Страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

93. Требуется изготовить прямоугольную пластину площадью $45 \, \text{cm}^2$.

Какой будет её ширина при длине 9 см; 12 см?

В какой зависимости находятся длина и ширина этого прямоугольника?

Для решения задачи воспользуемся формулой площади прямоугольника: $S = a \cdot b$, где $S$ – площадь, $a$ – длина, а $b$ – ширина. Из условия известно, что площадь пластины $S = 45$ см². Таким образом, для любых размеров пластины выполняется соотношение $a \cdot b = 45$. Отсюда можно выразить ширину через длину: $b = \frac{45}{a}$.

Какой будет её ширина при длине 9 см; 12 см?

1. Найдем ширину пластины, если её длина $a = 9$ см. Подставим это значение в формулу:
$b = \frac{45}{9} = 5$ см.

2. Найдем ширину пластины, если её длина $a = 12$ см. Подставим это значение в формулу:
$b = \frac{45}{12} = \frac{15}{4} = 3,75$ см.

Ответ: при длине 9 см ширина пластины составит 5 см, а при длине 12 см – 3,75 см.

В какой зависимости находятся длина и ширина этого прямоугольника?

Зависимость между длиной ($a$) и шириной ($b$) при постоянной площади ($S=45$ см²) выражается формулой $b = \frac{45}{a}$. Это является формулой обратно пропорциональной зависимости. Она означает, что при увеличении одной величины (например, длины) в несколько раз, вторая величина (ширина) уменьшается во столько же раз, и наоборот. Это необходимо для того, чтобы их произведение оставалось постоянным и равным 45.

Ответ: длина и ширина этого прямоугольника находятся в обратно пропорциональной зависимости.

94. Моторная лодка пересекла озеро за $2\frac{1}{3}$ ч со скоростью $10\frac{1}{2}$ км/ч. За какое время лодка вернётся обратно, если будет плыть со скоростью $9\frac{1}{3}$ км/ч?

Чтобы найти время, за которое лодка вернётся обратно, нужно сначала вычислить расстояние, которое она проплыла, пересекая озеро. Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ - скорость, а $t$ - время.

По условию, лодка пересекла озеро за время $t_1 = 2\frac{1}{3}$ ч со скоростью $v_1 = 10\frac{1}{2}$ км/ч. Переведем смешанные числа в неправильные дроби для удобства расчетов:
$t_1 = 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$ ч
$v_1 = 10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$ км/ч

Теперь найдем расстояние:
$S = v_1 \cdot t_1 = \frac{21}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21 \cdot 7}{2 \cdot 3} = \frac{7 \cdot 7}{2} = \frac{49}{2}$ км.

Расстояние через озеро составляет $\frac{49}{2}$ км. Теперь нужно найти время ($t_2$), которое понадобится лодке для обратного пути. Скорость на обратном пути составляет $v_2 = 9\frac{1}{3}$ км/ч. Время находится по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Переведем скорость $v_2$ в неправильную дробь:
$v_2 = 9\frac{1}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{28}{3}$ км/ч

Вычислим время $t_2$:
$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{49/2}{28/3} = \frac{49}{2} \div \frac{28}{3} = \frac{49}{2} \cdot \frac{3}{28} = \frac{49 \cdot 3}{2 \cdot 28}$
Сократим полученное выражение, учитывая, что $49 = 7 \cdot 7$ и $28 = 4 \cdot 7$:
$t_2 = \frac{7 \cdot 7 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{21}{8}$ ч

Для удобства представим результат в виде смешанного числа:
$t_2 = \frac{21}{8} = 2\frac{5}{8}$ ч.

Ответ: $2\frac{5}{8}$ ч.

95. Заполнить пустые клетки таблицы обратно пропорциональных величин.

1) Скорость движения от пункта А до пункта В, км/ч: $3\frac{3}{4}$

Время движения, ч: 2

Скорость движения от пункта А до пункта В, км/ч:

Время движения, ч: $1\frac{1}{4}$

Скорость движения от пункта А до пункта В, км/ч:

Время движения, ч: $3\frac{1}{2}$

Скорость движения от пункта А до пункта В, км/ч: 4

Время движения, ч:

Скорость движения от пункта А до пункта В, км/ч: $5\frac{1}{4}$

Время движения, ч:

2) Производительность труда рабочего при выполнении плановой нормы, дет./ч: $3\frac{1}{2}$

Время выполнения плановой нормы, ч: 8

Производительность труда рабочего при выполнении плановой нормы, дет./ч: 3

Время выполнения плановой нормы, ч:

Производительность труда рабочего при выполнении плановой нормы, дет./ч: 4

Время выполнения плановой нормы, ч:

Производительность труда рабочего при выполнении плановой нормы, дет./ч:

Время выполнения плановой нормы, ч: $5\frac{3}{5}$

Производительность труда рабочего при выполнении плановой нормы, дет./ч:

Время выполнения плановой нормы, ч: $2\frac{4}{5}$

1)

В первой таблице представлены обратно пропорциональные величины: скорость движения ($v$) и время движения ($t$). Для обратно пропорциональных величин их произведение является постоянной величиной. В данном случае это расстояние ($S$), которое не меняется: $v \cdot t = S$.

1. Найдем константу пропорциональности (расстояние S). Для этого используем данные из второго столбца таблицы, где известны и скорость, и время:

Скорость $v = 3\frac{3}{4}$ км/ч. Переведем в неправильную дробь: $3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$ км/ч.

Время $t = 2$ ч.

Расстояние $S = v \cdot t = \frac{15}{4} \cdot 2 = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$ км.

2. Заполним пустые клетки таблицы, зная, что расстояние $S = \frac{15}{2}$ км.

Для третьего столбца (дано время $t = 1\frac{1}{4}$ ч):

Сначала переведем время в неправильную дробь: $t = 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ ч.

Найдем скорость: $v = \frac{S}{t} = \frac{15/2}{5/4} = \frac{15}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{15 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6$ км/ч.

Для четвертого столбца (дано время $t = 3\frac{1}{2}$ ч):

Переведем время в неправильную дробь: $t = 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ ч.

Найдем скорость: $v = \frac{S}{t} = \frac{15/2}{7/2} = \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$ км/ч.

Для пятого столбца (дана скорость $v = 4$ км/ч):

Найдем время: $t = \frac{S}{v} = \frac{15/2}{4} = \frac{15}{2 \cdot 4} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$ ч.

Для шестого столбца (дана скорость $v = 5\frac{1}{4}$ км/ч):

Переведем скорость в неправильную дробь: $v = 5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$ км/ч.

Найдем время: $t = \frac{S}{v} = \frac{15/2}{21/4} = \frac{15}{2} \cdot \frac{4}{21} = \frac{15 \cdot 4}{2 \cdot 21} = \frac{60}{42} = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$ ч.

Ответ: Найденные значения для первой таблицы: в третьем столбце скорость равна $6$ км/ч; в четвертом столбце скорость равна $2\frac{1}{7}$ км/ч; в пятом столбце время равно $1\frac{7}{8}$ ч; в шестом столбце время равно $1\frac{3}{7}$ ч.

2)

Во второй таблице представлены обратно пропорциональные величины: производительность труда ($P$) и время выполнения нормы ($t$). Их произведение является постоянной величиной, равной общему объему работы ($W$): $P \cdot t = W$.

1. Найдем константу пропорциональности (объем работы W). Для этого используем данные из второго столбца, где известны обе величины:

Производительность $P = 3\frac{1}{2}$ дет./ч. Переведем в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ дет./ч.

Время $t = 8$ ч.

Объем работы $W = P \cdot t = \frac{7}{2} \cdot 8 = \frac{56}{2} = 28$ деталей.

2. Заполним пустые клетки таблицы, зная, что объем работы $W = 28$ деталей.

Для третьего столбца (дана производительность $P = 3$ дет./ч):

Найдем время: $t = \frac{W}{P} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$ ч.

Для четвертого столбца (дана производительность $P = 4$ дет./ч):

Найдем время: $t = \frac{W}{P} = \frac{28}{4} = 7$ ч.

Для пятого столбца (дано время $t = 5\frac{3}{5}$ ч):

Переведем время в неправильную дробь: $t = 5\frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{28}{5}$ ч.

Найдем производительность: $P = \frac{W}{t} = \frac{28}{28/5} = 28 \cdot \frac{5}{28} = 5$ дет./ч.

Для шестого столбца (дано время $t = 2\frac{4}{5}$ ч):

Переведем время в неправильную дробь: $t = 2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$ ч.

Найдем производительность: $P = \frac{W}{t} = \frac{28}{14/5} = 28 \cdot \frac{5}{14} = 2 \cdot 5 = 10$ дет./ч.

Ответ: Найденные значения для второй таблицы: в третьем столбце время равно $9\frac{1}{3}$ ч; в четвертом столбце время равно $7$ ч; в пятом столбце производительность равна $5$ дет./ч; в шестом столбце производительность равна $10$ дет./ч.

96. Альпинист при подъёме в гору записывал показатели барометра в таблицу.

Является ли высота подъёма и атмосферное давление воздуха обратно пропорциональными величинами? Ответ обосновать.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Математически это означает, что их произведение является постоянным числом (константой).

Если обозначить высоту подъёма как $h$, а атмосферное давление как $P$, то для того, чтобы они были обратно пропорциональными, должно выполняться равенство $h \cdot P = k$, где $k$ — это постоянная величина (коэффициент пропорциональности) для всех измерений.

Проверим это условие, используя данные из таблицы.

1. Для первой точки (высота 100 м, давление 760 мм рт. ст.) произведение равно:
$100 \cdot 760 = 76000$

2. Для второй точки (высота 200 м, давление 740 мм рт. ст.) произведение равно:
$200 \cdot 740 = 148000$

Уже на основании двух первых точек видно, что произведение не является постоянным:
$76000 \ne 148000$

Проверим для последней точки (высота 1000 м, давление 660 мм рт. ст.):
$1000 \cdot 660 = 660000$

Поскольку произведение высоты подъёма и атмосферного давления не является постоянной величиной, эти величины не являются обратно пропорциональными. С увеличением высоты давление действительно уменьшается, но эта зависимость не является обратной пропорцией.

Ответ: Нет, высота подъёма и атмосферное давление воздуха не являются обратно пропорциональными величинами. Обоснование: их произведение не является постоянным числом для разных пар значений из таблицы.

97. Восемь рабочих вымостили улицу за 21 день. Сколько потребовалось бы рабочих с такой же производительностью труда, чтобы вымостить эту же улицу за 14 дней?

Для решения этой задачи определим общий объем работы. Объем работы можно измерить в "человеко-днях". Это произведение количества рабочих на количество дней, затраченных на работу. Поскольку производительность труда у всех рабочих одинаковая, мы можем использовать этот подход.

По условию, 8 рабочих вымостили улицу за 21 день. Найдем общий объем работы в человеко-днях:
$ \text{Объем работы} = 8 \text{ рабочих} \times 21 \text{ день} = 168 \text{ человеко-дней} $

Это означает, что для того, чтобы вымостить улицу, требуется выполнить работу, эквивалентную труду одного рабочего в течение 168 дней. Этот объем работы является постоянной величиной для данной улицы.

Теперь нам нужно выяснить, сколько рабочих потребуется, чтобы выполнить этот же объем работы (168 человеко-дней) за 14 дней. Обозначим искомое количество рабочих через $x$. Тогда можно составить следующее уравнение:
$ x \text{ рабочих} \times 14 \text{ дней} = 168 \text{ человеко-дней} $

Чтобы найти $x$, нужно общий объем работы разделить на новое количество дней:
$ x = \frac{168}{14} $

Выполним деление:
$ x = 12 $

Следовательно, чтобы вымостить эту же улицу за 14 дней, потребуется 12 рабочих.

Ответ: 12 рабочих.