поскольку $1000$ делится на 8 без остатка ($1000 = 125 \cdot 8$), то слагаемое $1000 \cdot k$ всегда будет делиться на 8. Следовательно, делимость всего числа $N$ на 8 зависит только от того, делится ли на 8 число $m$.

Ответ: Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Установить, какие из чисел: 51 072, 32 060, 145 104, 937 200 — делятся на 8

Применим сформулированный признак для проверки каждого из предложенных чисел.

• Для числа 51 072: рассматриваем число, образованное последними тремя цифрами, — это 072, то есть 72. Проверяем, делится ли 72 на 8: $72 \div 8 = 9$. Так как 72 делится на 8 нацело, то и число 51 072 делится на 8.
• Для числа 32 060: рассматриваем число 060, то есть 60. Проверяем, делится ли 60 на 8: $60 \div 8 = 7$ (остаток 4). Так как 60 не делится на 8 нацело, то и число 32 060 не делится на 8.
• Для числа 145 104: рассматриваем число 104. Проверяем, делится ли 104 на 8: $104 \div 8 = 13$. Так как 104 делится на 8 нацело, то и число 145 104 делится на 8.
• Для числа 937 200: рассматриваем число 200. Проверяем, делится ли 200 на 8: $200 \div 8 = 25$. Так как 200 делится на 8 нацело, то и число 937 200 делится на 8.

Ответ: На 8 делятся числа 51 072, 145 104 и 937 200.

32. Установить, какую цифру (цифры) можно записать вместо звёздочки, чтобы полученное число делилось на 9:

1) $543*$;

2) $84*2$;

3) $56*7$;

4) $2*394$.

Для решения этой задачи используется признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Воспользуемся этим правилом для каждого случая, обозначив искомую цифру, которую нужно вписать вместо звёздочки, как $x$.

1) 543*:
Найдём сумму известных цифр числа: $5 + 4 + 3 = 12$.
Полная сумма цифр числа равна $S = 12 + x$.
Для того чтобы число делилось на 9, сумма его цифр $S$ должна быть кратна 9. Ищем такое значение $x$ (от 0 до 9), при котором $12+x$ делится на 9. Ближайшее к 12 (но не меньшее) число, кратное 9, это 18.
Составим уравнение: $12 + x = 18$.
Отсюда $x = 18 - 12 = 6$.
Следующее число, кратное 9, это 27, но тогда $12 + x = 27$ даёт $x = 15$, что не является цифрой. Следовательно, решение единственное.
Ответ: 6.

2) 84*2:
Сумма известных цифр числа: $8 + 4 + 2 = 14$.
Полная сумма цифр равна $S = 14 + x$.
Сумма $S$ должна быть кратна 9. Ближайшее к 14 (но не меньшее) число, кратное 9, это 18.
Составим уравнение: $14 + x = 18$.
Отсюда $x = 18 - 14 = 4$.
Проверка следующего кратного 9 числа (27) даёт $x = 13$, что не является цифрой.
Ответ: 4.

3) 56*7:
Сумма известных цифр числа: $5 + 6 + 7 = 18$.
Полная сумма цифр равна $S = 18 + x$.
Поскольку 18 уже делится на 9, то и $18 + x$ будет делиться на 9 только в том случае, если $x$ делится на 9. Так как $x$ — это цифра (от 0 до 9), возможны два варианта:
1. Если $x = 0$, то сумма цифр $S = 18 + 0 = 18$, что делится на 9.
2. Если $x = 9$, то сумма цифр $S = 18 + 9 = 27$, что делится на 9.
Ответ: 0, 9.

4) 2*394:
Сумма известных цифр числа: $2 + 3 + 9 + 4 = 18$.
Полная сумма цифр равна $S = 18 + x$.
Аналогично предыдущему пункту, так как 18 уже кратно 9, $x$ также должен быть кратен 9, чтобы сумма $S$ делилась на 9. Среди цифр от 0 до 9 этому условию удовлетворяют две:
1. Если $x = 0$, то сумма цифр $S = 18 + 0 = 18$, что делится на 9.
2. Если $x = 9$, то сумма цифр $S = 18 + 9 = 27$, что делится на 9.
Ответ: 0, 9.

33. Перечислить цифры, которые можно записать вместо звёздочки, чтобы образовавшееся число делилось на 3:

1) $7*2$;

2) $14*9$;

3) $2*54$;

4) $36*0$.

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Обозначим искомую цифру, которую нужно вставить вместо звёздочки, как $x$.

1) 7*2;

Рассмотрим число $7x2$. Сумма известных цифр равна $7 + 2 = 9$. Чтобы число делилось на 3, сумма всех его цифр $(9 + x)$ должна делиться на 3. Поскольку 9 уже делится на 3, то и $x$ должен быть цифрой, которая делится на 3. Подходящие цифры (от 0 до 9): 0 (сумма $9+0=9$), 3 (сумма $9+3=12$), 6 (сумма $9+6=15$) и 9 (сумма $9+9=18$).
Ответ: 0, 3, 6, 9.

2) 14*9;

Рассмотрим число $14x9$. Сумма известных цифр равна $1 + 4 + 9 = 14$. Сумма всех цифр числа равна $14 + x$. Эта сумма должна делиться на 3. Будем искать такие цифры $x$ (от 0 до 9), чтобы сумма $(14+x)$ была кратна 3. Ближайшие к 14 числа, которые делятся на 3, это 15, 18, 21. Чтобы получить эти суммы, $x$ должен быть равен: $15 - 14 = 1$; $18 - 14 = 4$; $21 - 14 = 7$. Следующее кратное трём число — 24, но тогда $x$ будет равен $24-14=10$, что не является цифрой.
Ответ: 1, 4, 7.

3) 2*54;

Рассмотрим число $2x54$. Сумма известных цифр равна $2 + 5 + 4 = 11$. Сумма всех цифр числа равна $11 + x$. Эта сумма должна делиться на 3. Будем искать такие цифры $x$ (от 0 до 9), чтобы сумма $(11+x)$ была кратна 3. Ближайшие к 11 числа, которые делятся на 3, это 12, 15, 18. Чтобы получить эти суммы, $x$ должен быть равен: $12 - 11 = 1$; $15 - 11 = 4$; $18 - 11 = 7$. Следующее кратное трём число — 21, но тогда $x$ будет равен $21-11=10$, что не является цифрой.
Ответ: 1, 4, 7.

4) 36*0.

Рассмотрим число $36x0$. Сумма известных цифр равна $3 + 6 + 0 = 9$. Сумма всех цифр числа равна $9 + x$. Эта сумма должна делиться на 3. Этот случай аналогичен первому пункту. Поскольку 9 делится на 3, то и $x$ должен быть цифрой, которая делится на 3. Подходящие цифры (от 0 до 9): 0 (сумма $9+0=9$), 3 (сумма $9+3=12$), 6 (сумма $9+6=15$) и 9 (сумма $9+9=18$).
Ответ: 0, 3, 6, 9.

34. Назвать цифру или цифры, которые можно записать вместо звёздочки, чтобы образовавшееся число делилось на 4:

1) $273*$;

2) $3148*$;

3) $576*2$;

4) $150*6$.

Для решения этой задачи используется признак делимости на 4: число делится на 4 без остатка, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Чтобы число $273*$ делилось на 4, число $3*$ должно делиться на 4. Проверим все возможные варианты для звездочки:

$30 \div 4 = 7,5$
$31 \div 4 = 7,75$
$32 \div 4 = 8$ (подходит)
$33 \div 4 = 8,25$
$34 \div 4 = 8,5$
$35 \div 4 = 8,75$
$36 \div 4 = 9$ (подходит)
$37 \div 4 = 9,25$
$38 \div 4 = 9,5$
$39 \div 4 = 9,75$

Подходят цифры 2 и 6.

Ответ: 2, 6.

Чтобы число $3148*$ делилось на 4, число $8*$ должно делиться на 4. Проверим все возможные варианты:

$80 \div 4 = 20$ (подходит)
$81 \div 4 = 20,25$
$82 \div 4 = 20,5$
$83 \div 4 = 20,75$
$84 \div 4 = 21$ (подходит)
$85 \div 4 = 21,25$
$86 \div 4 = 21,5$
$87 \div 4 = 21,75$
$88 \div 4 = 22$ (подходит)
$89 \div 4 = 22,25$

Подходят цифры 0, 4 и 8.

Ответ: 0, 4, 8.

Чтобы число $576*2$ делилось на 4, число $*2$ должно делиться на 4. Проверим все возможные варианты для звездочки:

$02 \div 4 = 0,5$
$12 \div 4 = 3$ (подходит)
$22 \div 4 = 5,5$
$32 \div 4 = 8$ (подходит)
$42 \div 4 = 10,5$
$52 \div 4 = 13$ (подходит)
$62 \div 4 = 15,5$
$72 \div 4 = 18$ (подходит)
$82 \div 4 = 20,5$
$92 \div 4 = 23$ (подходит)

Подходят цифры 1, 3, 5, 7 и 9.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9.

Чтобы число $150*6$ делилось на 4, число $*6$ должно делиться на 4. Проверим все возможные варианты для звездочки:

$06 \div 4 = 1,5$
$16 \div 4 = 4$ (подходит)
$26 \div 4 = 6,5$
$36 \div 4 = 9$ (подходит)
$46 \div 4 = 11,5$
$56 \div 4 = 14$ (подходит)
$66 \div 4 = 16,5$
$76 \div 4 = 19$ (подходит)
$86 \div 4 = 21,5$
$96 \div 4 = 24$ (подходит)

Подходят цифры 1, 3, 5, 7 и 9.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9.

35. Придумать и записать трёхзначное число, которое:

1) делилось бы на 2, но не делилось на 4;

2) делилось бы на 3, но не делилось на 9.

1) Чтобы найти трёхзначное число, которое делится на 2, но не делится на 4, воспользуемся признаками делимости:

• Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6 или 8).
• Признак делимости на 4: число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Нам нужно подобрать такое трёхзначное число, чтобы его последняя цифра была чётной, а число из двух последних цифр не делилось на 4.

Рассмотрим, например, число 110.

1. Это трёхзначное число.
2. Оно делится на 2, так как его последняя цифра – 0. Проверим: $110 \div 2 = 55$.
3. Оно не должно делиться на 4. Проверим по признаку делимости: число, образованное двумя последними цифрами, – это 10. Число 10 не делится на 4 без остатка ($10 = 4 \times 2 + 2$). Следовательно, и число 110 не делится на 4.

Таким образом, число 110 удовлетворяет всем условиям. Другими примерами могут быть числа 102, 106, 114, 118 и так далее.

Ответ: 110

2) Чтобы найти трёхзначное число, которое делится на 3, но не делится на 9, воспользуемся признаками делимости:

• Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Следовательно, нам нужно найти такое трёхзначное число, чтобы сумма его цифр была кратна 3, но не кратна 9. Примерами таких сумм могут быть 3, 6, 12, 15, 21, 24.

Рассмотрим, например, число 123.

1. Это трёхзначное число.
2. Найдём сумму его цифр: $1 + 2 + 3 = 6$.
3. Сумма цифр (6) делится на 3 ($6 \div 3 = 2$), значит, число 123 делится на 3. Проверим: $123 \div 3 = 41$.
4. Сумма цифр (6) не делится на 9, значит, и число 123 не делится на 9.

Таким образом, число 123 удовлетворяет всем условиям. Другими примерами могут быть числа 102 (сумма цифр 3), 105 (сумма цифр 6), 402 (сумма цифр 6).

Ответ: 123

36. Не выполняя деления, установить, какой остаток будет от деления числа:

1) 5635 на 2;

2) 3896 на 10;

3) 10 689 на 5;

4) 3542 на 3.

Для определения остатка от деления, не выполняя саму операцию деления, применяют правила, основанные на признаках делимости чисел.

1) 5635 на 2;

Остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2. Последняя цифра в числе 5635 — это 5. Найдем остаток от деления 5 на 2:
$5 = 2 \cdot 2 + 1$.
Остаток равен 1. Следовательно, остаток от деления числа 5635 на 2 также равен 1.
Ответ: 1

2) 3896 на 10;

Остаток от деления натурального числа на 10 всегда равен его последней цифре. Для числа 3896 последняя цифра — это 6. Это можно представить в виде: $3896 = 3890 + 6 = 389 \cdot 10 + 6$. Таким образом, остаток от деления 3896 на 10 равен 6.
Ответ: 6

3) 10 689 на 5;

Остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5. Последняя цифра в числе 10 689 — это 9. Найдем остаток от деления 9 на 5:
$9 = 5 \cdot 1 + 4$.
Остаток равен 4. Следовательно, остаток от деления числа 10 689 на 5 также равен 4.
Ответ: 4

4) 3542 на 3.

Остаток от деления натурального числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3. Сначала найдем сумму цифр числа 3542:
$3 + 5 + 4 + 2 = 14$.
Теперь найдем остаток от деления полученной суммы (14) на 3:
$14 = 3 \cdot 4 + 2$.
Остаток равен 2. Следовательно, остаток от деления числа 3542 на 3 также равен 2.
Ответ: 2

37. Не производя деления, выяснить, какие из данных чисел делятся на 11:

1) 368 126;

2) 5 022 754;

3) 1 794 068;

4) 11 223 344.

Для того чтобы определить, делится ли число на 11 без выполнения деления, используется признак делимости на 11. Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах (считая слева направо), и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11 (включая 0). Проверим каждое из данных чисел.

1) 368 126
Для числа 368 126 найдем сумму цифр, стоящих на нечётных позициях (первая, третья, пятая): $S_{нечёт} = 3 + 8 + 2 = 13$.
Сумма цифр, стоящих на чётных позициях (вторая, четвертая, шестая): $S_{чёт} = 6 + 1 + 6 = 13$.
Разность этих сумм равна: $13 - 13 = 0$.
Поскольку 0 делится на 11, то и число 368 126 делится на 11.
Ответ: делится.

2) 5 022 754
Для числа 5 022 754 найдем сумму цифр на нечётных позициях (первая, третья, пятая, седьмая): $S_{нечёт} = 5 + 2 + 7 + 4 = 18$.
Сумма цифр на чётных позициях (вторая, четвертая, шестая): $S_{чёт} = 0 + 2 + 5 = 7$.
Разность этих сумм равна: $18 - 7 = 11$.
Поскольку 11 делится на 11, то и число 5 022 754 делится на 11.
Ответ: делится.

3) 1 794 068
Для числа 1 794 068 найдем сумму цифр на нечётных позициях (первая, третья, пятая, седьмая): $S_{нечёт} = 1 + 9 + 0 + 8 = 18$.
Сумма цифр на чётных позициях (вторая, четвертая, шестая): $S_{чёт} = 7 + 4 + 6 = 17$.
Разность этих сумм равна: $18 - 17 = 1$.
Поскольку 1 не делится на 11, то и число 1 794 068 не делится на 11.
Ответ: не делится.

4) 11 223 344
Для числа 11 223 344 найдем сумму цифр на нечётных позициях (первая, третья, пятая, седьмая): $S_{нечёт} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
Сумма цифр на чётных позициях (вторая, четвертая, шестая, восьмая): $S_{чёт} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
Разность этих сумм равна: $10 - 10 = 0$.
Поскольку 0 делится на 11, то и число 11 223 344 делится на 11.
Ответ: делится.

38. Привести контрпример, опровергающий высказывание:

1) если число делится на 3, то оно делится и на 9;

2) если число делится на 2, то оно делится и на 4;

3) если число делится и на 2, и на 6, то оно делится и на 12.

1) если число делится на 3, то оно делится и на 9;

Чтобы опровергнуть данное высказывание, нам нужно найти число, которое является кратным 3, но не является кратным 9. Такое число будет контрпримером. Возьмем число 6. Проверим его делимость на 3: $6 \div 3 = 2$. Число 6 делится на 3 нацело. Теперь проверим его делимость на 9: $6 \div 9 = \frac{2}{3}$. Число 6 не делится на 9 нацело. Таким образом, число 6 удовлетворяет условию утверждения (делится на 3), но не удовлетворяет его заключению (не делится на 9), следовательно, оно является контрпримером. Другими контрпримерами могут служить числа 3, 12, 15, 21 и так далее.

Ответ: 6.

2) если число делится на 2, то оно делится и на 4;

Для опровержения этого высказывания необходимо найти число, которое делится на 2, но при этом не делится на 4. Рассмотрим число 10. Проверим его делимость на 2: $10 \div 2 = 5$. Число 10 делится на 2 без остатка. Проверим его делимость на 4: $10 \div 4 = 2.5$. Число 10 не делится на 4 без остатка. Следовательно, число 10 является контрпримером, так как оно делится на 2, но не делится на 4. Другие возможные контрпримеры: 2, 6, 14, 18.

Ответ: 10.

3) если число делится и на 2, и на 6, то оно делится и на 12.

Нам нужно найти число, которое делится на 2 и на 6, но не делится на 12. Следует заметить, что любое число, которое делится на 6, автоматически делится и на 2, поскольку $6 = 2 \times 3$. Поэтому условие "делится и на 2, и на 6" равносильно условию "делится на 6". Таким образом, задача сводится к поиску числа, которое делится на 6, но не делится на 12. Возьмем число 18. Проверим его делимость на 2 и на 6: $18 \div 2 = 9$ и $18 \div 6 = 3$. Условия выполняются. Проверим его делимость на 12: $18 \div 12 = 1.5$. Число 18 не делится на 12 нацело. Таким образом, число 18 является контрпримером. Простейшим контрпримером является число 6.

Ответ: 18.