Страница 12 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

14. Найти неизвестный делитель, если:

1) делимое равно 6359, неполное частное равно 132, остаток — 23;

2) делимое равно 14602, неполное частное — 405, остаток — 22.

Для нахождения неизвестного делителя используется формула, связывающая делимое, делитель, неполное частное и остаток. Общая формула деления с остатком выглядит так: $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток.

Чтобы найти неизвестный делитель $b$, необходимо выразить его из этой формулы:

$a - r = b \cdot q$

$b = \frac{a - r}{q}$

Теперь применим эту формулу для решения каждого пункта задачи.

1) Дано: делимое $a = 6359$, неполное частное $q = 132$, остаток $r = 23$.

Подставляем значения в формулу для нахождения делителя $b$:

$b = \frac{6359 - 23}{132}$

Сначала вычитаем остаток из делимого:

$6359 - 23 = 6336$

Теперь делим полученный результат на неполное частное:

$b = \frac{6336}{132} = 48$

Следовательно, неизвестный делитель равен 48.

Ответ: 48.

2) Дано: делимое $a = 14602$, неполное частное $q = 405$, остаток $r = 22$.

Подставляем значения в формулу для нахождения делителя $b$:

$b = \frac{14602 - 22}{405}$

Вычитаем остаток из делимого:

$14602 - 22 = 14580$

Делим полученный результат на неполное частное:

$b = \frac{14580}{405} = 36$

Следовательно, неизвестный делитель равен 36.

Ответ: 36.

15. Установить число, которое следует записать в пустую клетку:

1) $1 \text{ м} = \Box \text{ дм};$

2) $1 \text{ дм} = \Box \text{ мм};$

3) $1 \text{ км} = \Box \text{ дм};$

4) $1 \text{ см}^2 = \Box \text{ мм}^2;$

5) $1 \text{ дм}^2 = \Box \text{ см}^2;$

6) $1 \text{ м}^2 = \Box \text{ дм}^2;$

7) $1 \text{ см}^3 = \Box \text{ мм}^3;$

8) $1 \text{ дм}^3 = \Box \text{ см}^3;$

9) $1 \text{ м}^3 = \Box \text{ дм}^3;$

10) $1 \text{ дм}^2 = \Box \text{ мм}^2;$

11) $1 \text{ м}^2 = \Box \text{ мм}^2;$

12) $1 \text{ м}^3 = \Box \text{ см}^3.$

1) Чтобы установить, сколько дециметров в одном метре, необходимо вспомнить базовое соотношение единиц длины в метрической системе. Один метр (м) равен десяти дециметрам (дм). $1\ \text{м} = 10\ \text{дм}$.
Ответ: 10.

2) Для перевода дециметров (дм) в миллиметры (мм) воспользуемся следующими соотношениями: в одном дециметре содержится 10 сантиметров (см), а в каждом сантиметре — 10 миллиметров. Следовательно, чтобы найти количество миллиметров в одном дециметре, нужно перемножить эти значения. $1\ \text{дм} = 10\ \text{см} = 10 \times 10\ \text{мм} = 100\ \text{мм}$.
Ответ: 100.

3) Для перевода километров (км) в дециметры (дм), вспомним, что в одном километре содержится 1000 метров (м), а в каждом метре — 10 дециметров. Таким образом, для получения итогового значения необходимо умножить 1000 на 10. $1\ \text{км} = 1000\ \text{м} = 1000 \times 10\ \text{дм} = 10000\ \text{дм}$.
Ответ: 10 000.

4) Здесь требуется перевести единицы площади: квадратные сантиметры (см²) в квадратные миллиметры (мм²). Линейное соотношение между этими единицами: $1\ \text{см} = 10\ \text{мм}$. При переходе к единицам площади, коэффициент перевода возводится в квадрат. $1\ \text{см}^2 = (1\ \text{см}) \times (1\ \text{см}) = (10\ \text{мм}) \times (10\ \text{мм}) = 10^2\ \text{мм}^2 = 100\ \text{мм}^2$.
Ответ: 100.

5) Для перевода квадратных дециметров (дм²) в квадратные сантиметры (см²) используется линейное соотношение $1\ \text{дм} = 10\ \text{см}$. Для единиц площади этот коэффициент необходимо возвести во вторую степень. $1\ \text{дм}^2 = (1\ \text{дм}) \times (1\ \text{дм}) = (10\ \text{см}) \times (10\ \text{см}) = 10^2\ \text{см}^2 = 100\ \text{см}^2$.
Ответ: 100.

6) Для перевода квадратных метров (м²) в квадратные дециметры (дм²) используется линейное соотношение $1\ \text{м} = 10\ \text{дм}$. Коэффициент перевода для единиц площади будет равен квадрату линейного коэффициента. $1\ \text{м}^2 = (1\ \text{м}) \times (1\ \text{м}) = (10\ \text{дм}) \times (10\ \text{дм}) = 10^2\ \text{дм}^2 = 100\ \text{дм}^2$.
Ответ: 100.

7) В этой задаче необходимо перевести единицы объема: кубические сантиметры (см³) в кубические миллиметры (мм³). Линейное соотношение: $1\ \text{см} = 10\ \text{мм}$. При переходе к единицам объема, коэффициент перевода возводится в куб (третью степень). $1\ \text{см}^3 = (1\ \text{см})^3 = (10\ \text{мм})^3 = 10^3\ \text{мм}^3 = 1000\ \text{мм}^3$.
Ответ: 1 000.

8) Для перевода кубических дециметров (дм³) в кубические сантиметры (см³) используется линейное соотношение $1\ \text{дм} = 10\ \text{см}$. Для единиц объема этот коэффициент необходимо возвести в третью степень. $1\ \text{дм}^3 = (1\ \text{дм})^3 = (10\ \text{см})^3 = 10^3\ \text{см}^3 = 1000\ \text{см}^3$.
Ответ: 1 000.

9) Для перевода кубических метров (м³) в кубические дециметры (дм³) используется линейное соотношение $1\ \text{м} = 10\ \text{дм}$. Коэффициент перевода для единиц объема будет равен кубу линейного коэффициента. $1\ \text{м}^3 = (1\ \text{м})^3 = (10\ \text{дм})^3 = 10^3\ \text{дм}^3 = 1000\ \text{дм}^3$.
Ответ: 1 000.

10) Для перевода квадратных дециметров (дм²) в квадратные миллиметры (мм²) сначала установим линейное соотношение между дециметром и миллиметром: $1\ \text{дм} = 100\ \text{мм}$. Затем возведем этот коэффициент в квадрат. $1\ \text{дм}^2 = (1\ \text{дм})^2 = (100\ \text{мм})^2 = 100^2\ \text{мм}^2 = 10000\ \text{мм}^2$.
Ответ: 10 000.

11) Для перевода квадратных метров (м²) в квадратные миллиметры (мм²) используем линейное соотношение $1\ \text{м} = 1000\ \text{мм}$. Возведя его в квадрат, получим коэффициент для перевода единиц площади. $1\ \text{м}^2 = (1\ \text{м})^2 = (1000\ \text{мм})^2 = 1000^2\ \text{мм}^2 = 1000000\ \text{мм}^2$.
Ответ: 1 000 000.

12) Для перевода кубических метров (м³) в кубические сантиметры (см³) используем линейное соотношение $1\ \text{м} = 100\ \text{см}$. Возведя его в куб, получим коэффициент для перевода единиц объема. $1\ \text{м}^3 = (1\ \text{м})^3 = (100\ \text{см})^3 = 100^3\ \text{см}^3 = 1000000\ \text{см}^3$.
Ответ: 1 000 000.

16. Определить, сколько:

1) квадратных сантиметров в 5 квадратных дециметрах;

2) кубических дециметров в 10 кубических метрах.

1) квадратных сантиметров в 5 квадратных дециметрах;

Для решения этой задачи необходимо перевести квадратные дециметры в квадратные сантиметры. Вспомним соотношение линейных единиц:

$1 \text{ дециметр (дм)} = 10 \text{ сантиметров (см)}$

Для перевода единиц площади (квадратных единиц) необходимо возвести в квадрат соотношение линейных единиц:

$1 \text{ дм}^2 = (1 \text{ дм}) \times (1 \text{ дм}) = (10 \text{ см}) \times (10 \text{ см}) = 100 \text{ см}^2$

Таким образом, в одном квадратном дециметре содержится 100 квадратных сантиметров. Теперь найдем, сколько квадратных сантиметров в 5 квадратных дециметрах:

$5 \text{ дм}^2 = 5 \times 100 \text{ см}^2 = 500 \text{ см}^2$

Ответ: 500 квадратных сантиметров.

2) кубических дециметров в 10 кубических метрах.

Для решения этой задачи необходимо перевести кубические метры в кубические дециметры. Вспомним соотношение линейных единиц:

$1 \text{ метр (м)} = 10 \text{ дециметров (дм)}$

Для перевода единиц объема (кубических единиц) необходимо возвести в куб соотношение линейных единиц:

$1 \text{ м}^3 = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = (10 \text{ дм}) \times (10 \text{ дм}) \times (10 \text{ дм}) = 1000 \text{ дм}^3$

Таким образом, в одном кубическом метре содержится 1000 кубических дециметров. Теперь найдем, сколько кубических дециметров в 10 кубических метрах:

$10 \text{ м}^3 = 10 \times 1000 \text{ дм}^3 = 10000 \text{ дм}^3$

Ответ: 10000 кубических дециметров.

17. Заполнить пропуски:

1) $70000 \text{ м} = \text{___} \text{ км};$

2) $5000 \text{ мм}^2 = \text{___} \text{ см}^2;$

3) $180000 \text{ см}^2 = \text{___} \text{ дм}^2;$

4) $600000 \text{ дм}^3 = \text{___} \text{ м}^3.$

1) Чтобы перевести метры (м) в километры (км), необходимо знать, что в одном километре 1000 метров. Формула перевода: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Для того чтобы перевести 70 000 метров в километры, нужно разделить количество метров на 1000:
$70000 \text{ м} = \frac{70000}{1000} \text{ км} = 70 \text{ км}$.
Ответ: 70.

2) Для перевода квадратных миллиметров (мм²) в квадратные сантиметры (см²) нужно знать соотношение линейных единиц: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
При переходе к единицам площади это соотношение возводится в квадрат: $1 \text{ см}^2 = (10 \text{ мм})^2 = 100 \text{ мм}^2$.
Следовательно, чтобы перевести 5000 мм² в см², нужно разделить это число на 100:
$5000 \text{ мм}^2 = \frac{5000}{100} \text{ см}^2 = 50 \text{ см}^2$.
Ответ: 50.

3) Чтобы перевести квадратные сантиметры (см²) в квадратные дециметры (дм²), воспользуемся соотношением: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Для единиц площади соотношение будет следующим: $1 \text{ дм}^2 = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$.
Чтобы перевести 180 000 см² в дм², необходимо разделить это значение на 100:
$180000 \text{ см}^2 = \frac{180000}{100} \text{ дм}^2 = 1800 \text{ дм}^2$.
Ответ: 1800.

4) Для перевода кубических дециметров (дм³) в кубические метры (м³) нужно знать, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Для единиц объема это соотношение возводится в куб: $1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
Таким образом, чтобы перевести 600 000 дм³ в м³, нужно разделить данное число на 1000:
$600000 \text{ дм}^3 = \frac{600000}{1000} \text{ м}^3 = 600 \text{ м}^3$.
Ответ: 600.

18. Выразить:

1) 3 дм 6 см в миллиметрах;

2) 842 000 кг в тоннах и центнерах;

3) 40 минут в секундах;

4) 560 минут в часах и минутах.

1) 3 дм 6 см в миллиметрах;
Чтобы выразить данное значение в миллиметрах, необходимо сначала перевести дециметры и сантиметры в миллиметры, а затем сложить полученные значения. Мы знаем следующие соотношения единиц длины:
$1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$
$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$
Переведем 3 дециметра в миллиметры:
$3 \text{ дм} = 3 \times 100 \text{ мм} = 300 \text{ мм}$
Переведем 6 сантиметров в миллиметры:
$6 \text{ см} = 6 \times 10 \text{ мм} = 60 \text{ мм}$
Теперь сложим полученные результаты:
$300 \text{ мм} + 60 \text{ мм} = 360 \text{ мм}$
Ответ: 360 мм.

2) 842 000 кг в тоннах и центнерах;
Для перевода килограммов в более крупные единицы массы, тонны и центнеры, используем следующие соотношения:
$1 \text{ тонна (т)} = 1000 \text{ килограммов (кг)}$
$1 \text{ центнер (ц)} = 100 \text{ килограммов (кг)}$
Сначала выразим массу в тоннах, разделив количество килограммов на 1000:
$842\,000 \text{ кг} = \frac{842\,000}{1000} \text{ т} = 842 \text{ т}$
Теперь выразим эту же массу в центнерах, разделив количество килограммов на 100:
$842\,000 \text{ кг} = \frac{842\,000}{100} \text{ ц} = 8420 \text{ ц}$
Поскольку 1 тонна равна 10 центнерам, можно проверить: $842 \text{ т} = 842 \times 10 \text{ ц} = 8420 \text{ ц}$.
Ответ: 842 т или 8420 ц.

3) 40 минут в секундах;
Чтобы перевести минуты в секунды, нужно знать, что в одной минуте содержится 60 секунд.
$1 \text{ минута (мин)} = 60 \text{ секунд (с)}$
Умножим количество минут на 60, чтобы найти эквивалентное значение в секундах:
$40 \text{ мин} = 40 \times 60 \text{ с} = 2400 \text{ с}$
Ответ: 2400 с.

4) 560 минут в часах и минутах.
Чтобы выразить минуты в часах и минутах, мы должны помнить, что в одном часе 60 минут.
$1 \text{ час (ч)} = 60 \text{ минут (мин)}$
Разделим общее количество минут на 60, чтобы найти количество полных часов. Целая часть от деления будет соответствовать часам, а остаток — минутам.
$560 \div 60$
Целая часть от деления $560$ на $60$ равна $9$, так как $9 \times 60 = 540$.
Теперь найдем остаток, который и будет количеством минут:
$560 - 540 = 20$
Таким образом, 560 минут равны 9 часам и 20 минутам.
Ответ: 9 ч 20 мин.

19. В букете нарциссов в 5 раз больше, чем тюльпанов. Сколько цветов каждого вида в букете, если всего их 30?

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим количество тюльпанов в букете переменной $x$.

Из условия известно, что нарциссов в 5 раз больше, чем тюльпанов. Следовательно, количество нарциссов можно выразить как $5x$.

Общее количество цветов в букете равно 30. Это означает, что сумма тюльпанов и нарциссов равна 30. Составим уравнение:

$x + 5x = 30$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$ (количество тюльпанов).

1. Сложим слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:

$6x = 30$

2. Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $x$:

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Итак, мы нашли, что в букете 5 тюльпанов.

Теперь найдем количество нарциссов, зная, что их в 5 раз больше:

$5 \cdot x = 5 \cdot 5 = 25$

Таким образом, в букете 25 нарциссов.

Выполним проверку: общее количество цветов $5$ (тюльпанов) $+ 25$ (нарциссов) $= 30$. Условие выполняется. Количество нарциссов (25) в 5 раз больше количества тюльпанов (5), так как $25 / 5 = 5$. Условие также выполняется.

Ответ: в букете 5 тюльпанов и 25 нарциссов.

20. Маша подсчитала собранные грибы, их оказалось 54. При этом подберёзовиков было в 2 раза больше, чем белых, а сыроежек — в 3 раза больше, чем подберёзовиков. Сколько грибов каждого вида нашла Маша?

Для решения задачи введем переменную. Пусть количество белых грибов, которые нашла Маша, равно $x$.

Исходя из условий задачи, выразим количество грибов других видов через $x$:

• Количество подберезовиков в 2 раза больше, чем белых, следовательно, их количество равно $2x$.
• Количество сыроежек в 3 раза больше, чем подберезовиков, следовательно, их количество равно $3 \times (2x) = 6x$.

Общее количество собранных грибов составляет 54. Мы можем составить уравнение, сложив количество грибов каждого вида:

$x + 2x + 6x = 54$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим левую часть:

$9x = 54$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9:

$x = \frac{54}{9}$

$x = 6$

Таким образом, мы определили, что количество белых грибов равно 6.

Теперь, зная значение $x$, найдем количество грибов каждого вида:

Белые грибы: $x = 6$ грибов.

Подберезовики: $2x = 2 \times 6 = 12$ грибов.

Сыроежки: $6x = 6 \times 6 = 36$ грибов.

Выполним проверку: сложим количество грибов всех видов: $6 + 12 + 36 = 54$. Общее количество совпадает с данными в условии задачи.

Ответ: Маша нашла 6 белых грибов, 12 подберезовиков и 36 сыроежек.

21. За два дня автомобилист проехал 946 км, причём во второй день он проехал на 78 км меньше, чем в первый. Сколько километров проехал автомобилист в первый день?

Для решения этой задачи составим уравнение, обозначив искомую величину переменной.

Пусть $x$ км — это расстояние, которое автомобилист проехал в первый день.

Согласно условию, во второй день он проехал на 78 км меньше, чем в первый. Это означает, что расстояние, пройденное во второй день, можно выразить как $(x - 78)$ км.

Общее расстояние за два дня составляет 946 км. Сумма расстояний за первый и второй дни должна быть равна этому значению. Составим уравнение:

$x + (x - 78) = 946$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

1. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$x + x - 78 = 946$
$2x - 78 = 946$

2. Перенесем число -78 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$2x = 946 + 78$
$2x = 1024$

3. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти значение $x$:
$x = \frac{1024}{2}$
$x = 512$

Таким образом, мы выяснили, что в первый день автомобилист проехал 512 км.

Для проверки правильности решения можно вычислить расстояние за второй день: $512 - 78 = 434$ км. Затем сложить расстояния за оба дня: $512 + 434 = 946$ км. Полученный результат полностью совпадает с условием задачи.

Ответ: 512 км.