Страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

2. (Устно.) Вычислить:

1) $12 : (3 - 1)$;

2) $10 - 3^2$;

3) $10 + (-3)^2$;

4) $2^3$;

5) $(-2)^3$.

1) Согласно порядку выполнения арифметических операций, сначала необходимо выполнить действие в скобках: $3 - 1 = 2$. Затем выполним деление: $12 : 2 = 6$.
Ответ: 6

2) В выражении $10 - 3^2$ порядок действий следующий: сначала возведение в степень, а затем вычитание. Возводим 3 в квадрат: $3^2 = 9$. Далее выполняем вычитание: $10 - 9 = 1$.
Ответ: 1

3) В выражении $10 + (-3)^2$ первым действием также является возведение в степень. В квадрат возводится число $-3$, находящееся в скобках: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$. Затем выполняем сложение: $10 + 9 = 19$.
Ответ: 19

4) Выражение $2^3$ представляет собой возведение числа 2 в третью степень. Это означает, что число 2 нужно умножить само на себя три раза: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Ответ: 8

5) Выражение $(-2)^3$ представляет собой возведение отрицательного числа $-2$ в третью степень. Это означает, что число $-2$ нужно умножить само на себя три раза: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$. Так как степень нечетная, результат получается отрицательным.
Ответ: -8

168. Вычислить:

1) $75 - 3,75$;

2) $0,48 \cdot 25$;

3) $\frac{2}{3} - 2$;

4) $\frac{4}{7} : 8$;

5) $5\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{11}$;

6) $1\frac{1}{7} : \frac{1}{14}$;

7) $-18 : (-4,5)$;

8) $(-10,5) \cdot 0,4$.

1) Чтобы выполнить вычитание $75 - 3,75$, представим 75 как $75,00$. Тогда вычитание можно произвести в столбик или устно:$75,00 - 3,75 = 71,25$.
Ответ: 71,25

2) Чтобы умножить $0,48$ на $25$, можно представить $25$ как $\frac{100}{4}$. Тогда вычисление упрощается:$0,48 \cdot 25 = 0,48 \cdot \frac{100}{4} = \frac{48}{4} = 12$.
Ответ: 12

3) Для вычитания $\frac{2}{3} - 2$ представим целое число 2 в виде дроби со знаменателем 3: $2 = \frac{6}{3}$.$\frac{2}{3} - 2 = \frac{2}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2-6}{3} = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $-\frac{4}{3}$

4) Деление дроби на целое число равносильно умножению на обратное число. То есть, разделить на 8 — это то же самое, что умножить на $\frac{1}{8}$.$\frac{4}{7} : 8 = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{56}$.Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:$\frac{4:4}{56:4} = \frac{1}{14}$.
Ответ: $\frac{1}{14}$

5) Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:$5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$.Теперь выполним умножение:$\frac{11}{2} \cdot \frac{2}{11} = \frac{11 \cdot 2}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$.
Ответ: 1

6) Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{7}$ в неправильную дробь:$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.Деление на дробь $\frac{1}{14}$ заменяем умножением на обратную ей дробь $\frac{14}{1}$:$\frac{8}{7} : \frac{1}{14} = \frac{8}{7} \cdot \frac{14}{1} = \frac{8 \cdot 14}{7} = 8 \cdot 2 = 16$.
Ответ: 16

7) При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным. Таким образом, $-18 : (-4,5) = 18 : 4,5$.Чтобы упростить деление, умножим делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе:$18 : 4,5 = (18 \cdot 10) : (4,5 \cdot 10) = 180 : 45 = 4$.
Ответ: 4

8) При умножении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Вычислим произведение модулей чисел:$10,5 \cdot 0,4$.$105 \cdot 4 = 420$. В исходных множителях суммарно два знака после запятой, значит, и в результате отделяем два знака: $4,20 = 4,2$.Так как результат отрицательный, получаем: $(-10,5) \cdot 0,4 = -4,2$.
Ответ: -4,2

169. Записать в виде числового выражения:

1) произведение суммы и разности чисел 13 и 17;

2) удвоенное произведение чисел $\frac{1}{3}$ и 2,7.

1) Чтобы записать «произведение суммы и разности чисел 13 и 17» в виде числового выражения, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти сумму чисел 13 и 17. В виде выражения это записывается как $(13 + 17)$.
2. Найти разность чисел 13 и 17. В виде выражения это записывается как $(13 - 17)$.
3. Найти произведение (результат умножения) полученных суммы и разности. Скобки здесь необходимы, чтобы показать, что мы перемножаем результаты сложения и вычитания, а не отдельные числа.
В результате получаем числовое выражение: $(13 + 17) \cdot (13 - 17)$.
Ответ: $(13 + 17) \cdot (13 - 17)$.

2) Чтобы записать «удвоенное произведение чисел $\frac{1}{3}$ и 2,7» в виде числового выражения, нужно:
1. Найти произведение чисел $\frac{1}{3}$ и 2,7. Это записывается как $\frac{1}{3} \cdot 2,7$.
2. "Удвоить" полученное произведение означает умножить его на 2.
В результате получаем числовое выражение: $2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2,7$. В данном случае скобки можно не использовать, так как все операции являются умножением, и порядок их выполнения не изменит результат.
Ответ: $2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2,7$.

170. Записать в виде числового равенства и проверить, верно ли оно:

1) сумма чисел $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{5} $ равна разности чисел $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{2}{15} $;

2) произведение чисел 40 и 0,03 равно частному от деления числа 6 на число 5;

3) удвоенная разность чисел 10 и -2 в три раза больше суммы этих же чисел;

4) утроенная сумма чисел 2 и 6 в два раза больше произведения этих же чисел.

1) Запишем утверждение «сумма чисел $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$ равна разности чисел $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{15}$» в виде числового равенства: $ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{2}{3} - \frac{2}{15} $.
Чтобы проверить, верно ли оно, вычислим значения левой и правой частей.
Левая часть: найдем сумму, приведя дроби к общему знаменателю 15. $ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{15} + \frac{1 \cdot 3}{15} = \frac{5+3}{15} = \frac{8}{15} $.
Правая часть: найдем разность, также приведя дроби к знаменателю 15. $ \frac{2}{3} - \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 5}{15} - \frac{2}{15} = \frac{10-2}{15} = \frac{8}{15} $.
Так как левая и правая части равны ($ \frac{8}{15} = \frac{8}{15} $), равенство верно.
Ответ: равенство $ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{2}{3} - \frac{2}{15} $ верно.

2) Запишем утверждение «произведение чисел 40 и 0,03 равно частному от деления числа 6 на число 5» в виде числового равенства: $ 40 \cdot 0{,}03 = 6 : 5 $.
Проверим верность этого равенства.
Левая часть: $ 40 \cdot 0{,}03 = 1{,}2 $.
Правая часть: $ 6 : 5 = \frac{6}{5} = 1{,}2 $.
Поскольку $ 1{,}2 = 1{,}2 $, равенство является верным.
Ответ: равенство $ 40 \cdot 0{,}03 = 6 : 5 $ верно.

3) Запишем утверждение «удвоенная разность чисел 10 и -2 в три раза больше суммы этих же чисел» в виде числового равенства. Выражение «в три раза больше» означает, что первая величина равна второй, умноженной на три. $ 2 \cdot (10 - (-2)) = 3 \cdot (10 + (-2)) $.
Проверим верность равенства.
Левая часть: $ 2 \cdot (10 - (-2)) = 2 \cdot (10 + 2) = 2 \cdot 12 = 24 $.
Правая часть: $ 3 \cdot (10 + (-2)) = 3 \cdot (10 - 2) = 3 \cdot 8 = 24 $.
Так как $ 24 = 24 $, равенство верно.
Ответ: равенство $ 2 \cdot (10 - (-2)) = 3 \cdot (10 + (-2)) $ верно.

4) Запишем утверждение «утроенная сумма чисел 2 и 6 в два раза больше произведения этих же чисел» в виде числового равенства. Это означает, что утроенная сумма равна удвоенному произведению. $ 3 \cdot (2 + 6) = 2 \cdot (2 \cdot 6) $.
Проверим верность этого равенства.
Левая часть: $ 3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 8 = 24 $.
Правая часть: $ 2 \cdot (2 \cdot 6) = 2 \cdot 12 = 24 $.
Так как $ 24 = 24 $, равенство является верным.
Ответ: равенство $ 3 \cdot (2 + 6) = 2 \cdot (2 \cdot 6) $ верно.

171. В кассе кинотеатра продано 154 билета по 250 р. и 76 билетов по 300 р. Сколько денег получено за все билеты?

Чтобы найти общую сумму денег, полученную за все проданные билеты, необходимо выполнить два основных действия: сначала рассчитать выручку для каждой ценовой категории билетов, а затем сложить полученные суммы.

1. Рассчитаем сумму, полученную от продажи 154 билетов по 250 рублей.
Для этого умножим количество билетов на их стоимость:
$154 \cdot 250 = 38500$ рублей.

2. Рассчитаем сумму, полученную от продажи 76 билетов по 300 рублей.
Для этого также умножим количество билетов на их стоимость:
$76 \cdot 300 = 22800$ рублей.

3. Найдем общую сумму, полученную за все билеты.
Для этого сложим выручку от продажи билетов обеих категорий:
$38500 + 22800 = 61300$ рублей.

Ответ: 61300 рублей.

172. Указать порядок выполнения действий и вычислить:

1) $1,7 \cdot 3^2 + \frac{2}{3} \cdot 12 - 15;$

2) $27,7 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 100 + 6,4 : 0,8;$

3) $48 \cdot 0,05 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 54 + 1,7;$

4) $(2,5)^2 + 15 \cdot \frac{2}{3} - 0,24 : 0,6.$

1) $1,7 \cdot 3^2 + \frac{2}{3} \cdot 12 - 15$

Порядок действий: сначала выполняется возведение в степень, затем умножение, и в конце – сложение и вычитание слева направо.

1. Возводим в степень: $3^2 = 9$.
Выражение принимает вид: $1,7 \cdot 9 + \frac{2}{3} \cdot 12 - 15$.

2. Выполняем умножение слева направо:
$1,7 \cdot 9 = 15,3$
$\frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{2 \cdot 12}{3} = 2 \cdot 4 = 8$
Выражение принимает вид: $15,3 + 8 - 15$.

3. Выполняем сложение и вычитание слева направо:
$15,3 + 8 = 23,3$
$23,3 - 15 = 8,3$.

Ответ: 8,3.

2) $27,7 - (\frac{1}{2})^2 \cdot 100 + 6,4 : 0,8$

Порядок действий: сначала выполняем действие в скобках (возведение в степень), затем умножение и деление слева направо, и в конце – вычитание и сложение слева направо.

1. Возводим в степень дробь в скобках: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Выражение принимает вид: $27,7 - 0,25 \cdot 100 + 6,4 : 0,8$.

2. Выполняем умножение и деление слева направо:
$0,25 \cdot 100 = 25$
$6,4 : 0,8 = 64 : 8 = 8$
Выражение принимает вид: $27,7 - 25 + 8$.

3. Выполняем вычитание и сложение слева направо:
$27,7 - 25 = 2,7$
$2,7 + 8 = 10,7$.

Ответ: 10,7.

3) $48 \cdot 0,05 - (\frac{1}{3})^2 \cdot 54 + 1,7$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение слева направо, и в конце – вычитание и сложение слева направо.

1. Возводим в степень дробь в скобках: $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Выражение принимает вид: $48 \cdot 0,05 - \frac{1}{9} \cdot 54 + 1,7$.

2. Выполняем умножение слева направо:
$48 \cdot 0,05 = 48 \cdot \frac{5}{100} = \frac{240}{100} = 2,4$
$\frac{1}{9} \cdot 54 = \frac{54}{9} = 6$
Выражение принимает вид: $2,4 - 6 + 1,7$.

3. Выполняем вычитание и сложение слева направо:
$2,4 - 6 = -3,6$
$-3,6 + 1,7 = -1,9$.

Ответ: -1,9.

4) $(2,5)^2 + 15 \cdot \frac{2}{3} - 0,24 : 0,6$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение и деление слева направо, и в конце – сложение и вычитание слева направо.

1. Возводим в степень: $(2,5)^2 = 6,25$.
Выражение принимает вид: $6,25 + 15 \cdot \frac{2}{3} - 0,24 : 0,6$.

2. Выполняем умножение и деление слева направо:
$15 \cdot \frac{2}{3} = \frac{15 \cdot 2}{3} = 5 \cdot 2 = 10$
$0,24 : 0,6 = 2,4 : 6 = 0,4$
Выражение принимает вид: $6,25 + 10 - 0,4$.

3. Выполняем сложение и вычитание слева направо:
$6,25 + 10 = 16,25$
$16,25 - 0,4 = 15,85$.

Ответ: 15,85.

173. Найти значение числового выражения:

1) $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{4}\right);$

2) $\left(\frac{2}{7}-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{2}{13}-\frac{1}{2}\right);$

3) $4\frac{2}{3}+\frac{1}{4} \cdot \left(1\frac{7}{9}-\frac{4}{9}\right);$

4) $5\frac{1}{7}-\frac{1}{7} \cdot \left(1\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right);$

5) $\left(3\frac{1}{3} \cdot 3^2-17\right): 13-0.07.$

1)

Сначала выполним действия в скобках, приводя дроби к общему знаменателю.

Действие в первой скобке: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{6} + \frac{1 \cdot 2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$.

Действие во второй скобке: $\frac{1}{5} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{20} - \frac{1 \cdot 5}{20} = \frac{4-5}{20} = -\frac{1}{20}$.

Теперь выполним умножение полученных результатов: $\frac{5}{6} \cdot (-\frac{1}{20}) = -\frac{5 \cdot 1}{6 \cdot 20} = -\frac{5}{120}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $-\frac{5 \div 5}{120 \div 5} = -\frac{1}{24}$.

Ответ: $-\frac{1}{24}$.

2)

Сначала выполним действия в скобках, приводя дроби к общему знаменателю.

Действие в первой скобке: $\frac{2}{7} - \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{28} - \frac{3 \cdot 7}{28} = \frac{8-21}{28} = -\frac{13}{28}$.

Действие во второй скобке: $\frac{2}{13} - \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{26} - \frac{1 \cdot 13}{26} = \frac{4-13}{26} = -\frac{9}{26}$.

Теперь перемножим результаты. Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сократим дроби перед умножением: $(-\frac{13}{28}) \cdot (-\frac{9}{26}) = \frac{13 \cdot 9}{28 \cdot 26} = \frac{1 \cdot 9}{28 \cdot 2} = \frac{9}{56}$.

Ответ: $\frac{9}{56}$.

3)

Согласно порядку действий, сначала выполним действие в скобках, затем умножение и сложение.

1. Вычитание в скобках: $1\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = 1\frac{7-4}{9} = 1\frac{3}{9} = 1\frac{1}{3}$.

2. Умножение. Для этого представим $1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Тогда $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.

3. Сложение: $4\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 4\frac{2+1}{3} = 4\frac{3}{3} = 4+1 = 5$.

Ответ: $5$.

4)

Сначала выполним действие в скобках, затем умножение и вычитание.

1. Сложение в скобках: $1\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1\frac{3+1}{4} = 1\frac{4}{4} = 1+1 = 2$.

2. Умножение: $\frac{1}{7} \cdot 2 = \frac{2}{7}$.

3. Вычитание: $5\frac{1}{7} - \frac{2}{7}$. Чтобы вычесть, займем единицу у целой части: $5\frac{1}{7} = 4\frac{8}{7}$. Тогда $4\frac{8}{7} - \frac{2}{7} = 4\frac{8-2}{7} = 4\frac{6}{7}$.

Ответ: $4\frac{6}{7}$.

5)

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках (возведение в степень, умножение, вычитание), затем деление и вычитание.

1. Вычислим значение выражения в скобках.
Возведение в степень: $3^2 = 9$.
Умножение: $3\frac{1}{3} \cdot 9 = \frac{10}{3} \cdot 9 = 10 \cdot 3 = 30$.
Вычитание: $30 - 17 = 13$.

2. Деление: $13 : 13 = 1$.

3. Вычитание: $1 - 0,07 = 0,93$.

Ответ: $0,93$.