Страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называют значением числового выражения?

1.

Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел, знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление и др.) и скобок, указывающих на порядок выполнения этих действий. Например, $7 + (15 - 5) \cdot 2$ является числовым выражением.

Значением числового выражения называют число, которое получается в результате выполнения всех указанных в выражении действий в строго определенном порядке. Этот процесс также называют "вычислением выражения".

Порядок выполнения действий (правила):

1. Сначала выполняются действия, заключенные в скобки.
2. Затем выполняются возведение в степень и извлечение корня.
3. После этого выполняются умножение и деление в том порядке, в котором они записаны (слева направо).
4. В последнюю очередь выполняются сложение и вычитание, также в порядке их следования (слева направо).

Пример:

Найдем значение числового выражения $(6 + 4) \cdot 3 - 12 : 2$.

1. Выполняем действие в скобках: $6 + 4 = 10$.
Теперь выражение выглядит так: $10 \cdot 3 - 12 : 2$.

2. Выполняем умножение и деление слева направо:
- Умножение: $10 \cdot 3 = 30$.
- Деление: $12 : 2 = 6$.
Теперь выражение выглядит так: $30 - 6$.

3. Выполняем оставшееся действие — вычитание:
$30 - 6 = 24$.

Таким образом, число 24 является значением данного числового выражения.

Важно отметить, что некоторые выражения не имеют числового значения. Например, выражение $5 : (3 - 3)$ содержит деление на ноль, что является недопустимой операцией, поэтому такое выражение называют бессмысленным.

Ответ: Значением числового выражения является число, которое получается в результате выполнения всех указанных в этом выражении действий в установленном порядке.

2. Привести пример верного; неверного числового равенства.

верного

Верное числовое равенство — это математическое утверждение в виде равенства, которое является истинным. Это означает, что значение выражения в левой части равно значению выражения в правой части.

Приведем пример верного числового равенства: $2 \cdot (3 + 4) = 14$.

Проверим его истинность. Сначала вычислим значение выражения в левой части, соблюдая порядок действий:

1. Действие в скобках: $3 + 4 = 7$.

2. Умножение: $2 \cdot 7 = 14$.

Таким образом, левая часть равна $14$. Правая часть также равна $14$. Поскольку $14 = 14$, равенство является верным.

Ответ: $2 \cdot (3 + 4) = 14$.

неверного

Неверное числовое равенство — это математическое утверждение в виде равенства, которое является ложным. Это означает, что значение выражения в левой части не равно значению выражения в правой части.

Приведем пример неверного числового равенства: $15 - 5 = 5 \cdot 3$.

Проверим его. Вычислим значения обеих частей равенства:

Левая часть: $15 - 5 = 10$.

Правая часть: $5 \cdot 3 = 15$.

Так как левая часть ($10$) не равна правой части ($15$), то есть $10 \neq 15$, данное равенство является неверным.

Ответ: $15 - 5 = 5 \cdot 3$.

3. Какие действия относят к действиям первой ступени; второй ступени; третьей ступени?

В математике арифметические действия принято разделять на ступени (или порядки). Это разделение устанавливает приоритет их выполнения в выражениях без скобок. Общепринятое правило гласит, что сначала выполняются действия высшей ступени, а затем — низшей. Если в выражении подряд идут несколько действий одной и той же ступени, они выполняются последовательно слева направо.

действиям первой ступени

К действиям первой ступени относятся сложение и вычитание. Это фундаментальные операции, которые имеют самый низкий приоритет. В числовом выражении они выполняются после всех остальных действий (умножения, деления, возведения в степень). Если в выражении присутствуют только сложение и вычитание, их выполняют в том порядке, в котором они записаны, то есть слева направо. Например, в выражении $15 - 7 + 3$ сначала выполняется вычитание $15 - 7 = 8$, а затем сложение $8 + 3 = 11$.
Ответ: сложение и вычитание.

второй ступени

К действиям второй ступени относятся умножение и деление. Эти действия имеют более высокий приоритет, чем действия первой ступени, и выполняются раньше них. Если в выражении встречаются и умножение, и деление, они также выполняются по порядку слева направо. Например, в выражении $20 + 10 \div 2 \cdot 5 - 1$ сначала выполняются действия второй ступени: деление $10 \div 2 = 5$, затем умножение $5 \cdot 5 = 25$. После этого выполняются действия первой ступени: $20 + 25 - 1 = 44$.
Ответ: умножение и деление.

третьей ступени

К действиям третьей ступени относятся возведение в степень, извлечение корня, а также нахождение логарифма. Эти операции обладают наивысшим приоритетом и выполняются в первую очередь, до действий второй и первой ступени. Например, в выражении $5 \cdot 2^3 + \sqrt{81}$ сначала необходимо выполнить действия третьей ступени: возвести в степень $2^3 = 8$ и извлечь корень $\sqrt{81} = 9$. Затем выражение примет вид $5 \cdot 8 + 9$. Далее выполняется действие второй ступени (умножение) $5 \cdot 8 = 40$, и в самом конце — действие первой ступени (сложение) $40 + 9 = 49$.
Ответ: возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование.

4. Какой порядок выполнения действий применяют при нахождении значения числового выражения?

При нахождении значения числового выражения, то есть при выполнении всех указанных в нем действий, необходимо соблюдать строгий порядок, который определяется следующими правилами:

1. Действия в скобках. Если в выражении есть скобки, то в первую очередь выполняются все действия, заключенные в них. При наличии вложенных скобок (одних скобок внутри других) вычисления начинаются с самых внутренних.
2. Возведение в степень и извлечение корня. После вычисления выражений в скобках выполняются операции возведения в степень и извлечения корня. Если таких операций несколько, они выполняются по порядку слева направо.
3. Умножение и деление. Следующими по приоритету являются операции умножения и деления. Они имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняются в том порядке, в котором они записаны в выражении, то есть слева направо.
4. Сложение и вычитание. В последнюю очередь выполняются операции сложения и вычитания. Они также имеют равный приоритет и выполняются в порядке их следования слева направо.

Рассмотрим применение этого порядка на примере вычисления значения выражения:

$$(6 + 2^3) \cdot 3 - (15 - 5) : 2$$

1. Действия в скобках:

• В первых скобках $$(6 + 2^3)$$ сначала выполняем возведение в степень: $$2^3 = 8$$. Затем сложение: $$6 + 8 = 14$$.
• Во вторых скобках $$(15 - 5)$$ выполняем вычитание: $$15 - 5 = 10$$.

После выполнения действий в скобках выражение принимает вид:

$$14 \cdot 3 - 10 : 2$$

2. Умножение и деление (слева направо):

• Сначала выполняем умножение: $$14 \cdot 3 = 42$$.
• Затем выполняем деление: $$10 : 2 = 5$$.

Теперь выражение выглядит так:

$$42 - 5$$

3. Сложение и вычитание:

• Выполняем последнее действие — вычитание: $$42 - 5 = 37$$.

Таким образом, значение исходного выражения равно 37.

Ответ: При нахождении значения числового выражения установлен следующий порядок действий: 1) сначала выполняются действия в скобках; 2) затем возведение в степень и извлечение корня; 3) после этого — умножение и деление; 4) в последнюю очередь — сложение и вычитание. Операции с одинаковым приоритетом (умножение/деление и сложение/вычитание) выполняются строго слева направо.

1) $7 \cdot 8;$ 2) $6 \cdot 7;$ 3) $92 : 4;$ 4) $91 : 7;$

5) $15 - 18;$ 6) $-40 + 31;$ 7) $-21 + 18;$ 8) $-34 - 9;$

9) $-27 \cdot 3;$ 10) $54 : (-6);$ 11) $\frac{1}{2} - \frac{1}{4};$ 12) $1\frac{1}{16} - \frac{5}{16};$

13) $\frac{1}{15} \cdot \frac{5}{8};$ 14) $\frac{2}{3} : \frac{1}{6};$ 15) $5 \cdot 0,01;$ 16) $3 : 0,01.$

1) Для вычисления произведения чисел 7 и 8 необходимо выполнить операцию умножения. Это базовый пример из таблицы умножения.
$7 \cdot 8 = 56$
Ответ: 56

2) Для вычисления произведения чисел 6 и 7 необходимо выполнить операцию умножения.
$6 \cdot 7 = 42$
Ответ: 42

3) Чтобы разделить 92 на 4, можно представить число 92 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых легко делится на 4. Например, $92 = 80 + 12$.
$92 : 4 = (80 + 12) : 4 = 80 : 4 + 12 : 4 = 20 + 3 = 23$
Ответ: 23

4) Чтобы разделить 91 на 7, можно представить число 91 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых легко делится на 7. Например, $91 = 70 + 21$.
$91 : 7 = (70 + 21) : 7 = 70 : 7 + 21 : 7 = 10 + 3 = 13$
Ответ: 13

5) Для вычисления разности 15 и 18, мы из меньшего числа вычитаем большее. Результат будет отрицательным. Чтобы найти его, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак минус.
$15 - 18 = -(18 - 15) = -3$
Ответ: -3

6) Здесь мы складываем отрицательное и положительное числа. Модуль отрицательного числа (40) больше модуля положительного (31), поэтому результат будет отрицательным. Вычитаем из большего модуля меньший и ставим знак минус.
$-40 + 31 = -(40 - 31) = -9$
Ответ: -9

7) Складываем отрицательное и положительное числа. Модуль отрицательного числа (21) больше модуля положительного (18), поэтому результат будет отрицательным.
$-21 + 18 = -(21 - 18) = -3$
Ответ: -3

8) Вычитание числа 9 из -34 равносильно сложению двух отрицательных чисел: -34 и -9. Складываем их модули и ставим знак минус.
$-34 - 9 = -(34 + 9) = -43$
Ответ: -43

9) При умножении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Умножаем их модули и ставим знак минус.
$-27 \cdot 3 = -(27 \cdot 3) = -81$
Ответ: -81

10) При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Делим их модули и ставим знак минус.
$54 : (-6) = -(54 : 6) = -9$
Ответ: -9

11) Для вычитания дробей их нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 4 это 4. Домножаем числитель и знаменатель первой дроби на 2.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 1}{4} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

12) Для вычитания дробей сначала представим смешанное число $1\frac{1}{16}$ в виде неправильной дроби.
$1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{17}{16} - \frac{5}{16} = \frac{17-5}{16} = \frac{12}{16}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:
$\frac{12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

13) При умножении дробей перемножаются их числители и знаменатели.
$\frac{1}{15} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 5}{15 \cdot 8} = \frac{5}{120}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5}{120} = \frac{5 : 5}{120 : 5} = \frac{1}{24}$
Ответ: $\frac{1}{24}$

14) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).
$\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 1} = \frac{12}{3} = 4$
Ответ: 4

15) Чтобы умножить число на десятичную дробь 0,01, нужно перенести запятую в этом числе на два знака влево.
$5 \cdot 0,01 = 0,05$
Или можно представить 0,01 как дробь $\frac{1}{100}$:
$5 \cdot \frac{1}{100} = \frac{5}{100} = 0,05$
Ответ: 0,05

16) Чтобы разделить число на десятичную дробь 0,01, можно умножить и делимое (3), и делитель (0,01) на 100, чтобы делитель стал целым числом.
$3 : 0,01 = (3 \cdot 100) : (0,01 \cdot 100) = 300 : 1 = 300$
Или можно представить 0,01 как дробь $\frac{1}{100}$ и выполнить деление дробей:
$3 : \frac{1}{100} = 3 \cdot \frac{100}{1} = 300$
Ответ: 300