Страница 24 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

69. В школе обучаются 660 учеников. Из них $\frac{2}{5}$ учатся в начальной школе, $\frac{1}{3}$ в основной, остальные — в старшей. Сколько учеников обучаются в старшей школе?

Чтобы найти количество учеников в старшей школе, нужно последовательно выполнить несколько действий.

1. Найдем количество учеников в начальной школе.

В начальной школе учатся $\frac{2}{5}$ от общего числа учеников. Рассчитаем это количество:

$660 \cdot \frac{2}{5} = \frac{660 \cdot 2}{5} = 132 \cdot 2 = 264$ ученика.

2. Найдем количество учеников в основной школе.

В основной школе учится $\frac{1}{3}$ от общего числа учеников. Рассчитаем это количество:

$660 \cdot \frac{1}{3} = \frac{660}{3} = 220$ учеников.

3. Найдем общее количество учеников в начальной и основной школах.

Для этого сложим количество учеников из начальной и основной школы:

$264 + 220 = 484$ ученика.

4. Найдем количество учеников в старшей школе.

Остальные ученики обучаются в старшей школе. Чтобы найти их количество, нужно из общего числа учеников вычесть сумму учеников начальной и основной школы:

$660 - 484 = 176$ учеников.

Ответ: 176 учеников.

70. Вычислить:

1) $\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{3} \cdot \frac{8}{9}$;

2) $\frac{5}{6} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{9}{20}$;

3) $1\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{10} \cdot 2\frac{3}{11}$;

4) $\frac{5}{33} \cdot 1\frac{2}{9} \cdot \frac{12}{25}$;

5) $(2\frac{1}{3})^2 - 1\frac{5}{6}$;

6) $(1\frac{1}{4})^3 + 2\frac{7}{48}$;

1) Для вычисления произведения дробей перемножим их числители и знаменатели: $ \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{3} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 12 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 9} $. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $ \frac{\cancel{3} \cdot \cancel{12}^3 \cdot 8}{\cancel{4}_1 \cdot \cancel{3} \cdot 9} = \frac{3 \cdot 8}{9} = \frac{24}{9} $. Сократим полученную дробь на 3: $ \frac{24 \div 3}{9 \div 3} = \frac{8}{3} $. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $.
Ответ: $2\frac{2}{3}$

2) Перемножим числители и знаменатели дробей: $ \frac{5}{6} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{9}{20} = \frac{5 \cdot 8 \cdot 9}{6 \cdot 15 \cdot 20} $. Сократим дроби, разложив числа на множители: $ \frac{5 \cdot (2 \cdot 4) \cdot 9}{(2 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5)} = \frac{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{9}^1}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{4} \cdot 5} = \frac{1}{5} $.
Ответ: $\frac{1}{5}$

3) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $ 1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8} $
$ 2\frac{3}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{25}{11} $
Теперь выполним умножение: $ \frac{15}{8} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{25}{11} = \frac{15 \cdot 3 \cdot 25}{8 \cdot 10 \cdot 11} $. Сократим общие множители: $ \frac{\cancel{15}^3 \cdot 3 \cdot 25}{8 \cdot \cancel{10}_2 \cdot 11} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 25}{8 \cdot 2 \cdot 11} = \frac{225}{176} $. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{225}{176} = 1\frac{49}{176} $.
Ответ: $1\frac{49}{176}$

4) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{2}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{11}{9} $. Выполним умножение: $ \frac{5}{33} \cdot \frac{11}{9} \cdot \frac{12}{25} = \frac{5 \cdot 11 \cdot 12}{33 \cdot 9 \cdot 25} $. Сократим дроби: $ \frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{11}^1 \cdot \cancel{12}^4}{\cancel{33}_3 \cdot \cancel{9}_3 \cdot \cancel{25}_5} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 4}{3 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{4}{45} $.
Ответ: $\frac{4}{45}$

5) Сначала выполним возведение в степень. Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} $
$ (2\frac{1}{3})^2 = (\frac{7}{3})^2 = \frac{7^2}{3^2} = \frac{49}{9} $. Преобразуем второе смешанное число: $ 1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6} $. Теперь выполним вычитание: $ \frac{49}{9} - \frac{11}{6} $. Приведем дроби к общему знаменателю 18: $ \frac{49 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{11 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{98}{18} - \frac{33}{18} = \frac{98 - 33}{18} = \frac{65}{18} $. Преобразуем в смешанное число: $ \frac{65}{18} = 3\frac{11}{18} $.
Ответ: $3\frac{11}{18}$

6) Сначала выполним возведение в степень. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4} $. $ (1\frac{1}{4})^3 = (\frac{5}{4})^3 = \frac{5^3}{4^3} = \frac{125}{64} $. Преобразуем второе смешанное число: $ 2\frac{7}{48} = \frac{2 \cdot 48 + 7}{48} = \frac{96+7}{48} = \frac{103}{48} $. Теперь выполним сложение: $ \frac{125}{64} + \frac{103}{48} $. Приведем дроби к общему знаменателю 192 (НОК(64, 48) = 192): $ \frac{125 \cdot 3}{64 \cdot 3} + \frac{103 \cdot 4}{48 \cdot 4} = \frac{375}{192} + \frac{412}{192} = \frac{375 + 412}{192} = \frac{787}{192} $. Преобразуем в смешанное число: $ \frac{787}{192} = 4\frac{19}{192} $.
Ответ: $4\frac{19}{192}$

71. Записать число, обратное данному: $45$, $\frac{9}{17}$, $\frac{6}{23}$, $1\frac{5}{6}$.

45
По определению, произведение числа на обратное ему число равно 1. Чтобы найти число, обратное натуральному числу, нужно представить его в виде дроби со знаменателем 1 и затем поменять местами числитель и знаменатель.
Представим число 45 в виде дроби: $45 = \frac{45}{1}$.
Числом, обратным дроби $\frac{a}{b}$, является дробь $\frac{b}{a}$.
Следовательно, для дроби $\frac{45}{1}$ обратным числом будет $\frac{1}{45}$.
Проверка: $45 \cdot \frac{1}{45} = \frac{45}{1} \cdot \frac{1}{45} = \frac{45 \cdot 1}{1 \cdot 45} = 1$.
Ответ: $\frac{1}{45}$.

$\frac{9}{17}$
Чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби, необходимо поменять местами ее числитель и знаменатель.
Для дроби $\frac{9}{17}$ числитель равен 9, а знаменатель равен 17.
Обратная дробь будет иметь числитель 17 и знаменатель 9, то есть $\frac{17}{9}$.
Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $\frac{17}{9} = 1\frac{8}{9}$.
Проверка: $\frac{9}{17} \cdot \frac{17}{9} = \frac{9 \cdot 17}{17 \cdot 9} = 1$.
Ответ: $\frac{17}{9}$.

$\frac{6}{23}$
Чтобы найти число, обратное данной дроби, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.
У дроби $\frac{6}{23}$ числитель равен 6, а знаменатель – 23.
Меняем их местами и получаем обратную дробь $\frac{23}{6}$.
Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}$.
Проверка: $\frac{6}{23} \cdot \frac{23}{6} = \frac{6 \cdot 23}{23 \cdot 6} = 1$.
Ответ: $\frac{23}{6}$.

$1\frac{5}{6}$
Для нахождения обратного числа для смешанной дроби, ее необходимо сначала преобразовать в неправильную дробь.
Преобразуем $1\frac{5}{6}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{6+5}{6} = \frac{11}{6}$.
Теперь найдем число, обратное полученной дроби $\frac{11}{6}$, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь $\frac{6}{11}$.
Проверка: $1\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{11} = \frac{11}{6} \cdot \frac{6}{11} = \frac{11 \cdot 6}{6 \cdot 11} = 1$.
Ответ: $\frac{6}{11}$.

72. Выполнить деление:

1) $\frac{2}{15} : \frac{8}{25}$;

2) $\frac{6}{35} : \frac{9}{30}$;

3) $\frac{8}{9} : 6$;

4) $\frac{15}{49} : 35$;

5) $12 : \frac{3}{4}$;

6) $18 : \frac{9}{20}$;

7) $1\frac{1}{12} : 2\frac{1}{6}$;

8) $4\frac{5}{6} : 1\frac{14}{15}$.

1) Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Затем, по возможности, сократить числитель и знаменатель перед умножением.
$ \frac{2}{15} : \frac{8}{25} = \frac{2}{15} \cdot \frac{25}{8} = \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 8} $
Сокращаем 2 и 8 на 2, а 25 и 15 на 5:
$ \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{5}{12} $
Ответ: $ \frac{5}{12} $

2) Аналогично первому примеру, заменяем деление умножением на обратную дробь и выполняем сокращение.
$ \frac{6}{35} : \frac{9}{30} = \frac{6}{35} \cdot \frac{30}{9} = \frac{6 \cdot 30}{35 \cdot 9} $
Сокращаем 6 и 9 на 3, а 30 и 35 на 5:
$ \frac{2 \cdot 6}{7 \cdot 3} $
Теперь можно сократить 6 и 3 на 3:
$ \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 1} = \frac{4}{7} $
Ответ: $ \frac{4}{7} $

3) Чтобы разделить дробь на целое число, можно представить это число в виде дроби со знаменателем 1.
$ \frac{8}{9} : 6 = \frac{8}{9} : \frac{6}{1} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{8 \cdot 1}{9 \cdot 6} = \frac{8}{54} $
Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{8 \div 2}{54 \div 2} = \frac{4}{27} $
Ответ: $ \frac{4}{27} $

4) Деление дроби на целое число выполняется по тому же принципу, что и в предыдущем примере.
$ \frac{15}{49} : 35 = \frac{15}{49} : \frac{35}{1} = \frac{15}{49} \cdot \frac{1}{35} = \frac{15 \cdot 1}{49 \cdot 35} $
Сокращаем 15 и 35 на 5:
$ \frac{3 \cdot 1}{49 \cdot 7} = \frac{3}{343} $
Ответ: $ \frac{3}{343} $

5) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную данной.
$ 12 : \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{1} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12 \cdot 4}{3} $
Сокращаем 12 и 3 на 3:
$ \frac{4 \cdot 4}{1} = 16 $
Ответ: 16

6) Выполняем деление целого числа на дробь аналогично предыдущему примеру.
$ 18 : \frac{9}{20} = 18 \cdot \frac{20}{9} = \frac{18 \cdot 20}{9} $
Сокращаем 18 и 9 на 9:
$ \frac{2 \cdot 20}{1} = 40 $
Ответ: 40

7) Для деления смешанных чисел их необходимо сначала преобразовать в неправильные дроби.
$ 1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12} $
$ 2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6} $
Теперь выполняем деление полученных неправильных дробей:
$ \frac{13}{12} : \frac{13}{6} = \frac{13}{12} \cdot \frac{6}{13} = \frac{13 \cdot 6}{12 \cdot 13} $
Сокращаем 13 и 13, а также 6 и 12:
$ \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

8) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 4\frac{5}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{24+5}{6} = \frac{29}{6} $
$ 1\frac{14}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 14}{15} = \frac{15+14}{15} = \frac{29}{15} $
Выполняем деление:
$ \frac{29}{6} : \frac{29}{15} = \frac{29}{6} \cdot \frac{15}{29} = \frac{29 \cdot 15}{6 \cdot 29} $
Сокращаем числитель и знаменатель на 29:
$ \frac{15}{6} $
Сокращаем дробь на 3 и преобразуем в смешанное число:
$ \frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $
Ответ: $ 2\frac{1}{2} $

73. Выполнить действия:

1) $\frac{5}{14} \cdot \frac{2}{15} : \frac{20}{21};$

2) $\frac{9}{16} : 12 \cdot 1\frac{1}{3};$

3) $(2\frac{5}{8} + 3\frac{1}{6}) : \frac{5}{12};$

4) $(4\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}) : 1\frac{5}{12}.$

1) $\frac{5}{14} \cdot \frac{2}{15} : \frac{20}{21}$

Выполним действия по порядку, слева направо. Сначала умножение, затем деление.

1. Умножим первую дробь на вторую. Перед умножением сократим числитель и знаменатель на общие множители. 5 и 15 сокращаются на 5; 2 и 14 сокращаются на 2.

$\frac{5}{14} \cdot \frac{2}{15} = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{14}_7} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{15}_3} = \frac{1 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{1}{21}$

2. Теперь разделим полученный результат на третью дробь. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$\frac{1}{21} : \frac{20}{21} = \frac{1}{21} \cdot \frac{21}{20}$

Сократим 21 в числителе и знаменателе.

$\frac{1}{\cancel{21}_1} \cdot \frac{\cancel{21}^1}{20} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 20} = \frac{1}{20}$

Ответ: $\frac{1}{20}$.

2) $\frac{9}{16} : 12 \cdot 1\frac{1}{3}$

Выполним действия по порядку. Сначала представим целое число и смешанную дробь в виде неправильных дробей.

$12 = \frac{12}{1}$

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{9}{16} : \frac{12}{1} \cdot \frac{4}{3}$

1. Выполним деление. Заменим деление умножением на обратную дробь.

$\frac{9}{16} : 12 = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{12} = \frac{9 \cdot 1}{16 \cdot 12} = \frac{\cancel{9}^3}{16 \cdot \cancel{12}_4} = \frac{3}{16 \cdot 4} = \frac{3}{64}$

2. Теперь умножим результат на $\frac{4}{3}$.

$\frac{3}{64} \cdot \frac{4}{3} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{64}_{16}} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{3}_1} = \frac{1 \cdot 1}{16 \cdot 1} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$.

3) $(2\frac{5}{8} + 3\frac{1}{6}) : \frac{5}{12}$

Сначала выполним действие в скобках — сложение смешанных дробей.

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные.

$2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{21}{8}$

$3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{19}{6}$

2. Сложим полученные дроби. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 6 это 24.

$\frac{21}{8} + \frac{19}{6} = \frac{21 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{19 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{63}{24} + \frac{76}{24} = \frac{63 + 76}{24} = \frac{139}{24}$

3. Теперь разделим результат на $\frac{5}{12}$.

$\frac{139}{24} : \frac{5}{12} = \frac{139}{24} \cdot \frac{12}{5}$

Сократим 24 и 12 на 12.

$\frac{139}{\cancel{24}_2} \cdot \frac{\cancel{12}^1}{5} = \frac{139 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{139}{10}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанную.

$\frac{139}{10} = 13\frac{9}{10}$

Ответ: $13\frac{9}{10}$.

4) $(4\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}) : 1\frac{5}{12}$

Сначала выполним вычитание в скобках.

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные.

$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

2. Вычтем дроби, приведя их к общему знаменателю 6.

$\frac{13}{3} - \frac{3}{2} = \frac{13 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{26}{6} - \frac{9}{6} = \frac{26 - 9}{6} = \frac{17}{6}$

3. Теперь выполним деление. Преобразуем делитель $1\frac{5}{12}$ в неправильную дробь.

$1\frac{5}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{17}{12}$

4. Разделим результат из скобок на полученную дробь.

$\frac{17}{6} : \frac{17}{12} = \frac{17}{6} \cdot \frac{12}{17}$

Сократим 17 в числителе и знаменателе, а также 12 и 6 на 6.

$\frac{\cancel{17}^1}{\cancel{6}_1} \cdot \frac{\cancel{12}^2}{\cancel{17}_1} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 2$

Ответ: $2$.

74. Найти число, если:

1) $\frac{4}{7}$ его равны 56; $1\frac{3}{14}$;

2) $\frac{5}{12}$ его равны 120; $2\frac{5}{8}$.

Для решения этой задачи используется правило нахождения числа по его дроби: чтобы найти число, нужно значение, соответствующее этой дроби, разделить на саму дробь.

1) В этом пункте задана дробь $\frac{4}{7}$ и два значения, которым эта дробь от искомых чисел равна: 56 и $1\frac{3}{14}$.

Находим первое число:
Если $\frac{4}{7}$ числа равны 56, то для нахождения всего числа нужно 56 разделить на $\frac{4}{7}$.
$56 \div \frac{4}{7} = 56 \cdot \frac{7}{4} = \frac{56 \cdot 7}{4} = 14 \cdot 7 = 98$.
Ответ: 98.

Находим второе число:
Если $\frac{4}{7}$ числа равны $1\frac{3}{14}$, то для нахождения всего числа нужно $1\frac{3}{14}$ разделить на $\frac{4}{7}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{3}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{17}{14}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{17}{14} \div \frac{4}{7} = \frac{17}{14} \cdot \frac{7}{4} = \frac{17 \cdot 7}{14 \cdot 4} = \frac{17}{2 \cdot 4} = \frac{17}{8}$.
Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{17}{8} = 2\frac{1}{8}$.
Ответ: $2\frac{1}{8}$.

2) В этом пункте задана дробь $\frac{5}{12}$ и два значения: 120 и $2\frac{5}{8}$.

Находим первое число:
Если $\frac{5}{12}$ числа равны 120, то всё число равно:
$120 \div \frac{5}{12} = 120 \cdot \frac{12}{5} = \frac{120 \cdot 12}{5} = 24 \cdot 12 = 288$.
Ответ: 288.

Находим второе число:
Если $\frac{5}{12}$ числа равны $2\frac{5}{8}$, то для нахождения всего числа нужно $2\frac{5}{8}$ разделить на $\frac{5}{12}$.
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{21}{8}$.
Выполним деление:
$\frac{21}{8} \div \frac{5}{12} = \frac{21}{8} \cdot \frac{12}{5} = \frac{21 \cdot 12}{8 \cdot 5}$.
Сократим 12 и 8 на 4:
$\frac{21 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{63}{10}$.
Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{63}{10} = 6\frac{3}{10}$.
Ответ: $6\frac{3}{10}$.

75. Выполнив $\frac{7}{10}$ от всего объёма работы, мастер понял, что остав-шуюся часть он сделает за 2 ч. За какое время мастер пла-нировал выполнить всю работу?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем, какая часть работы осталась невыполненной.

Весь объем работы мы можем принять за единицу (1). По условию, мастер выполнил $\frac{7}{10}$ от всего объема. Чтобы найти оставшуюся часть, нужно вычесть выполненную часть из целого:

$1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

Таким образом, мастеру осталось выполнить $\frac{3}{10}$ всей работы.

2. Найдем общее время, запланированное на выполнение всей работы.

Мы знаем, что оставшуюся часть работы, которая составляет $\frac{3}{10}$ от всего объема, мастер сделает за 2 часа. Предполагая, что производительность мастера постоянна, мы можем составить пропорцию, чтобы найти общее время ($T$), необходимое для выполнения всей работы (1).

$\frac{3}{10}$ работы — 2 часа

$1$ (вся работа) — $T$ часов

Из этой пропорции можно найти $T$:

$T = \frac{2}{\frac{3}{10}} = 2 \times \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$ часа.

3. Переведем полученное время в часы и минуты.

Чтобы представить ответ в более удобном виде, выделим целую часть из дроби:

$\frac{20}{3} \text{ часа} = 6 \frac{2}{3} \text{ часа}$

Теперь переведем дробную часть ($\frac{2}{3}$ часа) в минуты, зная, что в одном часе 60 минут:

$\frac{2}{3} \times 60 = \frac{120}{3} = 40$ минут.

Следовательно, полное время, которое мастер планировал потратить на всю работу, составляет 6 часов 40 минут.

Ответ: 6 часов 40 минут.

76. Ваня прочитал $ \frac{2}{7} $ книги. Оказалось, что оставшаяся часть книги на 84 страницы больше прочитанной. Сколько всего страниц в книге?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько действий.

1. Узнаем, какая часть книги осталась непрочитанной. Вся книга принимается за единицу (1). Ваня прочитал $\frac{2}{7}$ книги, следовательно, оставшаяся часть составляет:
$1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ книги.

2. Теперь найдем разницу между оставшейся и прочитанной частями книги.
$\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$ книги.

3. Согласно условию, эта разница составляет 84 страницы. Это означает, что $\frac{3}{7}$ всей книги равны 84 страницам.

4. Найдем, сколько страниц составляет одна седьмая часть книги ($\frac{1}{7}$). Для этого разделим 84 на 3:
$84 \div 3 = 28$ страниц.

5. Так как вся книга состоит из семи таких частей ($\frac{7}{7}$), для нахождения общего количества страниц умножим количество страниц в одной части на 7:
$28 \times 7 = 196$ страниц.

Проверка:
- Прочитано страниц: $196 \times \frac{2}{7} = (196 \div 7) \times 2 = 28 \times 2 = 56$ страниц.
- Осталось страниц: $196 \times \frac{5}{7} = (196 \div 7) \times 5 = 28 \times 5 = 140$ страниц.
- Разница: $140 - 56 = 84$ страницы. Решение верное.

Ответ: 196 страниц.