Страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

157. Сравнить произведения:

1) $-2.3 \cdot 1\frac{6}{41}$ и $-3.7 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right)$;

2) $-\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{15}$ и $0.04 \cdot (-2.5).$

1) Сравним произведения $-2,3 \cdot 1\frac{6}{41}$ и $-3,7 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right)$.
Сначала определим знаки произведений.
Первое произведение, $-2,3 \cdot 1\frac{6}{41}$, является результатом умножения отрицательного числа на положительное, следовательно, оно будет отрицательным.
Второе произведение, $-3,7 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right)$, является результатом умножения двух отрицательных чисел, следовательно, оно будет положительным.
Так как любое положительное число больше любого отрицательного числа, второе произведение больше первого.
Ответ: $-2,3 \cdot 1\frac{6}{41} < -3,7 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right)$.

2) Сравним произведения $-\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{15}$ и $0,04 \cdot (-2,5)$.
Сначала вычислим каждое произведение.
Вычислим первое произведение: $-\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{15}$.
Знак произведения будет отрицательным. Вычислим модуль, сократив дроби:$\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{15} = \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 15} = \frac{20}{180} = \frac{1}{9}$.
Значит, первое произведение равно $-\frac{1}{9}$.
Вычислим второе произведение: $0,04 \cdot (-2,5)$.
Знак произведения будет отрицательным. Вычислим модуль: $0,04 \cdot 2,5 = 0,1$.
Значит, второе произведение равно $-0,1$, что можно записать как $-\frac{1}{10}$.
Теперь сравним полученные отрицательные числа: $-\frac{1}{9}$ и $-\frac{1}{10}$.
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним их модули: $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 90: $\frac{1}{9} = \frac{10}{90}$ и $\frac{1}{10} = \frac{9}{90}$.
Так как $\frac{10}{90} > \frac{9}{90}$, то $\frac{1}{9} > \frac{1}{10}$.
Поскольку модули сравниваемых отрицательных чисел соотносятся как $\frac{1}{9} > \frac{1}{10}$, то для самих чисел будет верным обратное неравенство: $-\frac{1}{9} < -\frac{1}{10}$.
Следовательно, $-\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{15} < 0,04 \cdot (-2,5)$.
Ответ: $-\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{15} < 0,04 \cdot (-2,5)$.

158. Найти значение степени:

1) $(-1)^2$; 2) $(-1)^3$; 3) $(-1)^{10}$; 4) $(-1)^{15}$;

5) $(-2)^4$; 6) $(-2)^5$; 7) $(-1\frac{1}{2})^3$; 8) $(-1\frac{1}{2})^4$.

1) Для того чтобы найти значение степени $(-1)^2$, нужно умножить число $-1$ само на себя 2 раза. Так как показатель степени $2$ — четное число, результат будет положительным. $(-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$.
Ответ: 1

2) Чтобы найти значение степени $(-1)^3$, нужно умножить число $-1$ само на себя 3 раза. Так как показатель степени $3$ — нечетное число, результат будет отрицательным. $(-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Ответ: -1

3) Нужно найти значение степени $(-1)^{10}$. Показатель степени $10$ является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным. $(-1)^{10} = 1$.
Ответ: 1

4) Нужно найти значение степени $(-1)^{15}$. Показатель степени $15$ является нечетным числом. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным. $(-1)^{15} = -1$.
Ответ: -1

5) Найдем значение степени $(-2)^4$. Так как показатель степени $4$ — четное число, результат будет положительным. Нужно возвести в 4-ю степень число 2. $(-2)^4 = 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Ответ: 16

6) Найдем значение степени $(-2)^5$. Так как показатель степени $5$ — нечетное число, результат будет отрицательным. Нужно возвести в 5-ю степень число 2 и поставить перед результатом знак минус. $(-2)^5 = -(2^5) = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -32$.
Ответ: -32

7) Найдем значение степени $(-1\frac{1}{2})^3$. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$.
Теперь возведем эту дробь в куб. Поскольку показатель степени $3$ — нечетное число, результат будет отрицательным. $(-1\frac{1}{2})^3 = (-\frac{3}{2})^3 = -(\frac{3^3}{2^3}) = -\frac{27}{8}$.
Представим результат в виде смешанного числа: $-\frac{27}{8} = -3\frac{3}{8}$.
Ответ: $-3\frac{3}{8}$

8) Найдем значение степени $(-1\frac{1}{2})^4$. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
Теперь возведем эту дробь в четвертую степень. Поскольку показатель степени $4$ — четное число, результат будет положительным. $(-1\frac{1}{2})^4 = (-\frac{3}{2})^4 = (\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.
Представим результат в виде смешанного числа: $\frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$.
Ответ: $5\frac{1}{16}$

159. Сравнить с нулём произведение всех последовательных целых чисел:

1) от $-7$ до $-1$;

2) от $-83$ до $-70$;

3) от $-12$ до $+9$.

1) Чтобы сравнить с нулём произведение всех последовательных целых чисел от -7 до -1, необходимо определить знак этого произведения. Ряд чисел выглядит так: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1. Все числа в этом ряду являются отрицательными. Для определения знака произведения нужно посчитать количество множителей. Количество целых чисел в диапазоне от $a$ до $b$ включительно равно $b - a + 1$. В данном случае это $ (-1) - (-7) + 1 = -1 + 7 + 1 = 7 $. Так как количество отрицательных множителей нечетное (7), их произведение будет отрицательным числом. Следовательно, произведение меньше нуля.
Ответ: произведение меньше нуля.

2) Рассмотрим произведение всех последовательных целых чисел от -83 до -70. Ряд чисел: -83, -82, ..., -71, -70. Все числа в этом ряду также отрицательные. Посчитаем количество множителей: $ (-70) - (-83) + 1 = -70 + 83 + 1 = 14 $. Так как количество отрицательных множителей четное (14), их произведение будет положительным числом. Следовательно, произведение больше нуля.
Ответ: произведение больше нуля.

3) Рассмотрим произведение всех последовательных целых чисел от -12 до +9. Ряд чисел: -12, -11, -10, ..., -1, 0, 1, 2, ..., 9. В этом ряду чисел присутствует множитель 0. Произведение любого количества чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, $ (-12) \times \dots \times (-1) \times 0 \times 1 \times \dots \times 9 = 0 $.
Ответ: произведение равно нулю.

160. Решить уравнение:

1) $(x + 10) \cdot (x - 7) = 0;$

2) $(13 - x) \cdot (12 + x) = 0;$

3) $(30 - x) \cdot (x + 15) \cdot (x - 22) = 0.$

Данные уравнения решаются на основе свойства произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $(x + 10) \cdot (x - 7) = 0$

Чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы один из множителей был равен нулю. Поэтому приравниваем каждую скобку к нулю и решаем полученные линейные уравнения:

$x + 10 = 0$ или $x - 7 = 0$

Из первого уравнения находим $x_1$:
$x_1 = -10$

Из второго уравнения находим $x_2$:
$x_2 = 7$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-10; 7$

2) $(13 - x) \cdot (12 + x) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$13 - x = 0$ или $12 + x = 0$

Решаем первое уравнение:
$13 - x = 0$
$x_1 = 13$

Решаем второе уравнение:
$12 + x = 0$
$x_2 = -12$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-12; 13$

3) $(30 - x) \cdot (x + 15) \cdot (x - 22) = 0$

В данном случае у нас три множителя. Произведение будет равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$30 - x = 0$ или $x + 15 = 0$ или $x - 22 = 0$

Решаем каждое уравнение по отдельности:

1. $30 - x = 0$
$x_1 = 30$

2. $x + 15 = 0$
$x_2 = -15$

3. $x - 22 = 0$
$x_3 = 22$

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-15; 22; 30$

161. Выполнить деление:

1) $0,64 : (-0,4);$

2) $-48 : 100;$

3) $-5\frac{1}{4} : \left(-\frac{7}{8}\right);$

4) $-4,692 : (-2,3).$

1) Чтобы разделить 0,64 на -0,4, сначала определим знак результата. При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Затем выполним деление модулей этих чисел: $0,64 : 0,4$.

Для удобства деления десятичных дробей, можно домножить делимое и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом:

$0,64 : 0,4 = 6,4 : 4$

Выполним деление:

$6,4 : 4 = 1,6$

Так как результат должен быть отрицательным, получаем:

$0,64 : (-0,4) = -1,6$

Ответ: -1,6

2) Чтобы разделить -48 на 100, определим знак. Деление отрицательного числа на положительное дает отрицательный результат. Далее делим модуль числа -48 на 100.

Деление на 100 эквивалентно переносу десятичной запятой на два знака влево:

$48 : 100 = 0,48$

Учитывая знак, получаем:

$-48 : 100 = -0,48$

Ответ: -0,48

3) Чтобы разделить $-5\frac{1}{4}$ на $(-\frac{7}{8})$, сначала определим знак. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Далее преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-5\frac{1}{4} = -\frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{21}{4}$

Теперь выполним деление дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь (перевернутую):

$(-\frac{21}{4}) : (-\frac{7}{8}) = \frac{21}{4} : \frac{7}{8} = \frac{21}{4} \cdot \frac{8}{7}$

Сократим дроби и выполним умножение:

$\frac{21}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{21 \cdot 8}{4 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4}{4 \cdot 7} = 3 \cdot 2 = 6$

Ответ: 6

4) Чтобы разделить -4,692 на -2,3, определим знак. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат. Теперь выполним деление модулей: $4,692 : 2,3$.

Чтобы избавиться от дроби в делителе, домножим делимое и делитель на 10:

$4,692 : 2,3 = 46,92 : 23$

Выполним деление в столбик. Сначала делим целую часть 46 на 23, получаем 2. Затем, перейдя через запятую, сносим 9. Так как 9 меньше 23, в частном пишем 0. Сносим 2, получаем 92. Делим 92 на 23, получаем 4.

$46,92 : 23 = 2,04$

Результат положительный.

Ответ: 2,04

162. Вычислить и сделать проверку двумя способами:

1) $-1\frac{13}{35} : \left(-3\frac{3}{5}\right);$

2) $-8\frac{2}{5} : \left(-1\frac{1}{20}\right);$

3) $-16,9 : 0,13;$

4) $470,4 : (-0,084).$

1)

Вычислим частное: $-1\frac{13}{35} : (-3\frac{3}{5})$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$-1\frac{13}{35} = -(\frac{1 \cdot 35 + 13}{35}) = -\frac{48}{35}$

$-3\frac{3}{5} = -(\frac{3 \cdot 5 + 3}{5}) = -\frac{18}{5}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным:

$-\frac{48}{35} : (-\frac{18}{5}) = \frac{48}{35} \cdot \frac{5}{18} = \frac{48 \cdot 5}{35 \cdot 18}$

Сократим дробь, разделив 48 и 18 на 6, а 35 и 5 на 5:

$\frac{48 \cdot 5}{35 \cdot 18} = \frac{^8\cancel{48} \cdot ^1\cancel{5}}{^7\cancel{35} \cdot ^3\cancel{18}} = \frac{8 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{8}{21}$

Проверка:

Способ 1 (умножение): Чтобы проверить деление, нужно частное умножить на делитель. Результат должен быть равен делимому (Делимое = Частное × Делитель).

$\frac{8}{21} \cdot (-3\frac{3}{5}) = \frac{8}{21} \cdot (-\frac{18}{5}) = -\frac{8 \cdot 18}{21 \cdot 5} = -\frac{8 \cdot ^6\cancel{18}}{^7\cancel{21} \cdot 5} = -\frac{48}{35} = -1\frac{13}{35}$.

Результат совпадает с делимым, значит, вычисление верно.

Способ 2 (деление): Чтобы проверить деление, нужно делимое разделить на частное. Результат должен быть равен делителю (Делитель = Делимое : Частное).

$-1\frac{13}{35} : \frac{8}{21} = -\frac{48}{35} : \frac{8}{21} = -\frac{48}{35} \cdot \frac{21}{8} = -\frac{^6\cancel{48} \cdot ^3\cancel{21}}{^5\cancel{35} \cdot ^1\cancel{8}} = -\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 1} = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5}$.

Результат совпадает с делителем, значит, вычисление верно.

Ответ: $\frac{8}{21}$

2)

Вычислим частное: $-8\frac{2}{5} : (-1\frac{1}{20})$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$-8\frac{2}{5} = -(\frac{8 \cdot 5 + 2}{5}) = -\frac{42}{5}$

$-1\frac{1}{20} = -(\frac{1 \cdot 20 + 1}{20}) = -\frac{21}{20}$

Выполним деление. Результат будет положительным:

$-\frac{42}{5} : (-\frac{21}{20}) = \frac{42}{5} \cdot \frac{20}{21} = \frac{^2\cancel{42} \cdot ^4\cancel{20}}{^1\cancel{5} \cdot ^1\cancel{21}} = \frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 8$

Проверка:

Способ 1 (умножение):

$8 \cdot (-1\frac{1}{20}) = 8 \cdot (-\frac{21}{20}) = -\frac{8 \cdot 21}{20} = -\frac{^2\cancel{8} \cdot 21}{^5\cancel{20}} = -\frac{42}{5} = -8\frac{2}{5}$.

Результат совпадает с делимым.

Способ 2 (деление):

$-8\frac{2}{5} : 8 = -\frac{42}{5} : 8 = -\frac{42}{5 \cdot 8} = -\frac{^ {21}\cancel{42}}{5 \cdot ^4\cancel{8}} = -\frac{21}{20} = -1\frac{1}{20}$.

Результат совпадает с делителем.

Ответ: $8$

3)

Вычислим частное: $-16,9 : 0,13$.

При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.

Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим делимое и делитель на 100:

$-16,9 : 0,13 = -(16,9 \cdot 100) : (0,13 \cdot 100) = -1690 : 13$

Выполним деление:

$1690 : 13 = 130$.

Следовательно, $-16,9 : 0,13 = -130$.

Проверка:

Способ 1 (умножение):

$-130 \cdot 0,13 = -(130 \cdot 0,13) = -16,9$.

Результат совпадает с делимым.

Способ 2 (деление):

$-16,9 : (-130)$. Результат будет положительным.

$16,9 : 130 = \frac{16,9}{130} = \frac{169}{1300} = \frac{13 \cdot 13}{100 \cdot 13} = \frac{13}{100} = 0,13$.

Результат совпадает с делителем.

Ответ: $-130$

4)

Вычислим частное: $470,4 : (-0,084)$.

При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.

Умножим делимое и делитель на 1000, чтобы делитель стал целым числом:

$470,4 : (-0,084) = -(470,4 \cdot 1000) : (0,084 \cdot 1000) = -470400 : 84$

Выполним деление $470400$ на $84$.

Сначала делим $470$ на $84$, берем по $5$. $5 \cdot 84 = 420$. Остаток $470 - 420 = 50$.

Сносим следующую цифру $4$, получаем $504$. Делим $504$ на $84$, берем по $6$. $6 \cdot 84 = 504$. Остаток $504 - 504 = 0$.

Оставшиеся два нуля из делимого переносим в частное. Получаем $5600$.

Следовательно, результат равен $-5600$.

Проверка:

Способ 1 (умножение):

$-5600 \cdot (-0,084)$. Результат будет положительным.

$5600 \cdot 0,084 = 56 \cdot 100 \cdot 0,084 = 56 \cdot 8,4 = 470,4$.

Результат совпадает с делимым.

Способ 2 (деление):

$470,4 : (-5600)$. Результат будет отрицательным.

$470,4 : 5600 = \frac{470,4}{5600} = \frac{4704}{56000}$.

Зная, что $4704 : 84 = 56$, можно заключить, что $4704 : 56 = 84$. Сократим дробь на 56: $56000 : 56 = 1000$.

Получаем $\frac{84}{1000} = 0,084$.

Следовательно, $470,4 : (-5600) = -0,084$.

Результат совпадает с делителем.

Ответ: $-5600$

163. Решить уравнение и сделать проверку:

1) $-6,5 : x = 8;$

2) $6,3 : x = -16;$

3) $x : (-0,13) = -20,9;$

4) $-0,31 \cdot x = -647,9.$

1)

Решим уравнение: $-6,5 : x = 8$.

В данном уравнении $x$ — неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое ($-6,5$) разделить на частное ($8$).

$x = -6,5 : 8$

$x = -0,8125$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$-6,5 : (-0,8125) = 8$

При делении двух отрицательных чисел получается положительное число. $6,5 : 0,8125 = 8$.

$8 = 8$

Равенство верное.

Ответ: $-0,8125$.

2)

Решим уравнение: $6,3 : x = -16$.

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое ($6,3$) разделить на частное ($-16$).

$x = 6,3 : (-16)$

$x = -0,39375$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$6,3 : (-0,39375) = -16$

При делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число. $6,3 : 0,39375 = 16$.

$-16 = -16$

Равенство верное.

Ответ: $-0,39375$.

3)

Решим уравнение: $x : (-0,13) = -20,9$.

В данном уравнении $x$ — неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное ($-20,9$) умножить на делитель ($-0,13$).

$x = -20,9 \cdot (-0,13)$

При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число.

$x = 2,717$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$2,717 : (-0,13) = -20,9$

При делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число. $2,717 : 0,13 = 20,9$.

$-20,9 = -20,9$

Равенство верное.

Ответ: $2,717$.

4)

Решим уравнение: $-0,31 \cdot x = -647,9$.

В данном уравнении $x$ — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($-647,9$) разделить на известный множитель ($-0,31$).

$x = -647,9 : (-0,31)$

При делении двух отрицательных чисел получается положительное число.

$x = 647,9 : 0,31 = 64790 : 31 = 2090$

$x = 2090$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$-0,31 \cdot 2090 = -647,9$

При умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число. $0,31 \cdot 2090 = 647,9$.

$-647,9 = -647,9$

Равенство верное.

Ответ: $2090$.