Страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

125. Выразить в виде дроби проценты:

1) $36 \%$; $140 \%$; $259 \%$; $400 \%$; $6,5 \%$; $81,3 \%$;

2) $\frac{1}{2} \%$; $1\frac{1}{4} \%$; $7\frac{1}{5} \%$; $3\frac{1}{3} \%$; $33\frac{1}{3} \%$; $7\frac{1}{7} \%$.

Чтобы выразить проценты в виде дроби, необходимо числовое значение процента разделить на 100. Общая формула для перевода: $P\% = \frac{P}{100}$.

36 %:
$36\% = \frac{36}{100}$. Для упрощения дроби разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4.
$\frac{36 \div 4}{100 \div 4} = \frac{9}{25}$.
Ответ: $\frac{9}{25}$.

140 %:
$140\% = \frac{140}{100}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 20.
$\frac{140 \div 20}{100 \div 20} = \frac{7}{5}$. Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{7}{5}$.

259 %:
$259\% = \frac{259}{100}$. Данная дробь является несократимой, так как числитель 259 и знаменатель 100 не имеют общих делителей, кроме 1. Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $2\frac{59}{100}$.
Ответ: $\frac{259}{100}$.

400 %:
$400\% = \frac{400}{100} = 4$. Целое число 4 можно представить в виде дроби $\frac{4}{1}$.
Ответ: $\frac{4}{1}$.

6,5 %:
$6,5\% = \frac{6,5}{100}$. Чтобы избавиться от десятичной дроби в числителе, умножим числитель и знаменатель на 10.
$\frac{6,5 \times 10}{100 \times 10} = \frac{65}{1000}$. Теперь сократим полученную дробь на 5.
$\frac{65 \div 5}{1000 \div 5} = \frac{13}{200}$.
Ответ: $\frac{13}{200}$.

81,3 %:
$81,3\% = \frac{81,3}{100}$. Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы убрать десятичную дробь.
$\frac{81,3 \times 10}{100 \times 10} = \frac{813}{1000}$. Данная дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{813}{1000}$.

$\frac{1}{2}$ %:
$\frac{1}{2}\% = \frac{\frac{1}{2}}{100} = \frac{1}{2} \div 100 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{100} = \frac{1}{200}$.
Ответ: $\frac{1}{200}$.

$1\frac{1}{4}$ %:
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \times 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.
Теперь делим на 100: $\frac{5}{4}\% = \frac{\frac{5}{4}}{100} = \frac{5}{4} \times \frac{1}{100} = \frac{5}{400}$.
Сократим дробь на 5: $\frac{5 \div 5}{400 \div 5} = \frac{1}{80}$.
Ответ: $\frac{1}{80}$.

$7\frac{1}{5}$ %:
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $7\frac{1}{5} = \frac{7 \times 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$.
Делим на 100: $\frac{36}{5}\% = \frac{\frac{36}{5}}{100} = \frac{36}{5} \times \frac{1}{100} = \frac{36}{500}$.
Сократим дробь на 4: $\frac{36 \div 4}{500 \div 4} = \frac{9}{125}$.
Ответ: $\frac{9}{125}$.

$3\frac{1}{3}$ %:
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Делим на 100: $\frac{10}{3}\% = \frac{\frac{10}{3}}{100} = \frac{10}{3} \times \frac{1}{100} = \frac{10}{300}$.
Сократим дробь на 10: $\frac{10 \div 10}{300 \div 10} = \frac{1}{30}$.
Ответ: $\frac{1}{30}$.

$33\frac{1}{3}$ %:
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $33\frac{1}{3} = \frac{33 \times 3 + 1}{3} = \frac{100}{3}$.
Делим на 100: $\frac{100}{3}\% = \frac{\frac{100}{3}}{100} = \frac{100}{3} \times \frac{1}{100} = \frac{100}{300}$.
Сократим дробь на 100: $\frac{100 \div 100}{300 \div 100} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

$7\frac{1}{7}$ %:
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $7\frac{1}{7} = \frac{7 \times 7 + 1}{7} = \frac{50}{7}$.
Делим на 100: $\frac{50}{7}\% = \frac{\frac{50}{7}}{100} = \frac{50}{7} \times \frac{1}{100} = \frac{50}{700}$.
Сократим дробь на 50: $\frac{50 \div 50}{700 \div 50} = \frac{1}{14}$.
Ответ: $\frac{1}{14}$.

126. Найти:

1) $15\%$ от 250 р.;

2) $25\%$ от 2,7 млрд р.;

3) $110\%$ от 65 кг;

4) $230\%$ от 1,4 га;

5) $14,5\%$ от 80 км;

6) $6,7\%$ от 2,03 а.

1) 15 % от 250 р.;

Чтобы найти процент от числа, необходимо перевести проценты в десятичную дробь и умножить ее на исходное число.
Переводим 15 % в десятичную дробь: $15 \space \% = \frac{15}{100} = 0,15$.
Теперь умножаем полученную дробь на число 250:
$250 \cdot 0,15 = 37,5$ р.
Ответ: 37,5 р.

2) 25 % от 2,7 млрд р.;

Переводим 25 % в десятичную дробь: $25 \space \% = \frac{25}{100} = 0,25$.
Умножаем 2,7 на 0,25:
$2,7 \cdot 0,25 = 0,675$ млрд р.
Ответ: 0,675 млрд р.

3) 110 % от 65 кг;

Переводим 110 % в десятичную дробь: $110 \space \% = \frac{110}{100} = 1,1$.
Умножаем 65 на 1,1:
$65 \cdot 1,1 = 71,5$ кг.
Ответ: 71,5 кг.

4) 230 % от 1,4 га;

Переводим 230 % в десятичную дробь: $230 \space \% = \frac{230}{100} = 2,3$.
Умножаем 1,4 на 2,3:
$1,4 \cdot 2,3 = 3,22$ га.
Ответ: 3,22 га.

5) 14,5 % от 80 км;

Переводим 14,5 % в десятичную дробь: $14,5 \space \% = \frac{14,5}{100} = 0,145$.
Умножаем 80 на 0,145:
$80 \cdot 0,145 = 11,6$ км.
Ответ: 11,6 км.

6) 6,7 % от 2,03 а.

Переводим 6,7 % в десятичную дробь: $6,7 \space \% = \frac{6,7}{100} = 0,067$.
Умножаем 2,03 на 0,067:
$2,03 \cdot 0,067 = 0,13601$ а.
Ответ: 0,13601 а.

127. Постройка дома обошлась в 8,25 млн р., из них 40 % заплатили за работу, остальное — за материалы. Сколько стоили материалы?

Для того чтобы найти стоимость материалов, сначала определим, какую долю от общей стоимости они составляют. Вся стоимость постройки дома принимается за 100%. Согласно условию, 40% от этой суммы было заплачено за работу. Следовательно, на материалы приходится оставшаяся часть:

$100\% - 40\% = 60\%$

Теперь вычислим, сколько составляют 60% от общей стоимости постройки, которая равна 8,25 млн рублей. Для этого переведем проценты в десятичную дробь ($60\% = 0,6$) и умножим на общую стоимость:

$8,25 \text{ млн р.} \times 0,6 = 4,95 \text{ млн р.}$

Таким образом, на материалы было потрачено 4,95 миллиона рублей.

Ответ: 4,95 млн р.

128. Арендная плата магазина составила 960 тыс. р. в год. С нового года она повысилась на 15 %. Какой стала новая арендная плата?

Для того чтобы найти новую арендную плату, необходимо рассчитать, на сколько она увеличилась, и прибавить эту сумму к первоначальной стоимости.

Первоначальная арендная плата составляет 960 тыс. р. Она повысилась на 15%.

Способ 1: Поэтапный расчет

1. Найдем сумму повышения. Для этого вычислим 15% от 960 тыс. р. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую проценту.
$15\% = \frac{15}{100} = 0.15$
Сумма повышения = $960 \times 0.15 = 144$ тыс. р.

2. Теперь прибавим сумму повышения к первоначальной арендной плате, чтобы получить новую.
Новая арендная плата = $960 + 144 = 1104$ тыс. р.

Способ 2: Расчет через коэффициент

Если первоначальная плата составляла 100%, то после повышения на 15% она стала составлять $100\% + 15\% = 115\%$ от исходной.
Чтобы найти новую стоимость, можно умножить исходную сумму на коэффициент 1.15 (что соответствует 115%).
Новая арендная плата = $960 \times 1.15 = 1104$ тыс. р.

Таким образом, новая арендная плата составляет 1104 тысячи рублей, или 1 104 000 рублей.

Ответ: 1104 тыс. р.

129. Стоимость телефона в позапрошлом году составляла 3200 р. Два следующих года она снижалась на 10 % от предыдущей стоимости. Сколько стоит телефон в этом году?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать стоимость телефона после каждого снижения цены на 10%.

Начальная стоимость телефона в позапрошлом году составляла 3200 рублей.

1. Вычисление стоимости в прошлом году.
Цена снизилась на 10% от первоначальной стоимости. Снижение на 10% означает, что новая цена составит $100\% - 10\% = 90\%$ от старой. Чтобы найти 90% от числа, нужно умножить его на 0,9.
Стоимость в прошлом году:$3200 \text{ р.} \times 0,9 = 2880 \text{ р.}$

2. Вычисление стоимости в этом году.
Цена снова снизилась на 10%, но теперь уже от стоимости прошлого года, то есть от 2880 рублей.
Стоимость в этом году:$2880 \text{ р.} \times 0,9 = 2592 \text{ р.}$

Эту задачу можно также решить одним выражением, используя формулу сложных процентов для последовательного снижения цены:
$S = P \times (1 - \frac{r}{100})^n$
где $S$ - итоговая стоимость, $P$ - начальная стоимость (3200 р.), $r$ - процент снижения (10%), $n$ - количество периодов снижения (2 года).
$S = 3200 \times (1 - \frac{10}{100})^2 = 3200 \times (0,9)^2 = 3200 \times 0,81 = 2592 \text{ р.}$

Ответ: 2592 рубля.

130. Углеродистая сталь содержит: 1,05 % углерода, 1,1 % марганца, 0,2 % кремния, остальное — чистое железо. Определить массы всех составных частей заготовки из углеродистой стали, масса которой 60 кг.

Для того чтобы определить массы всех составных частей заготовки, необходимо найти, какую массу составляет каждый процентный компонент от общей массы заготовки в 60 кг. Для этого мы будем умножать общую массу на процентное содержание каждого элемента, переведенное в десятичную дробь (разделив на 100).

Масса углерода

Содержание углерода в стали составляет $1,05\%$. Найдем массу углерода ($m_{C}$):

$m_{C} = 60 \text{ кг} \times \frac{1,05}{100} = 60 \times 0,0105 = 0,63 \text{ кг}$.

Ответ: масса углерода составляет 0,63 кг.

Масса марганца

Содержание марганца в стали составляет $1,1\%$. Найдем массу марганца ($m_{Mn}$):

$m_{Mn} = 60 \text{ кг} \times \frac{1,1}{100} = 60 \times 0,011 = 0,66 \text{ кг}$.

Ответ: масса марганца составляет 0,66 кг.

Масса кремния

Содержание кремния в стали составляет $0,2\%$. Найдем массу кремния ($m_{Si}$):

$m_{Si} = 60 \text{ кг} \times \frac{0,2}{100} = 60 \times 0,002 = 0,12 \text{ кг}$.

Ответ: масса кремния составляет 0,12 кг.

Масса чистого железа

Остальную часть заготовки составляет чистое железо. Чтобы найти его массу ($m_{Fe}$), нужно из общей массы заготовки вычесть массы всех остальных компонентов.

Суммарная масса примесей:

$m_{C} + m_{Mn} + m_{Si} = 0,63 \text{ кг} + 0,66 \text{ кг} + 0,12 \text{ кг} = 1,41 \text{ кг}$.

Масса железа:

$m_{Fe} = 60 \text{ кг} - 1,41 \text{ кг} = 58,59 \text{ кг}$.

Ответ: масса чистого железа составляет 58,59 кг.

131. Коровье молоко содержит 15 % сливок. Из 18 % этих сливок можно получить сливочное масло. Сколько можно получить масла из 8,6 кг молока?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два последовательных действия.

1. Найдем массу сливок, которую можно получить из 8,6 кг молока.

Согласно условию, молоко содержит 15% сливок. Чтобы найти массу сливок, нужно общую массу молока умножить на процентное содержание сливок. Для этого сначала переведем проценты в десятичную дробь:

$15\% = \frac{15}{100} = 0,15$

Теперь вычислим массу сливок:

$8,6 \text{ кг} \times 0,15 = 1,29 \text{ кг}$

Итак, из 8,6 кг молока можно получить 1,29 кг сливок.

2. Найдем массу сливочного масла, которое можно получить из 1,29 кг сливок.

Из условия известно, что из сливок можно получить 18% сливочного масла. Это означает, что масса масла составляет 18% от массы сливок. Переведем проценты в десятичную дробь:

$18\% = \frac{18}{100} = 0,18$

Теперь вычислим массу сливочного масла:

$1,29 \text{ кг} \times 0,18 = 0,2322 \text{ кг}$

Ответ: из 8,6 кг молока можно получить 0,2322 кг сливочного масла.

132. Найти число, если:

1) 14 % его равны 8,4;

2) 105 % его равны 21;

3) 5,5 % его равны 11;

4) 2,75 % его равны 11 000.

Для решения каждой задачи используется метод нахождения целого числа по его известной части, выраженной в процентах. Если некоторая часть числа ($y$), равная $p$ процентам, известна, то для нахождения всего числа ($x$) можно составить пропорцию или использовать формулу. Удобнее всего представить проценты в виде десятичной дроби и разделить на нее известную часть. Общая формула: $x = \frac{y}{p/100}$.

1) 14% его равны 8,4

Пусть искомое число равно $x$. По условию, 14% от этого числа равны 8,4.Переведем проценты в десятичную дробь: $14\% = \frac{14}{100} = 0,14$.Составим уравнение: $0,14 \cdot x = 8,4$.Найдем $x$:$x = \frac{8,4}{0,14} = \frac{840}{14} = 60$.Таким образом, искомое число равно 60.

Ответ: 60

2) 105% его равны 21

Пусть искомое число равно $x$. По условию, 105% от этого числа равны 21.Переведем проценты в десятичную дробь: $105\% = \frac{105}{100} = 1,05$.Составим уравнение: $1,05 \cdot x = 21$.Найдем $x$:$x = \frac{21}{1,05} = \frac{2100}{105} = 20$.Таким образом, искомое число равно 20.

Ответ: 20

3) 5,5% его равны 11

Пусть искомое число равно $x$. По условию, 5,5% от этого числа равны 11.Переведем проценты в десятичную дробь: $5,5\% = \frac{5,5}{100} = 0,055$.Составим уравнение: $0,055 \cdot x = 11$.Найдем $x$:$x = \frac{11}{0,055} = \frac{11000}{55} = 200$.Таким образом, искомое число равно 200.

Ответ: 200

4) 2,75% его равны 11 000

Пусть искомое число равно $x$. По условию, 2,75% от этого числа равны 11 000.Переведем проценты в десятичную дробь: $2,75\% = \frac{2,75}{100} = 0,0275$.Составим уравнение: $0,0275 \cdot x = 11000$.Найдем $x$:$x = \frac{11000}{0,0275} = \frac{110000000}{275} = 400000$.Таким образом, искомое число равно 400 000.

Ответ: 400 000

133. Найти число, если:

1) $28\%$ этого числа на 45 больше его $13\%$;

2) $56\%$ этого числа на $6,6$ меньше его $23\%$.

1)

Пусть искомое число равно $x$.
Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь (разделить на 100) и умножить на это число.

• 28% от числа $x$ – это $0.28 \cdot x = 0.28x$.
• 13% от числа $x$ – это $0.13 \cdot x = 0.13x$.

По условию задачи, 28% числа на 45 больше, чем 13% этого же числа. Это означает, что разница между 28% и 13% числа равна 45. Составим уравнение:
$0.28x - 0.13x = 45$
Упростим левую часть уравнения:
$(0.28 - 0.13)x = 45$
$0.15x = 45$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0,15:
$x = \frac{45}{0.15}$
Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{4500}{15}$
$x = 300$
Таким образом, искомое число равно 300.
Ответ: 300.

2)

Пусть искомое число равно $x$.
Аналогично первому пункту, найдем выражения для процентов от числа:

• 56% от числа $x$ – это $0.56 \cdot x = 0.56x$.
• 23% от числа $x$ – это $0.23 \cdot x = 0.23x$.

По условию, 56% этого числа на 6,6 меньше его 23%. Это означает, что если к 56% числа прибавить 6,6, то мы получим 23% этого числа. Составим уравнение:
$0.56x + 6.6 = 0.23x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну часть уравнения, а числа – в другую:
$0.56x - 0.23x = -6.6$
Упростим левую часть:
$0.33x = -6.6$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0,33:
$x = \frac{-6.6}{0.33}$
Умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{-660}{33}$
$x = -20$
Таким образом, искомое число равно -20.
Ответ: -20.

134. Товар с перевозкой обошёлся в 7150 р., причём расходы по перевозке составили 10 % от стоимости всего товара. Сколько стоил товар без стоимости перевозки?

Решение:

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это стоимость товара без учета перевозки (в рублях).

Из условия известно, что расходы по перевозке составляют 10% от стоимости самого товара. Чтобы найти 10% от числа, нужно умножить это число на 0.1. Следовательно, стоимость перевозки равна $0.1x$ рублей.

Общая стоимость, указанная в задаче (7150 р.), складывается из стоимости товара и стоимости его перевозки. На основании этого можно составить уравнение:

$x + 0.1x = 7150$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив коэффициенты при $x$:

$1.1x = 7150$

Чтобы найти $x$, необходимо разделить обе части уравнения на 1.1:

$x = \frac{7150}{1.1}$

Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичного знака в знаменателе:

$x = \frac{71500}{11}$

Выполнив деление, получаем:

$x = 6500$

Таким образом, стоимость товара без перевозки составляет 6500 рублей.

Ответ: 6500 рублей.

135. На склад поступило 6936 компьютеров, причём число неисправных компьютеров составило 2 % от числа исправных. Сколько неисправных компьютеров оказалось на складе?

Пусть $x$ — это количество исправных компьютеров на складе.

Согласно условию задачи, число неисправных компьютеров составляет 2% от числа исправных. Мы можем выразить количество неисправных компьютеров как $0.02x$ (поскольку $2\% = \frac{2}{100} = 0.02$).

Общее количество компьютеров на складе равно сумме исправных и неисправных компьютеров. Всего на склад поступило 6936 компьютеров. На основе этого мы можем составить уравнение:

$x + 0.02x = 6936$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$1.02x = 6936$

$x = \frac{6936}{1.02}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{693600}{102}$

$x = 6800$

Таким образом, на складе было 6800 исправных компьютеров.

Чтобы найти количество неисправных компьютеров, мы можем либо вычесть количество исправных из общего числа, либо рассчитать 2% от числа исправных.

Способ 1: Вычитание из общего числа.

Количество неисправных = Всего компьютеров - Количество исправных

$6936 - 6800 = 136$

Способ 2: Расчет 2% от числа исправных.

Количество неисправных = $0.02 \times x = 0.02 \times 6800 = 136$

Оба способа дают один и тот же результат. На складе оказалось 136 неисправных компьютеров.

Ответ: 136.